1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Фихтенгольц. Там же, с. 502). Если нам удастся получить голоморфное решенне х(х) этого уравнения, которое прн х=О принимает зна,ченне, равное нулю, то отсюда будет следовать сходимость ряда 1 во всяком случае всюду, где сходится ряд для х(х).
Действительно, как уже отмечалось выше в аналогичном случае, коэффициент С прн )-й степени разложения х(х) по степеням х получается только прн помощи действий сложения н умножения над'коэффнцнентамн разложения Р(х, х) по степеням х н х н Сп Се ..„С,',. Поэтому С~ ъ(С~~; это сразу вытекает нз возможности перехода от 1 —.1 к е, т. е.
прн помощи метода полной индукции. Очевидно, прн построении х(х) достаточно рассмат'ривать только действительные значения х. Ясли же х действительное, то уравнение ае М э !т! ТЕОРЕМА КОШИ легко интегрируется разделением переменных: Отсюда хе, / хч г — — = — г'М 1п ~1 —,1!. 2т' Г Это квадратное уравнение имеет решение.
которое обращается в нуль при х=О и является голоморфной функцией от х при достаточно малых значениях (х~, а именно при ! (х~( г'(1 — г ™ )'!. Следовательно, при достаточно малом 1х~ утверждение о сходимостн формально построенного для у(х) ряда доказано. Его сумма и будет голоморфным решением дифференциального уравнения (3.18). Следствие.
Если правая часть дифференциального уравнения (3.2) голоморфна и действительна при действительных значениях х и у, изменяющихся в некоторой областит!, то все действительные рг!агния этого уравнения, графики которых проходят в этой области, ,голоморфны. В самом деле, раз правая часть этого уравнения голоморфна в некоторой Области, то для каждой точки (хо, уо) этой области существует окрестность, где она удовлетворяет условию Липшнца по у. А тогда в этой окрестности есть только одно решение, которое при х =хо обращается в уо.
Следовательно, оно совпадает с только что построенным голоморфным. '! См. сноску на с. 75. и Функцня называется голоморфноа а некоторой области 6, если она голоморфна о некоторой окрестностн каждой точкн б. [гл. ий ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАБНВНИЙ тв 3 а ми-чан не. Если правая часть уравнения (3.18у линейная относительно у, то для области'существования решения этого уравнения можно дать лучшие оценки, чем в общем случае.
В самом деле, пусть наше уравнение имеет внд (2.10), где а(х) и Ь(х) — голоморфные функции от х при (х(<г. Тогда за мажорирующее уравнение можно принять уравнение — (г.+ 1) (0<с'<г); о» [ —— Г' здесь коэффициент при (и+1) является общей мажораитой для а(х) и Ь(х). Это последнее уравнение имеет голоморфное при (х( <г' решение и= ~1 — — ) — 1, обращающееся в нуль при х=О. Отсюда, так же как это прежде было показано длн общего случая, следует, что наше линейное уравнение имеет голоморфное при [х[<г решение, обращающееся в нуль при х=О. здддчд Найдите первые четыре члена разломеиия решеиия уравнении у'=с а (у(0) О) з ряд по стеиеиям и. Оцепите остаточиый член и радиус сходимости ряда сверху и сиизу.
й 18. О степени гладкости решений дифференциальных уравнений Теорема. Если ['(х, у) имеет непрерывные производные по х и у до р-го (р~О) порядка' >, то всякое решение уравнения (3.2) имеет непрерывные производные по х до (р+1)-го порядка.
Доказательство. Пусть у(х) есть какое-нибудь решение дифференциального уравнения (3.2). Тогда о Под производной 0-го порядка всюду поиимается сама функция, Ч И! ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ 79 должно иметь место тождеетво (3.21) у'(х) =1(х, у(х)). Раз функция у(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (3.2), то она всюду имеет производную ио х и потому непрерывна.
Поэтому, если )(х, у) непрерывна по х и у, то правая часть (3.21) непрерывна по х. Значит, у'(х) также непрерывна. Допустим теперь, что р~1. Тогда правая часть (3.21) имеет непрерывную производную по х. Значит, и левая часть этого тождества имеет непрерывную производную по х. Следовательно, функция у(х) имеет непрерывную производную 2-го порядка. Проднфференцировав (321), во х, получим у" (х) =1'„(х, у(х))+ +)'л(х, у(х) )у'(х). Применяя к этому тождеству те же рассуждения, какие мы применили к тождеству (3.21), если р>2, найдем, что у(х) имеет непрерывную производную 3-го порядка и т.
д. ЗАДАЧА Приведите првмер уревиепня (3.2) с непрерывной, ио не всюду ди$$ереппнруемой правой частью, все реюення которого енелнтпюш. й!9. Зависимость решения От начальных данных и от правой части уравнения До сих пор мы исследовали решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее фиксированному начальному условию у(хо) =уо Если изменять хо и уо, то будет меняться и решение.
Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет при этом меняться. Этот вопрос, как указал Адамар, имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-нибудь физическая задача приводит к нахождению удовлетворяющего некоторым начальным условиям решения дифференциального уравнения, то эти начальные условия [гл. Н[ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ '$23.
Особые линии Оп,ределения: 1. Линию, все точки которой являются особыми для уравнения (3.2) или (3.2'), будем называть особой. 2. Если особая линия является в то же время интегральной для уравнения (3.2) или (3.2'), то ее будем называть особой интегральной. линией этого уравнения. Пр им ер ы. Примером особой, но не интегральной линии может служить всякая неинтегральная линия уравнения — =~(х, у), лу БХ где 1(х, у) — функция, построенная М.
