1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Доказательство. Если йт(хо)=О, то векторы уи>(хо), ..., уьл>(хо) линейно зависимы, и потому найдутся числа С;,,С„', не все равные нулю, для которык л С',у~'>(х,) =О. о=! Составим вектор-функцию У (х) = ~' С©У<о>(х). о-1 По теореме 1 эта вектор-функция у*(х) удовлетворяет системе (5.4). При х=хо она обращается в нуль- вектор. Но по теореме единственности существует только одна удовлетворяющая системе (5.4) вектор- функция у(х) =0; которая при х=хо обращается в нуль. Поэтому что и требовалось доказать. С л е д с т в и е. Если определитель Вронского, составленный для решений (5,5) системы (5.4), равен нулю в одной точке, то он тождественно равен нулю. 44В ОБШАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕИНЫХ.СИСТЕМ [гл.
т Действительно, если этот определитель равен нулю в одной точке, то по"только что доказанной теореме ре.шения (5.5) линейно зависимы. н по' теореме 2 их определитель Вронского тождественно равен нулю. Замечание. Если вектор-функции (5.5) не яв.ляются решениямн системы вида (5.4) с непрерывнымн коэффициентами, то для иих нельзя высказать утверждение, подобное сделанному в теореме 3. Это показывает следуюп[ий пример. Для вектор-функций И" ~Л детерминант Вронского тождественно равен нулю, н тем не менее они линейно независимы.
Определение. Совокупность и линейно независимых решений системы (5.4) называется ее фундаментальной системой решений. Т е о р е м а 4. Фундаментальные системы решений существуют. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем пт таких чисел Ь[~>, что Ь1" ЬГ> ... Ь|"' ЬЬИ ЬР'... Ь["' чь О. Ь[П Ь[Н ... Ь[л[ л л . ° - л Этому условию мы удовлетворим, например, если по.ложим [ ( О при (чай, Ь,[м= ~ 1 1 при ( = й. Составим теперь т=п решений (5.3) системы (5.4), ,которые удовлетворяют условиям у[,~(хл) Ь[ь', [, й 1, ..., и, где хь есть какое-нибудь число из интервала (а, Ь).
Тогда детерминант Вронского для этих решений отличен от нуля при х хь, и потому на основании теоремы 2 эти решения линейно независимы. 3 зз! ОснОВные теОРемы для ОднОРОдных систем 147 Теорем а 5. Если вектор-функции (5.5) составляют и линейно независимых решений системы (5.4), то всякое решение этой системы москно представить как линейную комбинацию этих решений с соответствующим образом подобранными постоянными коэффициентами, т.
е, в виде у(х) = Я С„у!М(х). ь-1 Пользуясь определениями общего решения и фундаментальной системы решений теорему 5 можно сформулировать еще н так: Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений есть линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами из решений, составляющих фундаментальную систему. Доказательство теоремы 5. Возьмем какое- нибудь решение у(х) системы (5.4), Пусть при некотором значении х, равном хз, эта вектор-функция принимает значение у(хз).
Этот вектор можно разложить по векторам у!Н(хз), ...,у!"1(хз), так как по предыдущим теоремам Вт(хз)ФО н потому последняя система векторов линейно независима. Получим л у(х,) = Я Сзу!">(хз) Составим теперь вектор-функцию и у'(х) = ~" Сзу!'1(х). По теореме ! она удовлетворяет системе (5.4). С дру- гой стороны, при х=хз эта вектор-функция принимает такое же значение, как и вектор-функция у(х). Значит, по теореме единственности у(х) — уз(х), т. е.
э у(х) ш Я Сзу!11 (х), З=! что и требовалось доказать. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИИЕИНЫХ СИСТЕМ [тл. У Теоремы 1, 4 н б вместе можно кратко сформулировать так: совокупность решений системы (5.4) образует и-мерное линейное пространство. ФундаМентальиая система решений — это базис в этом пространстве. ЗАДАЧИ 1.
