1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ь) Число направлений интегральных линий, задаваемых уравнениями (340а) и (3.406) в точке Р(хм дь), конечно. с) Для каждого из направлений, задаваемых (3.40а) [соответственно (3.406) 1, для функции Р(х, д, д') [соответственно Р1(х, д, х')] в точке (хь, дь) выполняется условие 3 только что доказанной теоремы [для Р~ (х, д, х') условие 3 выполняется, если в формулировке теоремы поменять ролями х и д, д' и х'1. 2. Если точка Р(хь, дь) не является обыкновенной, то будем" называть эту точку особой.
3. Пользуясь этим определением, мы определим особые линии и особые интегральныа линии совершенно так же, как при помощи понятия об особой точке такие линии определялись в $ 23. Заметим, что в силу п. 1 Особые точки уравнения (3.40а) или (3.406) с достаточно гладкими левыми частями либо являются граничными, либо удовлетворяют системе уравнений Р (х, д, д') = О, ~ Р, (х, д, х') = О, или ! , Р„(х, д, д') = 0 ( Р[; (х, д, х') = 0 (предполагается, что условия а) и Ь) выполнены).
Примеры особых точек, линий н интегральных линий, которые мы привели в $22 и 23, пригодны и теперь. Кроме того, мы разберем еще следующие два примера. Пример 1. д" (1 — х') — хз=О, (3.41 а) рл. !и ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ (1 — х') — х'х" = О, (3.416) или в более симметричном виде (1 х2) 2(у2 х21(х2 = О. (3.41) Уравнение (3.41) определяет поле направлений только на полосе !Х) ~1 Левая часть уравнения (3.41а) непрерывна всюду на этой полосе и имеет непрерывные производные по у и у', Производная по у' от нее равна 2у'(1 — х'). Отсюда видно, что эта производная обращается в нуль, если: 1) х= ~1, 2) у'=О. В силу уравнения (3.41а) последнее происходит только на прямой х=О. Производная по х' от левой части (3.416) обращается в нуль на этих же прямых. Значит, для уравнения (3.4!) особыми могут быть только точки трех линий х=+ 1, х= — 1, х=О.
Так как прямые х=~-1 образуют границу той области, где уравнения задают некоторые направления, то они являются особыми линиями. Из уравнения (3.416) видно, далее, что они являются интегральными линиями. Покажем, что прямая х=О является также особой (но неинтегральной) линней. Заметим прежде всего следующее. Из уравнения (3.41) получаем, что ду к Ых Р~Т вЂ” хл Отсюда следует, что интегральными линиями уравнения (3.41) будут окружности радиуса 1, центры которых лежат на оси Оу.
Все они касаются прямых х=~1. Теперь уже легко видеть, что прямая х=О является особой. Действительно, на этой прямой из уравнения (3.41а) мы находим.для у' только одно значение нуль, уравнение же (3416) не дает для х' здесь никакого значения. Но ни у какой точки В, лежащей на оси Оу„нельзя указать такой окрестности, через каждую точку которой проходила бы в этой окрестности одна и только одна интегральная линия; действительно, уже через эту самую точку В, очевндно, проходят в этой окрестности з 251 УРАВнении, не РАЕРешенные Относительно е' 111 четыре интегральные линии: АзВАН ААВАЫ ААВАв и А~ВАз (рис.
21). Значит, ось Оу будет особой, но, очевидно, неннтегральной линией. У каждой же точки полосы — 1<х<+1, если только эта точка ме лежит на оси Оу, есть такая окрестность, через каждую точку которой в этой окрестности проходят две н только' две интегральные линии. Заметим, что кроме указанных уже интегральных линий у нашего уравнения будут еще интегралыные линии вида РзВ~РАРАВзРАРН Р|В~РвВРАОРвВР, н др.
Отсюда видно, что в любой окрестности любой точки х=.~-1 через эту точку проходит бесконечное число интегралыных линий; стало быть, этн прямые являются граничными интегральными линиями неединственности. П р н м е р 2, Уравнение Клеро. Уравнением Клеро называется уравнение вида Р(х, у, у') =у — ху' — ~(у') =О. (3.42) Мы будем предполагать, что 1(у') определена на замкнутом интервале ач:у'~Ь, непрерывна вместе со своимн первыми двумя производными и что на этом интервале 1" (у') всюду сохраняет знак, например, отрицательна. Тогда при всяких х и у уравнение (3.42) имеет не больше двух корней относительно у'. (Почемуг) Поэтому, как легко видеть, для этого уравнения будет 'обыкновенной всякая точка (хв, ув), для которой 1. Уравнение у,— х,у' — 1(у') =О (3.43) не удовлетворяется ни при у'=а, ни при у'=Ь, но оно удовлетворяется по крайней мере при одном значении у' из интервала (а, Ь).
игл. Н1 ма ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ 2. Для каждого из корней р' уравнения (3.43) Р„(х„у, у') = — — 1' (р') Ф О. Точки, не удовлетворяющие второму из этих условий, образуют некоторую линию. Если принять у' за параметр и обозначить его через р, уравнение этой линии можно написать так: у=хр+1(р), х= — )'(р) (3.44) или и 1(р) р+!(р) = — Г(р) Эти уравнения определяют у как функцию от х.
В этом можно убедиться, если второе из уравнений разрешить относительно р (что возможно, так как Г'(р) сохраняет знак) и найденное значение р подставить в первое из них. Легко видеть, что линия (3.45) является интегральной. Действительно, из уравнений (3.45) находим г(р= [ — 1'(р) р — 1 (р) +1 (р)1г(р= — И'(р) М, Нх= — Г'(р)г(р. Следовательно, р иу Фз и потому для линии (3.45) илн, что все равно, для линии (3.44) уравнение (3.42) удовлетворяется.
