1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 18
Текст из файла (страница 18)
гч ЗАДАЧИ 1. Составьте систему двух дифференциальных уравнеяай 1-го порядка с искомыми функциями у н а вида (4.4) так, чтобы ее интегральными линиями были все винтовые линии. с правой нарезкой, данным шагом А и. осью Ок. Как можно обобщить эту задачу на случай большего числа измерений3 2. Каково необходимое и достаточное условие того, чтобы поле направлений в области 0 можно было представить уравнениямя (4.8), где все знаменателя непрерывны и не обращаются в нуль одновремениоР В каких областях всякое непрерывное коле направлений может быть представлено в таком видеу 9 29.
Формулировка основных теорем Т е о р е м а с у п(е с т в о в а н и я. Если функции (;(х, у» ..., у,) непрерывньг в некоторой области' 6 пространства (х, у;, ..., у„), то через каждую точку втой области проходит по крайней мере одна интегральная линия системьг (4.4). Для доказательства этой теоремы сначала строятся ломаные Эйлера так же, как зто делалось в 9 9, потом переходят к пределу, используя теорему Арцеля. Теорема единственности (Осгуд). Пусть функции )г(х, у» ..., у ) в области 6 удовлетворяют соотношениям 1(1 (х, у1' ", у'„') — Гг (х, у',, "., у'„)! < п ч, ф ~ '~' ) у„" — у' )), 1 = 1; ..., п, (4.9), т=! где ф(и) — непрерывная функция которая 1) принимает положительные значения при положительных и; 2) — -ьоо при в-+О (с)0).
ок ф (н) в Тогда суи(ествует не больше одной интегральной линии системы (4.4), проходяа(ей через любую заданную внутреннюю точку области 6. ФОРмулиРОВкА ОснОВных теОРам 1ав В частности, можно считать !р(и) амКи, где К вЂ” некоторая положительная постоянная. Тогда условие (4.9) принимает вид ~Г! (х, у,", ..., у„") — 1! (х, у'„..., у') ~ ч » ~ К ~ 1 у," — у„' ~, ! = 1, ..., п. ! Это условие называется условием Лиишш(а по у!, ... .-, у» для функций 1!. Бсли принять это условие и считать функции 1! непрерывными по всем аргументам, тО теоремы существования и единственности можно доказать методом последовательных приближений (см.
$30 и 317. Теорема Осгуда о единственности доказывается для систем дцфференцнальных уравнений несколько сложнее, чем для одного дифференциальнОго уравнения. Поэтому мы изложим подробно это дойазательство. Будем опять вести доказательство от противного. Допустим, что существуют два таких решения: у',(х), ..., у„'(х) н у", (х),,:., у'„' (х) системы (44), что у'.(ха) =у,(хл), !=1, ..., и. Так как мы предполагаем, что решения у,'. (х) и у',.'(х) различны, то найдется такое х!, что » ~~~ ! у,"(х,) — у,'(х,) ! ) О.
1=! Не ограничивая общности, можно считагь х!)хм так как противоположный случай сводится к этому заменой х на — х. Несмотря на то, что функции у,'(х) и у,'(х), а следовательно, и разности у" ,(х) — у,'(х) всюду имеют (гх. 1Ч ОБщАя теОРия систем производные, абсолютные величины этих разностей могут в некоторых точках не иметь производных. Так будет во всех точках, где у,"' (х) — у', (х) = О, но — (у," (х) — д'р (х)1 чь О. Поэтому вместо производных от этих разностей мы будем рассматривать их «правые» или «левые» производные.
Правой (сбответственно левой) производной от функции г(х) в точке х называется предел отношения х(х+а) — х (х) взятый при условии, что й- О, принимая только положительные (соответственно отрицательные) значения. Правую (соответственно левую) производную от функции г(х) в точке х мы будем обозначать Р,рг(х) (соответственно Р,г(х)1. Если для нас неважно, о какой именно из этих двух производных идет речь, то мы будем опускать значки у Р. Легко видеть, что если функция г(х) имеет всюду производную, то существуют также Рлр)г(х)( и Р,)г(х) ~, причем всегда ~Р,р~г(х) ( ~ = (Р,~г(х) ~ ) =1г'(х) ) или, как мы будем писать для краткости, (Р)г(х) ~ ( = (г'(х) ); Принимая это все во внимание, из тождеств лу~(х) ° = ~р (х, у',(х), ..., у„' (х)), «у (х) — = (р (х, д" ,(х),;... у„'* (х)) (( = 1, ..., и) мы на основании (4.9) получаем ~Р) у",(х) — у*,(х)) ~—= = — ~ ~, (х, у, (х), ...
, у (х)) — ~, (х, у, (х), ..., у (х)) ~ ~~ 127 ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ 1 аа! «(ф(Я ) у,'*(х) — у,"(х) !). л=! Отсюда ~ П ~!' ) у,'* (х) — у,' (х) ) ~ ~( и !р ~ Я ) у*' (х) — у" (х) ) ) ( с=! л ( (и + 1) ф ~ ~ ) у"' (х) — у,' (х) )') (4. 10) г= — 1 Последний переход можно сделать только если л ~ ' ) у," (х) — у,' (х) ) О. ъ ! В частности, в силу указанного выше предположения его можно сделать при х=х!. Положим л '~." ~ у" ,(х) — уг(х) ) = г (х) и г (х,) =- г,.
