1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что для самого просак того скалярного уравнения — = — ау (а=сонэ(>0) лк 4аа) ' аа имеем — = 2у — = — 2ауа и тем самым, если положить ак ок. У(у) =ра, 'мУ(у) =2ауа, условие (6.27) и остальные условия леммы Ляпунова будут выполнены. Это наводит на мысль, в случае системы (4.4), сделав неособое линейное преобразование г=Ку, приводящее линейную часть системы к каноническому виду, принять за функцию Ляпунова у' сумму квадратов модулей новых искомых функций. Для этого применим к системе (4.4) такое не- особое линейное преобразование с постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами, которое приводит к каноническому виду систему — = Ау; оу лс при этом мы будем рассматривать только такие (вообще говоря, комплексные) значедия зь ..., гл, для которых соответствующие значения уь ..., у„вещественны.
Положим теперь л у(у)= ~а~а =~; з,з, 1 $ (конечно, в правую часть надо подставить выражение я через у), Тогда л л'с' ~ ~( Ыг~ — Ыг~ ) с-1 Для подсчета этих производных рассмотрим одну из групп полученных уравнений, соответствующую одному какому-нибудь элементарному делителю, например (А— О См. сноску' на с.
95. тстоичивость гашении по ляптновт ааа з 491 — Л,)а матрицы ЛŠ— А аз1 — =Лг 1 1 +Р;(х, г), азз = ()згз + Лзгз ах + 2( ' )' (6.30) ага и, ах (),г„1+ Л,г„, + Р„" (х, г). Здесь Л1 равно одному из корней уравнения (6.28), а р, можно выбрать произвольно, лишь бы оно не равнялось нулю. Если функции Р; удовлетворяют условию (6.29), то фу~~и~~ Р~ удовлетворяют неравенству ~ Р; (х, г) / ~~ М' / г ~'+а, (6.31) где Ма — некоторая новая постоянная. Действительно, все Р; (х, г) являются линейными комбинациями функ- ций Р1(х, у), ...,Р„(х, у) с постоянными коэффициента- ми.
Следовательно, ~Ф;(х,х) ~ <М,~)Р,(х, у)) ~ Ма!у~1+~. ! Так как у =К 'г, то прн всяком 1 (у ('+а~Ма(шах гу ~) '+а~Ма~ г~ '+а где Мь Мм Мз — постоянные, а шахах;~ означает наибольшее из чисел ~г~~,..., ~г„~. Цз уравнений (6.30) находим при 1>1 а ~з~ ~з 16~ йс — =гг +гг =Лгал+Лзгсгг+()зги-зги+ ах йе Л~ — — а1 + ))з гз-зг~ + г~Р + гА. (6.32) При 1=1 получаем такое же равенство, только в нем отсутствуют члены с р1 и рь Из (6.32) находим, полагая ЭМ системы с постоянными коэеэициентами.1 . щ и пользуясь оценками (6.31), — < 2аг ( хг Г + ! ()г ~ П хг Р + ) хг-г ~') + 2М ) а ~а+а 1=2...,,л„ (6.33') — <2ад!х,~'+ 2М" ~г)'+ ах (6.33') Поэтому, суммируя неравенства (6.33") и (6.33') по всем 1 от 1 до и и обозначая через — а наибольшую из действительных частей всех зл, которая, по нашему предположению, отрицательна, получим — = — ~ — 2ар + 2()У + 2М "л'Р+а~з, (6.34) ах ах где 6 есть наибольшее 'из чисел 1р;1.
Так как числа ф~ мы можем выбирать произвольно, лишь бы они отлича- лись от нуля, то мы можем их выбрать так, что ~<— 4 Будем, кроме того, предполагать, что все рассматривае- мые у, и, следовательно, г; настолько малы по абсо- лютной величине-, что ра/з ( (6.35) 4М* ла (6.34') Полагая 1г =аУ, мы видим, что условие (6.27) и остальные условия леммы Ляпунова выполнены, и наша тео= рема доказана.
3 а меч а н и е. Если для системы (4.4) имеет место единственность решения, проходящего через любую точку кривой у=ул(х), хохм то свойство устойчивости не зависит от конкретного выбора ха. Иначе говоря, если задавать начальные данные при любом фиксированном хо >ха, то решение у=уз(х) системы (4.4) 'будет устой.чивым тогда и только тогда, когда оно было устойчи-. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ПО ЛЯПУНОВУ й чэ! вым при задании начальных данных для х =хо.
'Лействительно, это сразу следует из непрерывной зависимости решения от начальных данных на конечном интервале хе~хм„-хо' (см.-$19' и 29, в частности, замечание к теореме 9 19).. ЗАДАЧН . !. Докажите следующую лемму о неустойчивости. Пусть ж условиях леммы об устойчивости от функции У вместо иеотрнцательиости требуется, чтобы она принимала положнтельиые значения в любой близости от начала координа~ н, кроме того, чтобы. где непрерывная функция 0 положвтельиа во всех точках положятсльностп У. Тогда пулевое решение системы (4.4) неустойчиво. Покажите на примерах, что леммы об устойчивости и о неустойчивости становятся несправедливымп, если функция У зависит также и от х. Укажите дополнительные требования, при кото-- рых леммы остаются справедлнвымн.
