1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ч Теоремы 2, 3, 4 и 5 из 2 33, а также следствие из теоремы 3 полностью сохраняются для уравнения (5.8), если в них под линейной комбинацией решений подразумевать суммы вида (5.10), а детерминантам Вронского называть детерминант (5.12). 5.- На главной диагонали в правой части системы (5.9) стоит только один коэффициент, который может отличаться от нуля) это коэффициент а ь Поэтому формула (5.7) теперь примет такой вид: йУ (х) = ((У (хе) ехР ~ а 1($) йй. 3 а Меч ание.
Если определитель (5.12) .для функций уг(х), уа(х), ..., у„(х), о которых ие сказано, что они удовлетворяют уравнению вида (5.8) с непрерывными коэффициентами, тождественно равен нулю, то отсюда ие следует, что эти функции линейно зависимы, т'. е. что для них имеет место тождество вида (5.11), причем по крайней мере одно из С; отлично от нуля. Это показывает следуюший пример. Пусть уг(х) =ха, уа(х) =х)х~ ( — 1~к~1).
Легко видеть, что эти функции линейно независимы и тем ие менее их определитель Вронского тождественно равен нулю. задачи 1. Покажите, что если Лгу(а1 у1+1 (х) = —, 1=0,1, ..., л — 1, а=1, .... я, ох~ то построенная в $33 система эквивалентна одному уравнению и-го порядка. Е, Пусть о(а~(Ь|~Ь и решение у(х) уравнении (63) имеет иа (аь Ь~) бесконечное множество нулей. Докажите, что тогда у(х) =О на (а, Ь).
3. Решите уравнение у"+ху=о, йз>1 понижинии порядка однородного' гглвикния 153 разложив у в рнд Маклорена. Докажите сходимость етого рида. (Ср. задачу 3 й 32.) 4. Если для аналитических функций у('>(х),...,у(ь>(х), ааданных на интервале (а, Ь), определитель (5.12) тождествеыио равен нулю, то зги функции линейно зависимы.
5. (Дж. Аскезы.) Пусть дана система и раз непрерывно диффереицируемых линейно независимых на интервале (а, Ь) функций у('>(х), ..., У("'>(х) (т(а), Докажите, что для- су>цествоваиыя уравнения (5.3) с непрерывийми козффициеытами, для которого заданные функции будут частными решеныими, необходимо и достаточно, (( лзу(1> чтобы ранг матрицы) — (0<да и — 1; 1Я«=т) равнялся т в каждой точке цнтервала (о, Ь) (ср. задачу й 35).
6. Докажите, что для того, чтобы Функции Уи>(х),,У('">(х) непрерывные при а(х: Ь, былы линейно зависимыми на атом интервале, необходимо и достаточно равенство нулю определителя Грана з бе1' )~ ~ у(" (х)у( > ( х)>(х ~~. О й 37. Понижение порядка линейного однородного дифференциального уравнения Допустим„ что нам известно т линейно независимых решений уравнения (5.8) с непрерывными коэффициентами иа интервале (а, Ь) у(в(х), ..., у(т>(х) .
(5.13) Из линейной независимости функций следует, что ии одна из них ие равна тождественно нулю. Пусть хз есть какая-нибудь точка этого интервала, где у(о(х)чт0> Так как у((1(х) непрерывна, то существует некоторый интер. вал (а(, Ь(), заключающий внутри себя точку-хь в котором !у((>(х) ) )О. Сделаем замену неизвестной функции в уравнении (5.8), положив р (х) р(п (х) х (х).
Легко видеть тогда, что функция х(х) удовлетворяет уравнению вида ~Рг >г~ >г — =а„> (х) лхи ((хз-> ыа ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ лг + а', (х) †, +и' (х) г, где коэффициенты а'!(х) непрерывны на интервале (аь Ь!). Так как уравнению (5.8) удовлетворяла функция у!(х), то последнему уравнению должна удовлетворять функция х(х) — = 1; поэтому должно быть а (х) =О. Положим теперь Тогда функция у* удовлетворяет линейному однородному уравнению (и — 1)-го порядка с непрерывнымн коэффициентами !(л-! у»,(л-» у» — = а„ ! (х) лл»у* +а„е(х) + ... +а!(х)у".
(5.14) Этому уравнению должны удовлетворять на интервале (а!, Ь,) функции у', (х) =-— 1 у!!+П (х) угв (.) Покажем, что они линейно независимы. Действительно, допустим, что существуют такие постоянные Сь С~, ..., С, !, среди которых по крайней мере одна не равна нулю, что на интервале (аи Ь!) имеет место тождеетво гл — ! с=! Тогда на этом интервале должно быть и — 1 С; у!'+'! (х) + Су"! (х) = О, с=! 4 ЗЗ) О НУЛЯХ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ т-га ПОРЯДКА гат где С вЂ” некоторая новая постоянная.
Следовательиоа ункции (5.13) линейно зависимы на интервале (аь Ь|). тсюда вытекает, что некоторая нетривиальная линейная комбинация (5.10) тождественно равна нулю на интервале (аь Ь|), а потому (по теореме единственности) и на интервале (а, Ь), т. е. зти функции зависимы на. всем интервале (а, Ь). Но это противоречит исхбдному предположению о том, что функции у;(х) линейно независимы иа (а, Ь).
