1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Когда мы говорим здесь, что поле направлений непрерывно на кольце, это значит, что эта прямая изменяется непрерывно. Можно ли построить аналогичный пример для односвязной области на плоскости? 3. Пусть интегральные липин уравнения (1 2) или (12') имеют хз у' уравнения — + — = — 1 (с)0 фиксировано, параметр Ь принн' сз+уз Ьз мает значения 0(Ь<+аа). Докажите,что если М и М непрерывны, то они всюду на отрезке — с<к<с, у=о обнзательио равны нулю.
4. Докажите, что в изолированную особую точку уравнения (1.2) или (1.2') может входить только четное или бесконечное число интегральных линий. Если какая-нибудь интегральная линия подходит к этой точке бесконечно навявающейся спиралью, то и всякая другая линия, входящая в эту точку, подходит к ней также бесконечно навивающейся спиралью. Может ли входить в изолиро. ванную особую точку ровно две такие спирали? 3. Начертнте схему поведения иа всей плоскости интегральных линий уравнения бу х — = — — + х'+у' — ! .
ах у Покажите, что око имеет фокус в начале координат и предельный цикл ха+у*-). ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [гл. !п Указ анне. Сравните наклон ввтегральвых лнннй этого уравненвя с наклоном в той же точке нвтегральных линий уравнення бу х бх у 6. Начертнте схему поведення на всей плоскостя интегральных лнннй уравнення ![у у — хз 2 1 — = — +(у — т)з+(т — 1)з+ — (х — 1)з — —. ол у — т 3 3 Докажите, что оно имеет две особые точки:.седло (0,0) в фокус (1,1). Указание.
Сравннте наклон интегральной лвнвн этого уравнення с наклоном в той же точке интегральной лнннн уравнения бу у — х' с[х у — х которое легко интегрируется в квадратурах. 7. Докажнте, что если замкнутую ннтегральную лннвю 7,, все точки которой обыкновенные, можно заключнть в полосу, не содержащую другнх замкнутых интегральных линий, то й — предельный цннл. йг Докажнте, что если к некоторой замкнутой пвтегральвой лнннн Л без особых точек аснмптотнческн прнблнжаются извне в изнутри две ннтегральные линни, то й можно заключить в полосу, целиком заполненную интегральными лнянямн, аснмптотнческн првблнжающнмнся к й. 9. Постройте.
пример замкнутой интегральной линии 7'' без особых точек, не нвляющейся предельяым циклом, прячем ннкакан окрестность й не заполнена сплошь замкнутымн ннтегральнымн лнннямн. 10. Докажите, что если внутрн н на самой замкнутой крнвой Д с непрерывно вращающейся касательной нет особых точек поля, то в точках на линни й направленне поля по крайней мере два раза совпадает с напранленвем касательной к [, н по крайней мере два раза с направленнем нормалн к й. (Отсюда, я частности, следует теорема Бендвксона о том, что внутри замкнутой интегральной лнннв должна быть по крайней мере одна особая точка поля.) 11. Докажнте, что каждая нвтегральвая лнння уравнения у'=ха †' имеет по крайней мере одну точку перегнба н хотя бы один раз пересекается с прямой у=х.
Указан не. Используйте задачу б з 2. й 25. Уравнении, не разрешенные относительно производной Примером таких уравнений может служить уравнение (3.36) 4 Эб1 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО э 1аа Как легко видеть, оно эквивалентно уравнениям еу (3.37а) ах (3.37б) Первое из этих уравнений представляет поле направлений, наклоненных к Ох под углом 45', а второе— поле направлений, наклоненных к Ох под углом 13о'. Уравнению же (3.36) соответствует' поле направлений, полученное наложением полей (3.37а) н (3.376). Через каждую точку плоскости (х, у) проходит одна и только одна иитег- л ральная линия уравнения (3.37а)— пррмая, наклоненная к Ох под углом в 45', и одна и только одна интегральная линия уравнения (3,37б) ' — пря- рас.
19 мая, наклоненная ' к Ох под углом 136Р. Значит, через каждую точку плоскости (х, у) проходят две и только две интегральные линии уравнения (3.36) (рис. 19) '>. Можно доказать следующую общую теорему. Т е о р е и а. 77усть дано уравнение Р(х, у, у') =О, (3.38) где функб)ия Р(х, у, у') Обладает следующими тремя свойствами: 1. Р(х, у, у') определена на замкнутой и ограниченной области О е пространстве (х, у, у'), где она непрерыена.
в ь, ~ ~,г.м.э ** ""кв г ференцнального н интегрального нсчнслення. — Ьь: Наука, !969, т. 1, с. 224) доказывается, что если на некотором интервале (а, Ь) функция Ф(х) всюду имеет прокэводную, равную ~р(х), н еслй е(х) в двух точках х~ н ха (а<х,<хэ(Ь) прнннмает эначення у1 н уэ, то на интервале (хь хэ) функцня е(х) принимает все промежуточные значения между у~ н уэ. Поэтому не существует функцнн у(х), которая прн всяком х имела бы пронзводную, прннямающую значения, равные только ~ 1, прячем в одннх.
