1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Измеиеняе формулировки вызвано тем, что при п~2 я 5(+со вов- можны прамеры (постройте нх!), когда ня условяе р(х)- О, ни х-»р-о условяе 1! (у!(х) ( -~' со не выполненм, 1=! 3. Докажите, что утверждение задачи 3 $19 ие переносится ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ 161 на линия в и-мерном (п~З) пространстве, но переносится ыа поверхности вида у [(хг,...,к г).
4. Пусть все решения системы (4.4) лри иелрерывяых правых частях я определенных начальных условиях нрн продолжении ыа отрезок п(к(Ь (где а(к,(Ь). остаются в области 6. Докажите тогда, что если начальные условия.и правые части системы изменять достаточно мало, то нзмеяеяиое решение может быть продолжено на весь отрезок [а, Ь), причем это решение равномерно как угодно мало отличается от одного иэ решеянй сястемы (4.4), удовлетворяющих исходным начальным данным.
5. (Кнезер.) Докажяте, что в условиях задачи 4 пересечение плоскости к с(а(с(Ь) с интегральной воронкой (совокупностью всех янтегральных линяй, удовлетворяющих даяиым начальным условиям) непусто, замкыуто, ограничено и связно (т. е. ие может быть представлено в виде объединения двух иепустык замкнутых непересекающихся множеств). Указа яие.
Рассмотрите пересечение плоскости х=с с совокупностью всех ломаяых Эйлера для систем с близкими правыми частями при данных начальных условиях и одинаковой длине проекций звеньев ыа ось х. Постройте примеры, в которых п=2 я указанное пересечение представляет собой: а) круг, б) окружность. 6. Перенесите задачу 5 5 11 иа случай систем вида (4.4). Дай.
те геометряческое истолкование (лоле конусов направлений, прячем конусов специального вида, вместо лола направлений). Перейдите от конусов 'специального вада к' любым выпуклым конусам. Перенесите результаты двух предыдущих задач на системы этого вида. Опясанное обобщение связано со-следующим полезным-ыоыятием континггнции. Пусть М вЂ” какое-либо множество точек в и-мерыом пространстве и А — одна из предельыых точек М. Тогда коытингеицией Кл(М) множества М в точке А называется совокупность всех предельных положений лучей с вершиной в точке А, ыроходяшых череа любую точку В множества М, прн В- А.
(Рассмотрите, какова контиыгенцяя простых линяй, поверхностей н тел в пространстве в различных их точках.) Интегральная линия для поля конусов —. зто непрерывная линия у>=у>(к) (хг(к(Ь; >=1, ..., п), контннгенцня' участка [х, Ь) которой в точке (к, у,(х), ... „,у„(х)) принадлежит задаяному в этой точке конусу при любом х(х,<х(Ь). 7. Пусть правая часть уравненяя у~"'>=[(к, у, у', ...,У>'"-») непрерывна для всех значений своих аргументов и удовлетворяет для некоторого е)0 оцеыке [>(к, у, у',...,у<'" '>))(Ф(к, у) Х вЂ” — е — — е — "- 1 Х~1+(у'( ' +(У" ( + ...
+[У>и ~>1~ > ~с непрерывной Ф(к, у). Пусть зто уравнение обладает нелродолжимым вправо решеняем ф(к) (кь(к((>(оо). Тогда >р(к) лри к-~-Π— О яе может быть.ограниченным. Для е=О, т 2 утверждение также. справедливо (С. Й. Бернштейн), для з-О, т.ь2 — несправедливо. 6. Предложите какие-либо достаточные условия для существования и длц единственности решения бесконечной системы уравнений с бесконечным числом искомых функций г(уг/>(к=[>(к, уг, уз, .), 4=1, 2, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ 1«и. «У $ 30. Принцип сжатых отображений для систем операторных уравнений Теорема.