Имея т — 1 линейно независимых решений уравнения (5.14), мы можем с ним проделать все то, что мы только что проделали с уравнением (5.8). Тогда получим на некотором интервале (ат, Ьа)„ заключенном в (аь Ьг), некоторое уравнение (т — 2)-го порядка. Рассуждая таким же образом дальше, мы, наконец, придем к линейному однородному уравнению (п — т)-го порядка ив некотором интервале (а ч Ь ). ЗАДАЧИ Н Покажите, что в условиях данного параграфа из любого интервала (а, Ь), где ач а(Ь(Ь, можно выбросить конечное число* точек так, что иа каждом из полученных интервалов порядок уравнения понижается до (и — ш)-го.
2. Найдите общЬе решеняе.уравнения (2х — Зхз) уа+ 4у'+ блу = О; известно, что одним из его решений служит многочлеи по х. 3. Укажите простой способ понижения числа уравнений в системе (5.4) при известном ненулевом частном решении. В 38, О нулях решений линейных однородных уравнений 2-го порядка В этом параграфе мы будем рассматривать уравнения вида у"+а(х)у'+Ь(х) у=О с непрерывными а(х), а'(х), Ь(х), Нас будет интересовать имеющий большое значение в приложениях вопросо том, как часто решение такого уравнения может обращаться в нуль. Каждое значение х, при котором у(х) =О (сл. Ч онщля тпогима лииииных систнм будем называть нулем функции у, Подстановкой у (х) = г (х) ехр ~ — — ~ а Ц) й $ ~ уравнение (5.18) приводится к виду г" +В(х)г=О, (5.17) тде аз а' В= — — — — +Ь 4 2 и, следовательно, непрерывно.
В силу непрерывности а(х) функции г(х) и у(х) обращаются в нуль одновременно. Основной является следующая Теорем а Штурма. Пусть даны два уравнения г",(х)+Ве(х)гз(х) =О и г (х)+Вз(х)яа(х) О, причем на всем рассматриваемом замкнутом интерввле аахм;Б функции Вз(х) и Вз(х) непрерывны и В (х) ~В (х). (5.18) Тогда между каждыми двумя соседними з) нулями хз и хз„ам.:хе<хам,б, не тождественно равного нулю решения я,(х) первого из этих уравнений заключен нд крайней мере один нуль любого решения га(х) второго уравнемия, если га(х) не обращается в нуль при х=х, или .х=хь Короче в -таких случаях говорят, что решения второго уравнения колеблются ие реже, чем решения первого. Доказательство. Подставим оба сравниваемых решения г~(х) и гз(х) в соответствующие уравне:ния.
Первое из полученных тождеств умиожим на гз(х), а второе на гз(х) и вычтем почлеино из первого тождества второе. Получим .г, (х)г,(х) — г, (х) г',(х) = 1Вз(х) — В,(х)) г,(х) гь(х). (5.19) о Нетрудно показать, что если бы г~(л) имело бесконечно миоео нулей иа отрезке (а, Ь), то иа нем обязательно нашлась бы точка, и которой обратилось бы и нуль как з,(л), так и з'(л), и потому' было бы г,(л) ~0. (Ср. задачу 2 к $36.) ь м~ о нэлях гашении эгьвиании а поэядкь 1ав, Так как получим г[(хь) гь (хь) — г (хг) гь (хт) = = ~ [В,(х) — В,(х))гт(х) г,(х) дх. (5.20,' Поскольку мы предполагаем, что х1 и хе являются соседними нулями г,(х), то между х| и хг функция г,(х) сохраняет знак.
Так как г~(х) удовлетворяет линейному однородному уравнению н, следовательно, — г~(х) также является решением того же уравнения, то, не ограничивая общности, мы можем предположить, что г~(х) положительно между х~ и хь Так'как ии г', (х~), ни г,' (хгг не могут быть нулями, иначе г~(х) тождественно равнялось бы нулю, то из положительности г~(х) на интервале (хь хг) следует, что г', (х~) )О, а г,' (зЪ) <9' Согласно (5.18) В, (х) — Вг(х) ~0. Если бы доказываемая нами теорема была неверна, то существовало бы решение гг(х), которое не обращается в нуль иа открытом интервале (хь хь) и по крайней мера на одном из его концов. Без ограничения общности мы можем считать гг(х) на этом интервале всюду положительным.
Но тогда левая часть равенства (5.20) была бы отрицательной, а правая неотрицательной. Та' ким образом, мы пришли к противоречию, допустив, что наша теорема неверна. С' л е д с т в и.я. 1. Никакое не тождественно равное. нулю решение уравнения (5.17) не'может обратиться на каком-нибудь интервале (а, Ь) в нуль больше одного. раза, если всюду на этом интервале В(х) <.:О.
г, (х) г, (х) — г, (х) г" (х) = ', [г', (х) г, (х) — г, (х) г"„(х))„' то, интегрируя тождество (5.19) от х1 до хг и пользуясь тем, что по условию г~(х~) =г~(хг) =О, ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ЛИНЕИНЫК СИСТЕМ !гх, ч В самом деле, если бы какое-нибудь решение е(х) этого уравнения обратилось в нуль при х=х, и х=хз (а<хг<хз<Ь), то по доказанной только что теореме на замкнутом интервале [хь хг] должно было бы обратиться в нуль, по крайней мере один раз, всякое решение уравнения г" (х) — = О, что, очевидно, неверно. 2, Вели хг и хг — два последовательных нуля какого- нибудь решения уравнения (5.16), то всякое другое решение этого уравнения имеет на интервале (хь хг) ровно один нуль, если отношение этих двух решений не постоянно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
