1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть «р(х) ш (х) +(ш(х), Ф~ где гр(х) и тр(х) действительны. Тогда, по определению, Ф (х + Ь х) — ~р (х) 1. ~р (х+ Ь х) — Ф(х) + э» з Ьх эхчз Ьх ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ $«Ц ° * + Е 1пп ~ ) ~( ) =«р'(х)+ Е«р'(х). А О Ьх, Здесь, конечно, предполагается, что «р'(х) и «р'(х) существуют. Отсюда видно, что при комплексных С; и Ф4(х) 1Е СЕ«рЕ(х)1, =- Х С;«рЕ(х) точно так же как н при действительных С; н «р;(х). Аналогично можно показать, что и для производной цронзведения комплексных функций сохраняется обычное праеило, Согласно ~ 32 линейную систему с постоянными коэффициентами можно записать в матричном виде .— = Ау + )'(х), ф «ЕТ (6,1) где А — квадратная матрица коэффициентов, а Е'(х) и у(х) — заданная и искомая матрицы-столбцы' (иначе говоря, векторы).
Основная идея решения системы (6.1) состоит в том, чтобы с помощью линейного преобразования искомого вектора привести эту систему к наиболее простому виду. Линейное преобразование г« = Я л«!. у«ь ! = 1, ..., л, можно коротко записать в виде г=Кд, К вЂ” = АК ' г + Е'(х), «Ех где г(х) — новая искомая матрица-столбец, а К— квадратная матрица преобразования. Так как нас интересуют только неособые (невырождеиные) преобразования, то «Ее1 КФО и у=К-«х.
Подставляя это в (6.1), получим Тав системы с постоянными кОэФФициентАми 1нс ч1 откуда — =КАК 'з+'К~(х) ве или окончательно — = Вз+ а(х). ег «х (6.2) где В=КАК-1, д(х) =К1'(х). (6.3) Каждая клетка П; представляет собой квадратную матрицу некоторого порядка л; (1~а;<л) вида П1= Здесь на главкой диагонали стоит один из корней характеристического уравнения матрицы А: бе1(А — ХЕ) =0 Система (6.2) имеет тот же вид, что и система (6.1), но матрица коэффициентов изменилась по первой формуле (6.3), Встественно попытаться при заданной матрице А подобрать матрицу К так, чтобы матрица В приобрела по возможности более простой вид. В курсах линейной алгебры доказывается, что матрицу преобразования — ее мы обозначим через К вЂ” всегда можно подобрать так, что матрица В=КАК-1 имеет так называемую жорданову нормальную форму.
Эта форма такова: вдоль диагонали матрицы В стоят жордановы клетки Пь ..., ПА (1~й сл), а остальные элементы матрицы В равны нулю: э 4н ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ уве пег = Хг гг пх и'гз — = гг+ Х~ ге нз + да(х), (6.4) 442 га, 1+ Х~2а, + й», (Х), Для дальнейшего введем «растяжение» каждой из неизвестных функций с произвольным коэффициентом, т. е.
сделаем замену этих функций по формулам г, = а,г„г, = а,г,, ..., г,, = а„,г„, (6.5) где все а4 — произвольно выбранные отличные от нуля числа. Тогда уравнения (6.4) переходят в уравнения О В жордановых клетках, прнменяемых в линейной алгебре, еднннпы обычно стоят непосредственно вып4е главной днагоналн, а не ниже ее, как показано здесь, Однако если перенумеровать новые переменные в обратном порядке, то матрацы Пг транспоннру4отся, н мы прндем к этой более удобной нам формн (Š— единичная матрица), на соседней диагонали снизу и стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.
При этом л; равно степени так называемого элементарного делителя. (Х вЂ” йт)"1, отвечающего корню Хь Если некоторому корню отвечает несколько элементарных делителей; то и соответствующее количество клеток в жордановой форме имеет на главной диагонали один и тот же элемент. В наиболее простом случае, когда нсе элементарные делители первой степени (так будет„в част.- ности, если все корни характеристического уравнения различные), все клетки имеют первый порядок, т. е. матрица В будет иметь чисто диагональный вид. Если обозначить г=Ку, д(х) =Щх), то для -г(х) оз получится система уравнений — = Вг +д (х) (см, (6.2) ). Если перейти от матричной записи системы к обычной, скалярной записи, то получится й групп уравнений, отвечающих Й жордановым клеткам матрицы гз; например, первая группа имеет вид + й,(х), 179 СИСтйМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КЬЭФФИЦИВНтАМИ !гл.
Ч! (проверьте1) Ж! — = Х1г1 ах + а1у1 (х) = )!,г1 + у1(х), — ' = — г, + А1га + а,ьта (х) = а,г, + х1гэ + уэ (х), агв аа а» а! !!1~ аа — г, 1 + А1г%, + а я«,(х) = ах = Ф»,— ! гл,— ! + А1га, + Юа, (Х) ~ где обозначено а1= —, ...,а„, !.= —" а1 ' аа, ! а1(х) = а1а1 (х),..., а„г(х) = а„,д„, (х), Отметим, что, подбирая коэффициенты а!! ...,а, можно сделать а„..., а„! любыми наперед заданными отличными от нуля числами: для этого достаточно, например, положить а! — — 1 и последовательно находить аг = а1, аз=аааг, ..., а„, = а„, ! а„, ! .