2. С помощью леммы о неустойчивости докажите, что если в условиях теоремы котя бы один корень уравнения (8.28) имеет положительную вещественную часть, то пулевое решение иеусю э тойчиво. Для этого положите У(у) = ~~~~(з! )э — ~ ) зг)з, где! ! ! т+! з„,.„з — это те канонические переменные, которым отвечают корни с положительной вещественной частью. 3.
Постройте пример системы (4.4) только с одним устойчивымрешеиием, для которой, однако, решение с любыми начальными данными существует, единственно н ограничено при всех х. 4. Пусть решение системы (4.4) с любымн начальными данными стремится к нулю при л-~-+со н упэо является решеивем системы (4.4), Тогда решение У О может не быть устойчивым (постройте пример).
Пусть дополинтедьно известно, что решенне У=О устойчиво. Обязаны лн. тогда все решения с достаточно близкнмн к нулю начальными данными тоже быть устойчиэымнг Отдельно разберите случаи п=! и л> !. б. Покажите, что если все решепия, для которых (у(хэ) ! <М, (*) равномерно стремятся х нулю при л-э+со, то, все решения, для которых выполняется неравенства (э), устойчивы. дйй систпмы с постоянными коэаюициннтдми 1, ч! 6. (Е.
А. Барбашнн, Н. Н. Красовский.) Пусть в условиях первой части леммы Ляпунове дополннтельно дано, что функцня ! не завнснт от х н непрерывно днфференцнруема. Докажите, что тогда для аснмптотнческой устойчивости решения рмеО необходнмо н достаточно, чтобы в некотором цнлвндре — со<х<+со, 'чч д'г' (у) (е (е>0) множество точек, где у — )! О, не содержало Л~ ду! l целиком ннкакой ннтегральной линяя системы (4,4), за нсключеннем р(х) ~0.
Если, кроме того, дено, что функции ! н г' обладают указаннымн свойствами прн всех у н(г(у) — ~-+со, то яме!я!~ .ет место еснмптотнческая устойчивость в целом, т, е. трнвнельное решение устойчнво н есе остальные решения стремятся к нему прн х ь+со. 7. Докажите, что в теореме настоящего параграфа н в задаче :2 условне (6.29) можно заменить на следующее, более слабое: .!Т(х у)!=о(!у(), т, е. (Р(х, у) ( (р! '(равномерно по х), когда р-ьО. 8. Пусть п=! н два решення, удовлетворяющне. начальным э!энным у(хе) =ре' н р(хо) =ум>ре', стремятся к одному н тому же (конечному) пределу прн х-ь+ао.
Тогда, если имеет место единственность решення, определяемого начальнымн условнямн, то .каждое решенне р(х), для которого рм(у(х,)(рез, устойчнво. О. Найдите необходнмое н достаточное условне устойчнвостн шулевого решения системы линейных однородных днфференцнальмых уравненнн с постояннымн коэффнцнентамн. 10. Докажнте, что, для того чтобы нулевое решение системы .лннейных однородных днфференцнальных уравненнй с непрерывными коэффнцнентамн было устойчнвым, необходимо н достаточно, чтобы каждое решенне этой системы было ограниченным.
!1. Раосмотрнм лннейную систему лр — =А(х) у д» с непрерывными перноднческнмн коэффнцнентамн, т. е. А(х+а) =мА(х) (а=сонэ!>О). Пусть у(х) — фундаментальная матрица .этой системы (см, задачу 1 $33). Дркажнте, что тогда У(х+а) ме ТУ(х), где Т вЂ” некоторая постоянная натрнца. Как изменяется эта матрица прн замене фундаментальной матрнцы) Найдите условня устойчивости н аснмптотнческой устойчнвостн решеннй рассматрнваемой системы, выраженные в терминах свойств матрацы Т. 12. (М. А. Красносельскнй н С. Г. Крейн.) Пусть правые частя снстемы (44) определены н непрерывны всюду прн х1(хСоо, — оа(у«со, 1=1, ..., л. Пусть существуют непрерывно днфференщнруемая функция ()(у), определенная прн всех рь ..., рю прячем один онзнчнскни прими 1пп У(у)=+оо, н непрерывная функция Ф~У)>0, определенная И1. при )го~(р(со, для которых ь д)г ч1 д)г =с, р 11( Ф(У), )го =ш1пУ(у). Ф (о') ду) з ро 1=1 Покажите что тогда любое решение, заданное при х=хо, х,~~о< <оо„можно продолжить в сторону возрастания х на интервал хо~(х < со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