точках эта производная равнялась бы +1, а в другнх — 1. (гх. и! ОБ!ЦАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ 2. Для некоторой точки (хю уе), лежащей на плоскости (х, у), число различных решений уравнения (3.38) относительно у' конечно и равно пт. Пусть этими решениями будут числа Ь|, Ьт..., Ь„(т)0). 3. Каждая из точек (хо, уо, Ь!) (т=1, ..., пт) лежит внутри О, и в некоторой окрестности т(!!! каждой из этих точек функция г'(х, у, у') имеет непрерывную производную по у и непрерывную производную по у', которая по абсолютной величине всюду в )с! превосходит некоторое постоянное положительное число. Тогда существует окрестность ее точки (хы уо), расположенная в плоскости (х, у), причем через каждую точку е( проходит т и только пт графиков решений уравнения (3.38). Д ока з ател вство. При сделанных предположениях, согласно теореме о неявнон функции, у каждой из точек (хм уе, Ь,) в пространстве (х, у, у') существует такая окрестность тсь в которой уравнение (3.38) имеет одно и только одно решение вида у'=(!(х, у) (т=1, ..., и!); (3.39) каждая функция )!(х, у) непрерывна по х и имеет производную по у, равную р„(х, у, /!) Р! (х, у, 1!) В силу сделанных предположений о функции т эта производная ограничена.
Все окрестности Л! (!=1, ..., т) можно представлять себе в виде цилиндров с образующими, параллельными осн Оу', н с основаниями, проектирующимися на одну н ту же лежащую в плоскости (х, у) окрестность точки (хо, уо) (на рис. 20 от=2). Эту окрестность % можно выбрать настолько малой, чтобы ни над ней, ни под ней не было ни одной точки (х, у, у') поверхности (3.38), не принадлежащей какой-нибудь из поверхностей (3.39). Действительно, если такие точки о Под окрестностью %~ мы ноннмаем водную окрестность точки (хм ум Ь!) в пространстве (х, у, у'), 5 ан уРАВнения, не РАзРешенные относительно у' |вт существуют, то по предыдущему они лежат вне цилиндров сс; (с=1, ..., Ш). Поэтому, если бы такие точки существовали прн как угодно малой с(, то в силу ограниченности и замкнутости 6 и непрерывности функции Р(х, у, у') они были бы и на прямой х=хм У=Уа вне цилиндров Ю значит, уравнение Р(хо, уо, у ) =0 имело бы, больше чем т решений относительно у', что противоречит нашему предположению.
еггяи, мы нашли, что при сделанных предположениях относительно Р(х, у, у') у точки (хо, Ус) на плоскости (х, у) существует такая окрестность П, в которой уравнение (3.38) имеет т и только и различных решений (3.39). Функции (;(х, у) ~непрерывны по х и имеют ограниченную производную по у. Поэтом ля каж ой точки Р из Ц ! 1 Ю 0 (3.40а) В Сн. сноску нз с, 105.
у д д 1 каждое из уравнений (3.39) ) имеет у к,(х„,у,) в области ц одну и только одну ин- С!"> тегральную линию, проходящую через точку Р. Так как все у' в каждой точке области Б различны, то все эти интегральные линии различны н между собой не касаются. А потому через каждую точку области 5 проходит т и только т интегральных линий уравнения (3.38)Н, что и требовалось доказать. Очевидно, нн одно из направлений поля, задаваемого уравнением (3.38), не параллельно оси Оу. Следовательно, ни одна нз интегральных линий этого уравнения не имеет касательных, параллельных осн Оу. Чтобы не исключать направлений, параллельных оси Оу, аналогично тому, как это делалось для уравнений, разрешенных относительно производных, мы будем иногда наряду с уравнением ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [гл.
1и 108 рассматривать уравнение Р,(х,у, — )=О. (3АО6) При этом функция РА ~х, д, — ~ выбрана так, что ау 1 лк ~ уравнения (3.40а) и (3.406) нигде не противоречат одно другому; другими словами, если для некоторых х, у 1 и аФО значения Р(х, у, а) и Р, ~х, р, — ) определены а и одно из них равно нулю, то и другое тоже равно нулю. Иногда бывает удобнее объединять уравнения (3.40а) н (3.406) в одно, написанное в дифференциалах (см.
дальше пример 1). Мы будем наряду с решениями уравнений вида (3.33) рассматривать интегральные линии уравнений (3.40) (ср. $2). 0 п р еде л си ив. Пусть функция Р(х, у, у') [соответственно Р1(х, у, х')] определена на некоторой области Оц,у (соответственио б„у„) в пространстве (х, у, у') [соответственно (х, у, х')1 и на некоторой части ее границы. Пусть точка Р(хм у,) лежит внутри той области б„у плоскости (х, у), где уравнения (3.40а), (3.406) определяют Пекоторые направления, или на границе этой области.
1. Будем называть эту точку Р обыкновенной точкой уравнений (3.40а), (3.406), если для нее можно указать такую окрестность л в плоскости (х, у), через каждую точку которой проходит в этой окрестности одно и то же постоянное для этой окрестности конечное число интегральных, линий, равное числу направлений, задаваемых в точке Р уравнениями (3.40а) и (3,406); при этом этн линии должны получаться в результате наложения друг на друга семейств интегральных линий уравнений (3.2) или (3.2') с непрерывными правыми частям и. В силу сказанного выше для этого достаточно, чтобы выполнялись следующие-условия: а) У точки Р(ха, уз) на плоскости (х, у) есть такая замкнутая окрестность чг,у, что множество О,уу (либо бщ;) точек, в которых определена функция Р(х, у, у') [соответственно Р~(х, у, х')) н проекции которых на 5 2$) УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО у' 109 плоскость (х, д) не выходят из этой окрестности, образует ограниченную и замкнутую область, а функция Р(х, д, д') [соответственно Р| (х, д, х')) на этом множестве непрерывна.
Чтобы множество Й,РР (соответственно О,у; не получалось неограниченным оттого, что рассматриваются как угодно большие значения д' (соответственно х'), условимся, например, пользоваться уравнением (3.40а) [соответственно (3.406) 1 только тогда, когда 1д') (соответственно 1х'1) не больше некоторой константы, которая не должна равняться абсолютной величине никакого корня д' (соответственно х') уравнения Р(хь, дь, д') =О [соответственно Р1(хь, дь х') = =0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
