1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если С; =О на некотором интервале, это будет Означать, что С постоянно, что противоречит предположению. Поэтому для огибающей должно быть т '=О. (3.48) Легко видеть и обратное: именно, что если при сохранении всех сделанных допущений относительно г"(х, у, С) уравнения (3.47) и (348) определяют у(х) и С(х) как дифференцируемые функции от х, причем С(х) ни в' каком интервале рассматриваемых значений х не постоянна, то у=у(х) будет огибающей семейства '(3.46). 3 а м е ч а н и е 1.
Так как в постановке задачи х и у были совершенно равноправны, то в ее решении роли х и у'можно поменять. ОгиБАюшнв 14т Замечание 2. Огибающая семейства интегральных линий некоторого дифференциального уравнения 1-го порядка всегда является особой интегральной линией для этого' уравнения, так как она является интегральной линней' и все ее точили особые; более точно„ на любом ее куске найдутся точки, через которые в как угодно малой окрестности проходит бесконечное количество интегральных линий.
Пример 1. На всей плоскости (х, у) дано семейство кривых Р(х, у, С) д — (х+С)з=о (349) Оно состоит из кубических парабол, полученных из одной у=ха сдвигом, параллельным оси Ох. Приравнивая Р; нулю, получим — 3(х+С)з=о. Отсюда С= — х. Подставляя это в уравнение семейства, получим линию у=О, которая, очевидно, является огибающей семейства (3.49) (рис. 23). 3 а м е ч а н и е. Если бы мы написали уравнение нашего семейства в виде Р(х, Ео С) — = у'Р— (х+С) =О, то было бы Р'с — — — 1 и наш метод не дал бы огибающей, которая на самом деле существует. Это происходит потому, что теперь й„не существует при у=о.
Пр имер 2. На всей плоскости (х, у) задано семейство кривых Р(х, у,'С)= — уа — (х+С)'=О. (3.50) Приравнивая Р„' нулю, получим — 3(х+С)~=0. Отсюда С= — х. Подставляя это в уравнение (3.50), получим д-о. Но легко видеть, что ось Ох не.является огибающей семейства (3.50) (рис. 24). Это происходит только потому, что при у=о г '=бра=О.
П р и м е р 3. Семейство кругов Р(х, у, С) =х2+ (у+С)' — 1=0. (3.51) покрывает полоску между прямымн х=.+-1. Приравнивая нулю Р„'(х, у, С), получим 2(у+С) =О. Отсюда С= 118 овщдя теория уравнении 1га. гп = — у. Подставляя это вместо С в уравнение семейства, получим х=~1. Каждая из этих прямых является огибающей семейства (3.51) (см. рис.
21). Пример 4. Уравнение у — Саха+ 2С'х — С= О, которое прн С~О можно переписать так: у — Св,~х — — ) =О,— определяет семейство парабол, оси которых параллельны Оу, а вершины находятся на Ох. Очевидно, для них Рис. х4 Рис. йэ Ох является огибающей, хотя она в то же время принадлежит самому рассматриваемому семейству: она получается из уравнения этого семейства при С=О ЗАДАЧА Найдите по общему методу огибающую в примере 4; какой геометрический смысл имеет гипербола; входящая в вту огибаю- щуюр Часть П СИСТЕМЫ ОБЪ|КНОВЕННЪ|Х ДИФФЕ|зЕНЦИАЛЪНЪ|Х УРАВНЕНИИ ГЛАВА 1"х' ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ 5 27. Сведение любой системы к системе уравнений 1-го порядка Пусть дана система Ф) х,у,,—, ИД1 (4.3) хд3, у ( Ф1 1=1, ..., л.
В каждое уравнение этой системы входят независимое переменное х, его л искомых функций уо уг, "., Уи и их производные по х; при этом производные от у; входят до некоторого порядка т(. Чтобы свести систему (4.1) к системе уравнений 1-го порядка, положим у;=у(|), = у( + ), й = О, 1', ..., и), — 2.
(4.2) зх Тогда систему (4.1) можно переписать так: х.,(е,— 1) ( Ю) (1) (,— П У) ~у) .. У) ( (л1 — 1) ') у„,у„, ...,у„, . )=О, 1=1, ...,п. (О) (1) (т„— 1) Уи " цх 120 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ [га. 1Ч Таким образом, имея и функций у1(х), 1=1, ..., и, удовлетворяющих системе (4.1), мы получим функции у11А1(х), удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений 1-го порядка, состоящей из уравнений (4.2) и (4.3). Обратно-, если имеем функции у11А1(х), удовлетворяющие уравнениям (4.2) и (4.3), то легко показать, что функции у<ар(х), 1 1, ..., и, удовлетворяют системе (4.1). Действительно, полагая в уравнении (4.2) й последовательно равным О, 1, ..., ит1 — 2, найдем, что и1а+11у1О1 (а+1) а потому уравнения (4.3) эквивалентны уравнениям (4.1) .
В дальнейшем мы будем заниматься главным образом только системами дифференциальных уравнений 1-го порядка, и притом разрешенными относительно производных. ЗАДАЧА Докажите, что систему дифференциальных уравнений 1-го по. рядка вида 1(»* У* " У У,...-, у )=О 1=1, . л при помощя последовательных дифференцирований и исключении всех неизвестных функций, кроме одной, можно, «вообще говорю, принести к одному дифференциальному уравнению л-го порядка с одной неизвестной функцией, причем так, что, решив зто уравнение, мы другие неизвестные функции найдем без дальнейших интегрирований. Выражение' «вообще говоря» означает, что допускается возможность разрешения всех нужных систем конечных (ие дифференциальных) уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных. Предполагается, что функции 1~ обладают непреРывными првизводнымн всех нужных порядков, 5 28.