Пусть столбцами квадратной матрицы У(х) служат какие-либо и решений системы (5Л). Покажите, что такая матрица удовле.творяет уравнению вт' — = А(х) «'. дх При этом либо де1 У(х) ~О, либо де1 У(х)чь01 в последнем случае У(х) наэь(вается фундамелтальиой матра«(ей сйстелы (5А). Покажите, что, если у(х) — фундаментальная матрица, то общее решение системы (5.4) имеет внд у= У(х)с, где с — пронэвольный настоянный вектор; решение системы (5.4~ прн начальном условии у(хо) уо имеет вид у=у(х)(у(хо)) «у 2. Найдите все решения системы ху =2у,— у„ хуе = 2У« — Уо. Покажите, что если начальные условия задаются нрн х«ФО, то .решение существует п единственно на всей осн; если же «о=о, то решение существует, только если 2уо« вЂ” уэ« — — О, причем в этом случае ие единственно. Покажите, что у Всяких двух линейно независимых решений определитель Вронского равен Сх, где СФО, Как согласовать со следствием кэ теоремы 3 то обстоятельство, что эдесь овределнтель Вронского равен нулю только в одной точке? 3.
Найдите решения системы ху« = у« — 2уо, хут- у« — 2у . Докажите, что решение, определяемое начальнымн данными, существует на всей оси тогда н только тогда, когда У«=2ут При этом о о такое решение всегда единственно. 4. Найдете фундаментальную систему решений и определитель Вронского для системы уравнений и у« — — ~у а)(х)УН « = 1, ..., а, 1 где все функции а«(х) непрерывны па иятервале (а, Ь). $ ап ВИРАжение для ОНРеделителя ВРОнскОГО 149 $34. Выражение для определителя Вронского Д о к аз а т е л ь с т в о. По правилу дифференцирования определителей имеем ф) л (2) ( ~а) Лх Лх ех у211) у(2) 2(л) )(7( (х) = у(1) у(2) (с) у( у, ...
у( Лд(2') Лр)2) Луе( ) Лх ох ((х у(1) у(2) у(л) е у(1) у)2) у(л) у~1) у(2) Щ~) Л (1),( (2) ( (в) Лх ах * сх В силу (5,4') в — = ~~~~ ау (х) у)А) ! о Получеиа в 1887 г. Н. Абелем для уравнений второго порядка и в 1888 г. Ж. Лиувиллем и ))). В, Остроградским в обп(ем случае. Если вектор-функции (5.5) представляют собой и ре'шений однородной линейной системы (5;4), то между значениями в точках х и хе их детерминанта Вронского '((У существует следующая вависимосты )Р (х) = ((у(хе) ехр ~ ~а(1 ($) + авв (й) + ... + а (й)1(($ '). (5.7) 260 оэв(ля таоьня линаиных светам < т ц у(!) ц у)2) ц у)!1) й (х) = «2п у(н ". уГ") + у(1) у(2) и и «<и «Г) у(1) у(2) у(ь) и у(Л) «2(л) йт'(х) =,'~' ац(х) йт(х). 1=1 Интегрируя это дифференциальное уравнение для йт, получим (5.7).
С л е д с т в и е. Из уравнения (5.7) мы еще раз видим, что если определитель Вронского, составленный для решений (5.5) система (5.4), одран(ается в нуль в одной точке, то' он равен нулю тождественно. й 35. Составление однородной линейной. системы дифференциальных уравнений по данной фундаментальной системе ее решений Заметим прежде всего, что не всякие и вектор-функций у(2)(х), имеющие непрерывные первые производные, являются фундаментальной системой решений некоторой системы вида (5.4) с непрерывными коэффициентами. По теореме 3 для этого 'необходимо, чтобы их детерминант Вронского нигде не обращался в нуль. Покажем, что это условие является в то же время и достаточным, если эти вектор-функции непрерывны вместе с их производными, Подставляя всюду в правую часть выражения для Ве(2) — и пользуясь тем, что определитель не меняется, если к элементам какой-либо его строки прибавить величины, пропорциональные элементам других строк, получим й М] СОСТАВЛЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕИНОН СИСТЕМЫ 151 Действительно, составим тогда следующие и линейных однородных-дифференциальных уравнений относи- ТЕЛЬНО фУНКЦИй У((Х), ..., Ул(Л)'.