Так как — = р, то при возрастании р величина уу Ых — также возрастает. Уравнение (3.45) показывает, что ду ~й если Г'(р) <О, Ых то — > О. Поэтому выпуклость кривой (3.45) обраще- БР на вниз (рис. 22, кривая (3.45) изображается линней А()В). 1 м1 уРАВнения, не РАВРешенные ОтнОсительно Р' 113 Легко проверить, что при любом постоянном с (а< ас~Ь) прямая у=сх,+)(с) (3,45') является интегральной.
Эта прямая, очевидно, касается линии (3.45) в точке у= — )'(с) с+)(с), х= — )'(с). Обратно, каждая касательная к линии (3.45) имеет вид (3.45'). (Почему)) Поэтому уравнение (3.43) имеет столько корней относительно у', сколько касательных к дуге АЯВ можно провести через точку (хо, уо). Проведем касательные прямые МАС0 и ИВСЕ в концах А и В линии (3.45). Они вместе с кривой (3.45) разобьют всю плоскость (х, у) на следующие пять областей: МАСЕ, ФВС0, А ОВСА, ЕС0, МАЛАВИ. Через каждую точку, лежащую внутри углов МАСЕ и й(ВС0, проходит одна н только одна касательная к дуге АВ, и потому для этих точек уравнение (3.43) имеет Один и только один корень относительно у', и притом отличный от а и Ь.
Эти точки шоэтому являются обыкновенными точками уравнения (3.42). Значит, для каждой такой точки можно указать окрестность, в которой через каждую точку проходит столько интегральных линий этого уравнения, сколько оно имеет в этой точке корней относительно у', т. е. одна; этой единственной интегральной линией будет Отрезок касательной к дуге АВ, проведенной через эту точку. Таким же образом найдем, что каждая точка, лежащая внутри области АЯВСА, также является обыкновенной точкой уравнения (3.42); для нее можно указать такую 'окрестность, через каждую точку которой проходят две и только две интегральные линии; они будут отрезками касательных к АВ, проведенных через эту точку. Через каждую же внутреннюю точку областей МАЯВШИ и ЕС0 не проходит ни одна интегральная линия уравнения (3.42).
Эти точки не входят в нашу классификацию обыкновенных н особых точек. 4 зб) ОГИБАЮЩИЕ $26. Огибающие Допустим, что нам известно для некоторого днфференцнального уравнения (3.38) семейство Р(х, у, С) =О (3.46) Интегральных линий, которое покрывает некоторую замкнутую область Од плоскости (х, у) так, что через каждую точку такой области проходит по крайней мере одна, но не более конечного числа линий этого семейства.
Требуется найти такую проходящую по б линию Ь, которая в каждой своей точке касается некоторой линии семейства (3.46) и каждого куска которой касается бесконечное множество линий этого семейства '). Такая линия Ь называется огибающей семейства (3.46). Очевндно, огнбающая семейства интегральных линий будет также интегральной линией уравнения (3.38), так как в каждой ее точке она касается некоторой интегральной линии и, следовательно, имеет направление поля. Относительно функции Р(х, у, С) нам придется предположить, что она имеет непрерывные производные по всем своим аргументам, н сделать еще некоторые другне предположения, о которых будет сказано несколько позже н которые напечатаны курсивом. Допустим, что искомая линия Ь существует.
Так как она в каждой своей точке (х, у) касается некоторой липин Ьс [значок С указывает то значение параметра С, прн котором уравнение этой линии получается нз обще. го уравнения (3.46)), то координаты ее точек удовлетворяют уравнению Р(х, у, С(х, у)) =О, где теперь С не постоянно, но в каждой точке линии Ь принимает свое значение (именно равное тому С, которое соответствует линии 1.с). Будем рассматривать только такой кусок линни Ь, где у есть дифференцируемая функ)4ия от х (точно так же можно исследовать куски, где х есть днфференцируемая функция от у). Тогда можно считать С в ') Счнтзются рнзлнчными те липин семейсгнн (3.46), которым соответствуют различные С. Отметим, что дне линии семейства могут геометрически совпадать нз некотором куске, одннко н силу сделанных предположений ни нз каком куске огибающей не могут геометрически совпадать нее линна семейстиз, касающиеся этото куска, 1ьь Ри ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ ив предыдущем уравнении зависящим только от х и переписать это уравнение в следующем виде: г(х, у, С(х)) =О.
(3.47) Допустим, что функция С(х) дифференцируема, не постоянна' ни в каком интервале рассматриваемых значений х и нам известна. Найдем тогда из уравнения (347) значение у' для. удовлетворяющей этому уравнению функции у от х. Продифференцируем для этого уравнение (3.47) по х, считая у функцией от х.
Получим р; + р у' + р,'С'„=О. С другой стороны, если бы мы нашли у' для проходящей через ту же точку (х, у) линии 7.с семейства (ЗА6), мы получили бы Р;+ Р„у=о. Чтобы определяемые из обоих уравнений значения у' (определить у' из этих уравнений можно, если- т'РФ ФО) были Одинаковы (т. е. чтобы в этой точке линия (3.46) и линия (3.47) имели Общую касательную), необходимо, чтобы было Р'С; =О. Чтобы это произведение было равно нулю, надо, чтобы по крайней мере один из его множителей обращался в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