1=1 Построим график того решения уравнения †"" = (и + 1) ф (у), лт которое при х=х! обращается в г,. Такое решение существует и единственно ($4). Этот график будет асимптотически приближаться к отрицательной части оси Ох, нигде ее не пересекая. В точке (хь г,) кривые г(х) и у(х) пересекутся. Из неравенства ~17лг(х!) ~ < (и+1)!р(г!) = (и+1)!р(у(х!)) =у'(х!) непосредственно следует существование такого интерва- ла (х! — е, х!), Е>0, иа котором г(х) >у (х) .
Но мы утверждаем, что это же неравенство имеет место при всяком е>0 (ее:х! — Ха), так как в противном случае, беря для а его наибольшее возможное значение, [гл. !у ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ мы немедленно. пришли бы к противоречию. Действительно, тогда при х=х! — а=хм с одной стороны, имели бы В„ре(хз) «у'(х~) = (л+1)ф(у(хз)) = (а+1)юр(2(хе)), так как правее точки хз 2(Х) ~У(Х).
А с другой стороны, из (4.!О) мы получим, так как 2(х!) >О, 02 (хз) ( (и + 1 ) !р (2 (хх) ), что противоречит предыдущему. Значит, при всех х«хо, но не ббльших х!, 2(х) «у(х) >О; в частности, 2(хч) )О, а это пРотивоРечит нашемУ пеР- воначальному предположению. Следствие для систем уравнений высш и х п о р я д к о в. Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений л [в [ л †! д — х, у„..., „ХФ!!! ' ' ''' ',~/й,— 1 !!Ф вЂ” ! ...,у„...,,,", 1=1, ..., и, (4.11) а,, к разрешенных относительно старших производных от каждой неизвестной функпии. Если функции )! непрерывны в,некоторой окоестности точки У"М ЕАль,~ ° У„ и удовлетворяют в ней ло всем своим аргументам, начиная со второго, условию Липшица, то на некотором интервале (а, б), содержащем точку хы существует одна и только одна совокупность функций у!(х), -, у.(х), еогмтлнеовкь основных таоеем $291 удовлетворяющих системе (4,11) и принимающих при х=хь вместе с их соответствующими производными значения Это следствие получается непосредственно из выше сформулированных теорем, если принять во внимание $27.
Полученное на интервале (а, в) решение можно продолжить в обе стороны так, как зто мы делали в ф 1!. Теорема Коши. Если функции Ях, ун ..., у,) голоморфньь по всем своим аргументам в области 6, то для любой точки (хь, уь, ..., уь ) этой области существует одно и только одно голоморфное (т. е. состоящее из голоморфных функций) по х решение.
системы (4.4), для которого у;(хь).=уе, 1=1, ..., п. Следствие. Все действительные решения системы (4.4)., у которой правые части голоморфны по всем своим аргументам и принимают действительные значения при действительных значениях всех их аргументов, голоморфны. Теорем а о гладкости решен и й. Если функции 1';(х, ун ..., у,) имеют непрерывные производные по х и у, до р-го порядка (рай), то все решения системы (4.4) имеют непрерывные производные по х до (р+1)-го порядка. Теорема о зависимости решений от п а р а м ет р о в.
Пусть дана система — =~~(х,'уы ..., у„, ры ..., (х ), 1= 1,..., п. (4.12) Если функции П и все их частные производные до р-го (р)1) порядка по всем у; и рь непрерывны по всем их аргументам и ограничены, когда точка (х, уп ..., у ) находится в области О, а ь ь 1 пт где рьь некоторые положительные числа, то для каждой точки (хы уь, ..., уь ) области б можно указать такой 5 и. Г.
пе~ровские ОБЕГАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ 1гл. !У интервал (а, б), заключающий внутри себя точку хо что при всех рассматриваемых (»» на нем существует одна и только одна совокупность функций у!=Чч(х (»! -., )»»), 1=1, ..., и, которые удовлетворяют системе (4.12), имеют непрерывные производные до р-го порядка по всем, и» и при х=хо обращаются. соответственно в уе ((=1, ..., и). Эта теорема остается верной и для р=О, если функции )! удовлетворяют условию Липшица по у„с коэффициентом, не зависящим от )».
Следствие. Если правые части системы (4.4) имеют по х и всем у; непрерывные производные до, р-го порядка, то функции у;(х, хе, у",, ..., у„" ) (1=1, 2, ..., и), которые удовлетворяют системе (4.4) и при х='хе обращаются соответственно в уе!, имеют непрерывные производные по х, и у!о до р-го порядка (ръ1). Это утверждение остается в силе и для р=О, если функции 1; таковы, что они обеспечивают единственность решения, для которого у, (хе) = уо 1=1, ..., и (ср.
теорему $19 и замечание к ней). ЗАДАЧИ 1.,Проведите подробные доказательства теорем Пенно, Коши я теоремы о зависимости решения от параметров я начальйык усло- вяй. Сформулируйте следствия для сястем высших порядков. Пере-' несите на системы уравнений результаты $ 13, 19; задачи 8 я 11 $ !2; 4 $ 14; 4 и 5 $ 19. 2. Распространите теорему 2 и теорему 3 ф 11 на системы урав- нений 1-го порядка. При этом в формулировке теоремы 2 взамен случаев 2 я 3 должно быть ч — 1 ппп(Р(х),(1+~~~ ~(у!(х)1) ~- 0 пря х-»1! — 0 (х»а+О), г ! где р(х) есть расстояние от точки (х, у~(х), ..., у„(х)) до гранины 0 (р(х) — = 1, если б совпадает со всем престранством х, уь ..,, у„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