Пусть имеется непустое семейство 3 вектор функций ф (фо ии фи)~ определенных на одном и том же множестве Ж Эти вектор-функции «р обладают следующими свойствами: 1) Каждая функция ф«ограничена (быть может, своей константой). 2. Предел всякой равномерно сходящейся последовательности вектор-функций «р, принадлежащих Э, также принадлежит Э. Мы говорим, что йоследовательность вектор-функций «р«ь! = («р«А«, .
„., «р«А!), й = 1, 2, ..., сходится равномерно к вектор-функции «р= (фь -. фи)т если каждая из последовательностей функций ф«А!, (ии = 1,..., п, равномерно сходится к функции «рь 3. Для рассматриваемого множества 8 вектор-функций ф определен оператор А, переводящий каждую вектор-функцию ф=(«р«, ..., фи) из Множества В в векторфункцшо Аф= (Л«ф, ..., А,ф) из того же множества. 4.
Для всяких двух вектор-функций «р*= (фн ..., «р„') и «р*'= («р ",, ..., ф'„') из Э и п ~«' зцр ~ Л, «р' — А; «р" ! < т ~~~~ зцр ~ «р', — «р," ~, «1 «! где и! — постоянное число, причем 0<т(1. Тогда в семействе 3 существует одна и только одна вектор-функция ф=(ф! -. ф ) такая, что «р = А«р, или, в более развернутой записи, (4.13) ф«=А«ф, «=1, ..., и. принцип сжатых отовважинин )ЗЗ Доказательство. Выберем в Я какую-нибудь вектор-функцию (<ро <ро) Проделаем над ней операцию А. Положим ,ш А,о По свойству 3 ~р(<)~Я)) и потому иад вектор-функцией (р(п — (<рн) (р(()) которую мы будем называть «первым приближением» решения системы (4.13), можно производить операцию А.
Произведя ее, получим «второе приближение» р<') = Атр«): Опять по свойству 3 имеем <р<о)еиЯ. Этот процесс, очевидно, можно продолжать бесконечно. Таким образом мы получим бесконечную последовательность векторфуикций о) (,р(о) , <о)) ,р«) (<р<(), ,,р<))) Покажем, что при й- со последовательность вектор- функций р<а) 'сходится равномерно иа множестве ах. Для этого, очевидно достаточно (ср. $ 14) показать, что прн каждом ( ряд , а 1.
(, (п , (о)) + (, (и о(о) ( ... (4. 14) сходится иа М равномерно. Если ~,р(о)~~ Мо н ),р(<) ~ ч,-М(<) (свойство 1), то 14)<<)); — 4 <<оЧ < МР<) + И,") = И ') Зовись ~рю8 оаиачает, что ~р ирииааиежит семейству 8. Оащйи 'теОРия систем пА. гг Пользуясь же свойством 4, мы найдем при всех йъ1 Е р! рм "— Е!и!= Х р!А р'и — АЛ"-и!< х„т) апр!<р<м — ц,'» и!. Поэтому члены ряда (4.14) по абсолютной величине не больше соответствующих членов следующего ряда с постоянными неотрицательными членами: М+ М+тМ+ тзМ+ АМ+ ...
а Здесь М = ~~~ М,. Так как предполагаем, что гп<1, с то этот последний ряд сходится, а 'потому равномерно иа множестве % сходится и ряд (4.14) при 1=1, ..., и, а следовательно, также равномерно сходятся на этом множестве и последовательности ~рсн (1=1, ..., а). Положим 11ш ~р!и = ~р„1=1, ..., а. а +ее По условию 2 ф= (фь -.ю ~фь) сии. Следовательно, оператор А~э имеет смысл. Покажем, что Афр=~эь 1=1, ..., и. Для этого заметим, что по свойству 4 а !АЧ"" — АФ! <ш',)"„зпр!Ф!и — 'рс!. А так как р~'> при,л- ос равномерно сходятся к «рь то, следовательно, в обеих частях равенств ~р~" + и=А,~р<"), 1=1, ..., а, можно переходить к пределу, а потому уравнения (4.13) удовлетворяются.