А. Лаврентьевым (ср. $9). Ось Ох является особой интегральной линией для уравнения / у! и' ! у ~, если у Ф О, л« ~ О, если У=О; это интегральная линия неединственности. В конкретных примерах обычно наибольший интерес представляет разыскание именно интегральных линий неединственности, так как их знание помогает представить картину интегральных линий в целом.
Всякая линия, являющаяся частью границы области 6, где определена одна из функций 1(х, у) и 1[(х, у) в уравнении (3.2) илн (3.2'), является особой линией для этого уравнения. Может случиться, что эта линия является также интегральной, если уравнение (3.2) или (3.2') задано и на границе 6 (тогда это будет «граничная интегральная линия»). В качестве примера интегральной линии, на которой ноле направлений терпит разрыв, можно взять ось х для уравнения 1, если у) О, У' = Бйпува О, если у= О, — 1, если у< О. й м1 о г)оввдннии интвггальных Линии в целом 181 $24. О поведении интегральных линий в целом Иногда бывает важно построить схему поведения интегральных линий во всей' области задания поля направлений «в целом», не заботясь прн этом о сохранении масштаба. На рис, '13 — 17 мы строили подобные схемы для поведения интегральных линий в окрестности изолированной особой точки.
Если все точки односвязной области 6, где задана правая часть дифференциального уравнения (3.2), обыкновеннь1е, то семейство интегральных линий можно схематически изобразить семейством отрезков параллельных прямых, так как в этом случае через каждую точку области 6 проходит одна интегральная, линия и никакие две интегральные линии не пересекаются.
Для уравнения же более общего вида (3.2) или (3.2'), которое к тому же имеет особые точки или линии, структура интегральных линий может быть значительно сложнее'). Одной из самых фундаментальных задач теории дифференциальных уравнений является задача — найти по возможности более простои способ построения схемы поведения семейства интегральных линий заданного дифференциального уравнения на всей области его определения,.т. е. изучение поведения интегральных линий этого уравнения «в целом».
Эта задача, относящаяся к так называемой качественной теории дифференциальных уравнений, еще очень далека от своего разрешения даже для уравнений вида гЦ М(к, у) Фх Ф(х, у) ' где М(х,у) и У(х', у) — многочлены выше 1-й степени. В связи с нею скажем несколько слов о так называемых «предельных циклах».. о См. В. В. Немыцкнй, В. В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. — Мх Гостехиадат, 19«9; С. Лефшец.
Геометрическая теория дифференциальных уравненийй. — Мл ИЛ, . 1961; Э. К о д д и н г 'т о ж Н. Л е в и н с о н, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — Мх ИЛ, 1958; В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Мх Наука, 1971; В. И. Арнольд. Доиолнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Мл Наука, 1978.
)гл. И! ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ !бй Рассмотрим для примера дифференциальное уравне- ние Ыр — =р — 1, о<у (3.35) где р и ~р — полярные координаты на плоскости (х, у) ". Общий интеграл этого уравнения имеет вид р = 1+ Се'с, где С вЂ .произвольная постоянная; чтобы р было неотрицательным, надо, чтобы ~р принимало значения, не большие чем — !п~С~; если С<О.
Семейство интегральных линий состоит (рис. 18) из: 1) окружности р=1 (С=О); 2) спиралей, выходящих из начала координат О, которые изнутри приближаются к окружности р=1 при ~р — оо (С:(О); 3) бесконечных спиралей, которые приближаются извне к окружности р = 1, когда ~р-ь. — сю (С>О). Рис. 18 Окружность р=! называ- ется предельным циклом для уравнения (3.35). Вообще замкнутая интегральная линия.1 называется предельным циклом, если все ее точки обьскновенньсе и к ней асимптотически приближается некоторая другая интегральная линия'>.
Разыскание предельных циклов представляет большой интерес для приложений '>. Заметим, что все точки окружности р=! являются обыкновенными для уравнения (3.35), -В этом можно убедиться, если от полярных координат перейти к де- в изс~~'~~ и о Значит, (х — д) угла+уз —.х в Иногда применяются другие определения предельного никла, например, вместо последнего условия требуется, чтобы в некоторой окрестности линни б не было других замкнутых интегральных линий.
в См., например, А. А. А н д р о н о в, А. А. В н т т, С. Э. Х а йк и и. Теория колебаний. — Мг Фнзматгнз, 1959. $ 24! О поведении интеГРАльных линий В целОм 103 картовым. Значит, малая окрестность любой точки предельного цикла ничем не отличается от малой окрестностн всякой другой неособой точки, ЗАДАЧИ 1. Покажите, что, для того чтобы поле направлений в области 6 можно было представить уравнениями (1.2) и (1.2'), где М и У непрерывны и не обращаются в нуль одновременно, необходимо и достаточйо, чтобы каждую точку области О можно было бы снабдить таким ортом (т.
ц единичным вектором), который всюду указывает направление поля и непрерывно зависит от точки поля. Направление поли в каждой точке мы задаем отрезком прямой, оба направления которой для нас безразличны. Здесь же требуется в каждой точке выбрать одно нз этих направлений, и это направление должно непрерывно зависеть от точки. 2. Постройте пример поля направлений иа плоском кольце, ко. торое нельзя представить на всем этом кольце уравнениеы (2.13) с непрерывными М и АГ, причем М н А( не обращаются в нуль одновременно, и которое тем не менее непрерывно на всем кольце, Как обычно, поле направлений задается в каждой точке отрезком прямой, оба направления которой мы не выделяем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