й) й)И , ° ° ° У] р(1] р(л) = О, 1 = 1, ..., а. й(1] й(л) ( (1] (р(л) Лг и (х ,Легко видеть, что этим уравнениям удовлетворяют вектор-функции (5.5). Кроме того, так как, по предположению, определитель, составленный из вектор-функций (5.5), нигде не обри(дается в нуль, то все эти уравнения можно разрешить относительно †' (1 = 1,..., и). ПолуОУ( бх ченная система обладает всеми требуемыми свойствами. Покажем еще, что существует только одна система вида (5.4), имеющая данную фундаментальную систему решений.
Действительно, по теореме 5 из $33 все решения такой системы определяются ее фундаментальной системой решений. Но заданием всех интегральных кривых системы (5.4) эта система, очевидно, вполне определяется, так как тем самым вполне определяется соответствующее ей поле направлений; знание поля направлений однозначно дает нам значение правых Частей системы, а коэффициенты линейной формы однозначно определяются ее значениями. ЗАДАЧ.'А 1 усть дана система непрерывно диффереиднруемых функннй (6З), причем л)(л. Докажите, что ее можно расширить (добавлением новых функдий) до фундаментальной системы решений (5.5) некоторой системы уравнений (5.4) с неирерывными коаффвниеитамн, тогда .и только тогда, когда ранг матрины (6З) равен ш в каждой точке интервала (о, Ь).
Укааа иве. Искомую систему (5.4) стройте сначала в окрестности любой точки интервала (а. Ь). 1бз ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ 1тл. ч й 36. Следствия для дифференциального уравнения и-го порядка На основании сказанного в $27 линейное однородное дифференциальное уравнение ллр Вл-т В лл-лр — = ал 1(х) †" + а а(х) + ... длл л Вкл-! Влл-а ... + а, (х) — + а, (х) у а!л эквивалентно линейной однородной системе у» 1 лл (5.8) Уы ул-1 — "~ = а, (х) у, + а, (х) у, + а, (х) у,+... +а ! (х) ул !. (5.9) Здесь через уе обозначено прежнее у, у» означает А-ю производную от у.
1. Из 3 32 мы заключаем поэтому, что если коэффициенты а!(х) непрерывны на интервале а<х<Ь, то для каждого хе из этого интервала и любой системы чисел уа, уе,„.,у„", существует одно и только одно решение уравнения (5.8), у которого при х=хе производная !'-го порядка (1=0, 1, ..., п:1) обращается в уе. Это решение существует на всем интервале (а, Ь). 2. Очевидно, если функции у1ц(х), ...,у!'"1(х) о удовлетворяют уравнению (5.8), то любая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами Я С» у!"! (х) (5.10) »=1 также удовлетворяет этому уравнению. '! Здесь Э1»>(л) — скалярные (обычные) функцнн, а не векторфункцяя, как в $32 — 33.
йзм следствия для уейвнення «- -погядкй !зз 3. Заметим далее следующее. Пусть мы имеем т решений системы (5.9): уй(й) (х) У(й) (х) у(й), (х) Если существуют такие постоянные Сь ..., С „что при всех х на интервале (а, Ь) ~)~ С„у ) (х): — О, й-1 (5,11) то обязательно будут иметь место и следующие тождества: Я С, у(й) (х) О„1 = 1, ..., и — 1. й=( Сй у(й) (х) ж- О. й 1 4. Если принять во внимание, что у((х) есть производная (-го порядка от у(х), то детерминант Вронского для системы (5.9) можно записать так: ,(й(() (й(й) у(л) л (л] (й (5.12) лл-й у(л) Поэтому мы будем называть решения у(')(х), ...,у("')(х) уравнения (5.8) линейно зависимыми, если существуют такие постоянные Сь ..., С„, среди которых по крайней мере одно отлично от нуля, что имеет место следующее тождество: !34 ОВШАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ (га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
