1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Замечание. Если все коэффициенты в рассматриваемой однородной системе действительны, то действительная и мнимая части каждого комплексного решения этой системы в отдельности являются решениями однородной системы, Мы называем действительной (соответственно мнимой) частью решения у'(х) + '+<у**(х) функцию у'(х) (соответственно у'*(х) ). Если мы имеем и линейно независимых вектор- функций !66 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (гл, Ч! циальиых уравнений с постоянными действительными коэффициентами всегда можно составить фундаментальную систему иэ действительных решений. здддчи !. Если А — квадратная матрица порядка и, то по определению ! ! ! е4 =Е+ — А (- — Аз+ ...
-! — А" + .... !! 2! и! Докажите, что этот ряд всегда сходится н что матрица ел обладает следующими свойствами: е ' е"' =е' ' "; еэ Е; е-" «Л Л Ышхыи (еэ)-'. покажите, что матрица е*" днфференцируема по х и (е*')'=Ае"'. Докажите, что если А=К-'ВК, то ел=К-'еэК. Получите выражение для е в степени матрицы, имеющей (обычную) нормальную жорданову форму. Докажите, что если вещественные части всех корней характеристического уравнения матрицы А меньше некоторого числа — а~о, то (е*"( =Ме-о" прн х)0 (сьь задачу ! 5 32), где постоянная М)0 зависит от выбора матрицы А' 2.
Докажите, что общее решение системы (6.!2) имеет вид д-е* С, где С вЂ” произвольный постоянный вектор; решение системы (6Л2) при начальном условии у(хэ) уе имеет внд у е(х-хю)л уе $46. Применение к однородному дифференциальному уравнению и-го порядка Характеристической матрицей для системы (5.9) с постоянными коэффициентами, которая эквивалентна этому уравнению (5.8), является матрица Х вЂ” 1 .
(6.14) О Л вЂ” 1 — ае — пэ — аэ — и ... — а„э 2,— ал э 1ы1 пгинннвннв к одногодномт тэквнвиию 189 Теперь мы будем считать все а; постоянными. Детерминант этой матрицы, как легко подсчитать. равен Ли а„,Л -ь~„зЛ"-з,. — а1Л вЂ” аьввМ(Л). Вычеркивая же первый столбец и последнюю строку, мы получим матрицу, у которой определитель равен +1 или — 1. Следовательно, если многочлен М(Л) имеет корень Л, кратности р., то матрица,(6,14) имеет элементарный делитель (Л вЂ” Л,)Р' . Никаких других элементарных делителей, которые представлялись бы некоторой степенью (Л вЂ” Л,), у эюй матрицы нет. Поэтому корню Л, кратности р.
соответствует р, линейно независимых между собой (и с решениями, отвечающими другим корням М(Л)) решений вида (С, + С,х+ С,х'+ ... + С,хр ') е"**. (6.15) Легко проверить, что такими решениями могут служить Действительно, если бы между этими функциями существовала линейная зависимость, то выражение вида (6.15), у которого по крайней мере одно из С~ФО, тождественно равнялось бы нулю. Но так как е" * никогда не обращается в нуль и многочлен, у которого не все коэффициенты равны нулю, не' может тождественно равняться нулю, то это невозможно. Если все а; действительны, то каждому комплексному элементарному делителю (Л вЂ” Л,) ' матрицы (6.14) соответствует сопряженный с ним элементарный делитель (Л вЂ” Л,)" той же матрицы.
Тогда каждому решению у,(х) = х'е~~* =х'е **(сов()„х+(в1п(),х) уравнения (5.8) с постоянными коэффициентани соответствует решение у, (х) = х'е *" = хье ' (сов р,х — 1 в)п р,х) 1йа системы с постоянными коэвфицнентдмн 1 . уг того же уравнения (Х,к ал+)рл). Поэтому тому же урав- нению будут удовлетаорять действительные функции = хае л совр,х, у,(х)+у,(х) а х 2 Таким образом, мы получим и действительных линейно независимых между собой (почему?) решений уравнения (5.8) с постоянными коэффициентами.
ЗАДАЧИ .1. Покажите, что указанное выше (напечатано курсивом) стра. ение элемвнтарных делителей в случае системы уравйеиий 1.го порядка является также достаточным условием для того, чтобы эта система после совершения неособого преобразования своднлзсь к системе (Ь.й) с постоянными коэффициентами, эквивалентной одному уравнению л-го порядка. Таким образом, мы имеем необходимое и достаточное условие для того, чтобы система л линейных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами была эквивалентна (в тольно что указанном смысле) одному линейному 'уравнению л-го порядка с постоянными коэффициентами. 2.
Найдите общее решение уравнения Эйлера бл у лл-1 у 1(у хл — -1-а 1 х""1 -1- ... +а х — +азу=о, л-1 ! 1 . 1 где все а1 постоянны. (Для этого от независимого переменного х надо перейти к независимому переменному А положив х=~е1.) Здесь вместо степеней х могут стоять также степени двучлена ах+Ь (а в Ь'постоянны), 3. Найдите все решения уравнения у'(х) =ау(х) +Ьу(с — х), существующие при — ол<х<ол (а, Ь и с постоянны), 4.
Выведите все основные свойства пункций з!па и созх, рассматривая нх как решения уравнения у'+у О при начальных условиях соответственно у!л-л=б, у'(л-л 1 и у!л-1= 1, у )* 1= О.. Ь. Обозначим элт) частные рншнния неоднородных систнм 181 Выведите формулу Е (е * Д = е " ~ М (л) ( + — — + ...