Преобразование вида (6.5), совершенное над каждой группой искомых функций, можно коротко записать в виде г=1г, где 1. — соответствующая матрица коэффициентов, В итоге мы получаем г= Ы=1.Ку=Ку, где К=).К. !гг! ах + Х1г, + Уа (х), = Ф1г1 + Хгга + Уа(х), = ааг, Если совершить такую замену переменных, то мы перейдем к системе (6.2), которая в скалярной записи в. силу сказанного выше имеет вид +а (х) 171 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ "гл !22 + йи, (х) ~л,-!гл,— ! + Л,г,, йгл +! Лл йгл + Их' Лиги +! + Ки,+! (Х), + Лиги,+2 + ал,+2 (х), + Лиги~+3 + Ки,+3 (х) 1)Тги,+! ~гл, +3 2!» риги, +2 ()И,-ЯЛ,+Л,—, + Лиги,+Л, + Бил,+Л, (Х) (6.6) йг л — л!,+ ! Ллг, л,+! + Ил «„+,(х), йг и — л +2 + Ллгл — и +2+ йи — 32+2(х)~ 33!Ел — и +! и + Лиги-л3+ + йл- „+~(х), = «3„3 !ги 2 + ЛАг„+ й„(х).
Здесь чнсла.232, (12, ...,33! можно выбирать пронзвольно, лишь бы только онн йе равнялись нулю; в частностн, можно считать нх пронзвольно малыми по абсолютной величине. Числа же Л! вполне определяются данной системой. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая внд (6.6), называется канонической. После приведения системы к каноннческому внду ее легко проннтегрнровать. Действительно, в первое уравненне канонической системы входит только одна нензвестная функция г2(х). Определив ее нз этого уравнення н подставив во второе уравнение,мы опять получим лнцейное уравнение только с одной неизвестной функцнен гг(х) н т.
д. 17й систамы с постоЯнными коэаенЦнантдмн (пк чс Интегрирование линейных систем с постоянными коэффициентами подробно рассмотрено в $45 и далее. В $42 — 44 мы изложим независимую от курсов линейной алгебры теорию приведения линейных систем к каноническому виду; читатель может по своему усмотрению прочитать или пропустить эти параграфы. зддлчд Докажите, что формула Лагранжа конечных приращений для комплексных функций действительного иеремениого уже ие обизаиа выполняться. Однако для днфференцируемой иа а(х<Ь функции 7(х) справедлива формула ЦЙЬ) — ((а)) рр(6), где а(й(Ь, а Х н р — некоторые действительные числа, вообще говоря, зависящие от а, Ь, С, причем У+ргФО. й 42.
Теорема.о приведении к каноническому виду Те о р ем а. Пусть дани линейная система уравнений с постоянными коэффициентами йус 'чЧ вЂ” = у„ацус+Дх), 1=1, ...,и. (6.7) йх 1=1 Всегда существует линейное преобразование л ус= ~~ сцгс, у которого коэффициенты сц постоянны, де11)ссс))ЯО и которое приводит систему (67) к каноническому виду (6.6). Функции йс(х) в новой системе суть линейные комбинации с настоянными коэффициентами из функций )с(х). Доказательство. Прн п=1 теорема, очевидно, верна. Допустим, что она верна для числа уравнений, равного п — 1; докажем, что тогда она верна и для числа уравнений, равного и. Помножим с-е уравнение системы (6.7) на Ьс, где йс — некоторые постоянные, которые точнее будут определены позже. Полученные уравнения просуммируем.
Получим й~„й,у, = — ~~ ацйсус+ ~) йс7с(х). д с! ' с Определим теперь Ьс так, чтобы тождественно по ус было э ез) теОРемА О пРиВБДении к кАнОническОЯУ ВИДУ 17 ацйгу юе ХЯ й/у/, где Х вЂ” некоторое постоянноц действительное нлн комплексноа Для етого, очевидно, необходимо н достаточно, чтобы коэффициевты при одинаковых у» в обеих частях этого равенства были одинаковы, т. е. чтобы было ацй» = Айь Е /=1, ..., а. Таким образом, для определения й» мы получили систему а линейных однородных уравнений с а неизвестными.
Чтобы зтз система имела нетривиальное решение, которое только н будет представлять для нас интерес, необходимо и достаточно, чтобы детерминант, составленный из ее коэффициентов, быь раасн нулю. Это условие можно записать так: г(е1(йацй — )»Е) — ( — 1) "де1(ХŠ— йа»/П) =О, (6.8) аНА»е Х»й»/ Ц= 1, ..., а). Е Для определенности положим, что йичьО. Очевидно, это нисколько не ограничивает общности, тзк как мы всегда можем достигнуть этого изменением нумерации у уь что сводится к неособому преобразованию.
Положим далее 3,= ~ й»/у/. / (6/9) Эта функция удовлетворяет уравнению Нг~ = )»»7» + у»(х), 1/х где я»(х) = ~» й»/Цх). е Зепи»пем это уравнение вместо первого уравнения системы (6.7); Все же остальные уравнения этой системы перепишем, заменив в ннх уе его выражением, полученным из (6.9). Это выражение можно найти, так' как, по предположению„й»ечЬО. Полученную систему где Š— единичная матрица.
Уравнение (6.8) называется еще веко. вым уравнением и играет важную роль во многих вопросах математики, физики и астрономии. Матрица же ()»Е — 1(а»»~1) называетея характеристической митричей системы (6.7). Пусть Х» — один из корней уравнения (6.8): Обозначим буквами йи (/=1,...,з) какую-нибудь систему чисел, не состоящую из одних нулей, которая удовлетворяет системе уравнений $74 системы с пОстОЯнными кОэФФиЦиентАми (гл. ч! будем обозначать номером (6.7'). Она будет иметь следующий вид: И~1 — =. Лсгс + ус(х), (6. 7') Мы допустили, что доказываемая теорема верна для (л — 1) уравиеиий. Примеиим ее к системе, иолучеииой из (6.7') выбрасыванием первого уравиеиия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