принцип сжатых отовважании 1ЗВ Покажем теперь, что в 8 существует только одна вектор-функция !р=(!р!, ..., «р„), удовлетворяющая урав- нениям (4.13). Действительно, допустим, что сущест- вуют два таких решения: !р= (4р! - + !рл) ф=(ф! - !Р ) Тогда должны иметь место равенства !Рг А4!р, г=1, ..., и, фг=Агф, г=1, о л. Вычитая цочленно соответствующие равенства, полу- чим в-силу свойства 4 а е е Я впр1!р! — Фг! = ,'~~ апр! А! Ю вЂ” А! !Р! < гп~!~ вцр)ф! — фг! ° ! г=! ! ! Так как гп<1, то последнее соотношение может иметь место только, когда и Я Р) Р! — Чг1=(), ! ! и, следовательно, !у!~ту!, !=1> -., и '), 3 а меч ание. Положения настоящего параграфа можно интерпретировать геометрически совершенно так же, как это делалось в й 16 для и=1, если только под «точкой» понимать вектор-функцию !р, а под «расстоя- 'нием» между двумя «точкамн» гр =(грг, ..., !Р,) и =(ф, ..., фя) понимать е Я апр!фг — фг! г=! и Доказанную теорему можно подучить как саедствне общего Утверждения, приведенного в сноске на с.
70. Дая этого'надо семейство 8 превратить в метрическое пространство. введя метрику р по формуле л Р((ф! "° г !рлЬ (Ч~ ° °" ° %л ))=Я япр! 9! — Ф! ). ! ! ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ (гл. Ш ЗАДАЧА Докажите, что свойство 4' можно обобщать так: г(зцр(Аер« — Аз~р«*1, ..., зпр(А«~р' — Ало««1)< <мг(зпр(91 91 (' ' зцр(рл ч'л () где р((ь ..., («) — однородная функция первой степени, определеннаи прн й>0,..«Т«=«0, неотрицательнаи, непрерывная и равная нулю только в начале координат. Приведите несколько примеров таких функций, й 31. Приложение принципа сжатых отображений к системе дифференциальных уравнений Теорем а..Лусгь в некоторой области 6 простран- ства (х, уь - у,) функции (;(х, у„..., у,) (1=1, ..., и)' непрерывны по х и удовлетворяют условию Аипгиица по всем ул в каждой замкнутой ограниченной области 6', содержащейся в 6.
Тогда для любой точки 'мхе, уе, ..., уе) области 6 можно указать такой содер- жащий внутри себя точку хз замкнутый интервал (а, о1, на котором сущесгвуег единственное реизение системы (4.4), график которого проходит через точку (х у ° -- у„) ° (4.15) Доказательство: 1. Заметим прежде всего, что если заранее предположить существование такого реше- ния, то„интегрируя от хо до х тождества и лрз (ч) — =( И, у ($) ",уЛ))*1=1 получим л ут(х) =у',+ ~Л(Ьут(й), ",у.($))й~, '=-1," .и.
«0 (4.16) Таким образом, всякое решение системы (4.4), график которого проходит через точку (хз, у1е, ..., у,') удовлетворяет также системе интегральных уравнений '(4.16) . м Возможность интегрировании получается аналогично $14.
4 зз1 приложение принципа сжатых отовнлжеини 1ат Обратно, допустим, что существуют и непрерывных'> функций уз(х), ..., у,(х), удовлетворяющих системе ,(4.16). Подставим в обе части каждого из уравнений (4.16) этн функции и продифференцируем каждое из полученных тождествзз. Мы получим, что функции уг(х) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (4.4). С другой стороны, очевидно, что если функции у~(х) удовлетворяют уравнениям (4.16), то уз(хо)=ус, 1=1, ... а Поэтому, вместо того чтобы доказывать, что на некотором замкнутом интервале 1а, Ь) существует одно н только одно решение системы (4.4~, график которого проходит через точку (хо, у',, ..., у„)', достаточно доказать, что на этом интервале существует одно и только одно непрерывное решение системы интегральных уравнений (4Л6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