-(— яа ая Г М' (Х) б( Мра)(х) с(е 1 1 11 от п1 с(тл Получите отсюда общее решение уравнения (5.8) с постоянными ноаффнциентамн. и 47. Разыскание частных решений неоднородных систем ила+я — = е,гаь, + Х ге+я от + Се+яхве"', + С' хаео', М+в ат нега+я + Х, ге+а "к+р, ох Здесь Сс неизвестные е...га+... + ),га+, + Са+,,хрг некоторые новые постоянные. Введем новые функции г~е, положив га=г(Е'е*, (=й+1, ..., я+ра, Мы сейчас будем разбирать только тот,случай, когда в системе (6.7) ~, (х) ~; Сс"е"а* хаа, а=1 причем аа и С) здесь могут быть как действительными, «1 так н комплексными, а ра — целые неотрицательные числа.
Очевидно, достаточно разобрать только случай, когда я=1, потому что в общем случае частное решение является суммой решений, составленных для этого част- ного случая. Итак, положим, что С поела Выпишем гру.. ту уравнений системы (6.6), соответ- ствующих одному какому-нибудь элементарному дели- телю (Х вЂ” Х,)а матрицы ХŠ— А: — = Х,га1., + Са+,хае'"", ~Ь вйй СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл.
и! Тогда получим сна+'! !(к СА+,хве(" "ъ)', дза+2 ° — = в)ха+! ок + С,+,хве( ь*), (6 (6) "ка+з = ввез+2 !(к + С хае'" А.", а+з +!а (а — 3, )к — = вр )гае )+ САФ хве пк з за Рз ) При интеграции этой системы нам придется различать два случая, смотря по тому, равны ли а и Х, или нет.
1-й случай, когда А,чьа. Интегрируя уравнения (6.16) последовательно, начиная с первого, мы получим, что а;=М(()(х)е(е-Аз) ! й+1 й+р, где М( (х) — некоторые многочлены по х не выше (в) ()-й степени '), Отсюда г! М! '(х) е'", )=А+1, ..., й+рм Если ни одно из Х, не равно а, то все и(, ()=1, „., и) будут иметь вид ') В теории аналитических фуниннй показывается, что те формулы, которые получаются прн интегрировании кае(" з)"в случае действительной разности а — йы справедливы также и в случае комплекснык ее значений. Это можно проверить н непосредственно. х( = М! (х) еах (в) а потому н частное решение у будет иметь внд у(=М('~(х)е'", )=1,...,и, (6.17) Коэффициенты многочленов М~~М(х) можно найти сравнением коэффициентов при одинаковых степенях х в уравнениях'(6.7) после подстановки в них вместо у(.
выражений (6.17) и сокрашения полученных уравнений на е'*. 2-й случ а й, когда А»=а. Тогда система (6:16) при' нимает вид ога+г ° — = е,г' йг + ага+а = еяаь дх +г Ф ь+Р, — еа 1ха+а ~+ Са+и ха. Интегрируя последовательно эти уравнения, мы най- дем частное решение вида ха+, (х) =М~'~ .(х)ха, 1 1, ..., р., где М1'+',. сюда есть многочлен не выше (-й степени по х. От.
хьчг (х) =хам г(х) еь", 1= 1, ..., р,. Следовательно, система (6.7) имеет частное решение йч(х) =М,".4+ю(х)еог О, 1=1, ..., р,. где М»О+и(х) — многоялеиы ие выше (6+р)-й степени по х, а р есть наивысший показатель степени у эле» ментарных делителей ХŠ— А, которые имеют вид (7» — а)о. Следствие для одного уравнения иго по,- р яд к а. Если для многочлена )Р— аи-г)Р-г — а, АР-х — ., — агХ-на а есть корень кратности р(р- 0), то уравнение а»у дл-гр ди-эр = а -т + о и + ° .
° + ого»» + пор + Схаео» дгч и ~ дги т и игл 3 П Выло бы неправильно думать,что у системы (6.7) обязательно имеется частное рещение вида уг =грМ~О~(г) еог, так кан, кроме ассматрнваемой группы уравнений, для которых соответствующее ,=и, могут быть другие группы, для которых Х»чьа. 7г! и. Г, петро»»кяа й чп частныи рнювиня ниодногодных систем 1йй 124 систныы с постоанными коэеэнципнтдмн (ш.чт имеет частное решение вида у(х) =М< рчх)е где м(в+р>(х) есть многочлен не выше (р+р)-й степени. Вычитая отсюда решение вида (6.15) однородного уравнения, мы получим частное решение неоднородного уравнения в виде у(х) =М<61(х)хнеее. ЗАДАЧИ 1. Получите .вид частного решения уравнении, приведенного в следствии, используя результат задачи б 5 46. 2.
Докажите, что обшее рашенне састемы (6.1) имеет вид у= екЛС+ ~ есх з1")(з) лз, где С вЂ” произвольный постоянный вектор, Решение системы (6.Ц при начальном условии у(хе) уе имеет внд у а(к кь)л уз+ ~ е1х-з1А ) (з) лз 3. Опираясь иа последний результат и нз задачу 3 $19, докажите, что если каждое, решение системы (6Л2) ограничено при х-ь+оо, то и каждое решение системы у'- (А+В(к)) у+)(х), где +ОО +ее 1В(к)1ок г оо, ) '11(к)зох«оо (матрица В(х) и вектор 1(к) непрерывные)„также ограничена при х-ь+оо, Если же, кроме того, все решения первой системы стремятся к нулю прн х-ь+еа, то и все решения второй системы стремятся к нулю при к-ь+со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