Геометрическая интерпретация. Определения Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений — = 11 (х, у„уз, ..., у„), .1= 1, ... „и. (4.4) в вв1 геоматгичаскля интагпгаткция, опгадалаиия 1з1 где функции ~~(х, уь ум ..., у,):определены в некоторой области 6 пространства (х, уь уь ..., у ). Совокупность функций у1(х), ув(х), ..., у,(х), (4.5)' удовлетворяющих уравнениям (4.4), будем называть решением этой системы. Уравнения у =ув(х), 1=1, ..., и, определяют в пространстве (х, уь ..., у,) линию, которая называется интегральной линией системы (4.4).
Вместо того чтобы говорить, что у;(хв) =ув„1=1, ..., и, мы будем часто говорить, что линия (4.6) проходит 'через точку (хв, ув, ув,..., ув). Тот факт, что функции у;(х) удовлетворяют при х= =хв системе (4.4), можно геометрически интерпретировать так: касательной прямой к интегральной линии (4.6) в точке (хм у~(хв), ..., у,(хв)) является прямая Е: = ~в (хв, у, (хв), ..., у„(х )), 1 = 1, ..., п; здесь х и у; означают текущие координаты точки, лежащей на прямой Е. Поэтому задачу нахождения решения системы (4.4) .можно геометрически интерпретировать следующим образом. В некоторой области б пространства (х, уь ..., у,) задано «поле направлений», т. е. в каждой точке этой области задано некоторое направление, которое можно представлять себе, подобно тому как'это мы делали в первой части курса для одного дифференциального уравнения, в виде небольшого отрезка прямой, проходящей через эту точку (оба направления этого отрезка нам безразличны).
Найти интегральную линию системы (4.4) —. это значит найти такую линию, у которой касательная в каждой точке имеет заданное направление. Совокупность функций у;=у(х, Сь...,С ), 1=1,...,п, будем называть общим решением системы (4.4) в области 6, если, выбирая соответствующим образом постоянные Сь ..., С, мы сможем получить любое решение, Пх Ит ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ график которого проходит в этой области.
Чаще всего бывает гп=п. Если поле направлений задается системой (4.4), то ни одно из этих направлений не лежит в плоскости, параллельной плоскости х=О. Это ограничение часто бывает совершенно искусственным. Можно рассматривать любое поле направлений и искать кривые, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке. Такие линии мы будем называть интегральными линиями этого поля. Их уравнения, вообще говоря, уже нельзя написать в форме (4.6) уравнений, разрешенных относительно уь 1=1, ..., и, потому что плоскости, перпендикулярные к оси Ох, могут пересекать эти линии несколько раз и даже содержать целые их куски, Дифференциальные уравнения таких линий (или, что все равно, соответствующего им поля направлений) можно написать, считая х и у; вдаль этих линий достаточно гладкими, например непрерывными вместе с их производными функциями некоторого параметра Т, скажем, длины дуги интегральной кривой или времени, нужного для передвижения по интегральной кривой от какой-то фиксированной иа ней точки до произвольной точки (х, уь ..., у,); иа отдельных участках кривой за параметр можно брать какую-нибудь из координат у; или х.
Тогда получим — = )~ (х, у,, ..., у„), 1 = 1, ..., и, (4.7) — =-7'(х, У,„..., У„). Здесь функции );. н )' не должны все обращаться в нуль в одной и той же точке (х; уь ..., у„). Поле направлений в пространстве (х, уь ..., у„), задаваемое уравнениями (4.7), можно задать еще следующими уравнениями: ли~ ~~ул 11(», у, " , ул) )л (», и " ул) А »М ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ 123 Если 1» (х, уь ..., у,) отлична от нуля в некоторой области 6, то эти уравнения можно там разрешить относительно — — , 1= 1,..., й — 1, й+1,..., а, и †; значит ее~ здесь за параметр можно взять'у».
Если в области 0 фУнкциЯ 1»(х, Уь ..., Ул) всюдУ отличаетсЯ от нУлЯ, то уравнения (4.8) можно разрешить относительно ~Ус лх здесь х играет роль параметра. Система уравнений Ф;(х, уь .-, ул) =О, 1=1, ..., и, называется интегралом системы (4.8), если определяемая имн линия является интегральной для этой системы. Система уравнений Ф(х,уь...,у»,СИ..,,С )=О, 1=1,...,п, называется общим интегралом системы (4.8) в некото- рой области 6 пространства (Х~ у! -л ул) если, выбирая соответствующим образом постоянные Сь ..., С, можно получить любую интегральную линию этой системы, проходящую в 6.
Так как система (4.7) есть частный случай системы вида (4.4), где только. число неизвестных на 1,больше, то мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением систем вида (4.4). Для таких систем справедливы многие теоремы, совершенно аналогичные доказанным в главе П1 первой части нашего курса; доказываются эти теоремы такими же методами, как и там. Поэтому мы не будем все эти теоремы заново подробно доказывать. Докажем лишь теорему Осгуда и принцип сжатых отображений, остальные же теоремы только сформулируем. овщдя таория систйм (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
