1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть прн г- +Со траектория ( «спиралевидно» приближается к циклу ( (рис. 28); тогда нетрудно видеть, что этот цикл и служит предельным множеством для ( при г-»-+со. В самом деле, выбрав любую точку х на (, а точки а!=х(т!), а»=х(г,), а! — — х(»з),..., так, как показано на рисунке, мы получим, что а»=х(г„) — ~х, тогда как !»- +Со. (Почему?) Если какой-либо цикл служит предельным множеством при (-л-+Со илн г-л — оо для некоторой отличной от него траектории, то он называется предельным циклом (ср.
9 24). а аа! пнвдвльнов повадвнив тоявктонии 219 Легко видеть, что точка покоя является своей единственной предельной точкой как при 1-«+оо, так и при 1- †. Замкнутая траектория является - своим собственным предельным множеством как при 1-«+со, так и при 1-« — о .
Предельные множества для незамкнутых траекторий представлрют больший интерес, так как они определяют характер поведения. траектории при большйх (1~. Рассмотрим простые свойства предельных множеств, причем для определенности мы будем иметь в виду предельное множество при 1- +оо, хотя теми же свойствами об~йдает предельное множество при 1-« 1'. Предельное множество замкнуто как точечное множество в и-мерном пространстве (т. е.
содержит все свои предельные точки). В самом деле, пусть Т вЂ” предельное множество для траектории 1 с уравнением х= =х(1), и пусть последовательность аней аа — «х (н-«оо). Тогда, по определению 1, при любом й найдется последовательность моментов 1а.-| +оо, для которых х(1а )-«. ! -«аа(п-1-оо): Выбереы такой момент 1а, для которого 1а>н, а расстояние р(х(1а), аа)(11к'>.
Тогда ясно, что 1а-«+о (7е — оо); в то же время р(х (1а), х) <р(х(1„), аа) + р(а„х) — + р(амх) — «О Ь (й-«оо). Значит, х является предельной точкой при 1-«+со, что и требовалось доказать. 2'. Предельное множество состоит из целых траекторий; другими словами, если хен1, то и вся траектория 1, принадлежит 1. Для доказательства заметим, что если исходная траектория 1 имеет уравнение (7А) и х(1„; х')- х(п- оо), причем 1„- +оо, то прн любом фиксированном 1 х(1„+1; х') =х(1; х(1„; х'))-«х(1; х), т.
е. н х (1; х) ~1. о Под р(ау Ь) мы ноннмаем, как обычно, расстояние между точкамн а н Ь. АВтОнОмные систамы [ГА. чп Свойство 2 можно сформулнровать так: предельное множество является инвариантным относнтельно отоб- ражения хь-+х([;.хь), определяемого системой (7.2) в пространстве х прн каждом [. 3'. Для того чтобы предельное мнолсество было пу- стым, необходимо и достаточно, чтобы линия х([) при (-»+со «уходила в бесконечность», т. е.
чтобы (х(Т) (-з-оо ((-~-+оо), В самом деле, если это условие выполнено, то предель- ное множество, очевидно, пустое. Если«условие не вы- полнено, то найдется шар К: 1х(~Р, внутри которого траектория х([) содержит точки нрн как угодно боль- ших [. Таким образом, существует последовательность 1 -».+со (т-»оо), для которой последовательность то- чек х(( ) принадлежит К.
Выбрав нз этой ограничен- ной последовательности сходящуюся подпоследователь- ность, получим в пределе при т' — ~-+ьь предельную точку решения х(4). 4'. Для того чтобы предельное множество состояло из единственной точки х, необходимо и достаточно, что- бы траектория х(() входила в эту точку при [ — ~-+ьь, т. е.
х(г)-»х (г-»+ос). В самом деле, если это условие выполнено, то утвер- ждение очевидно. Обратно, пусть дано, что предельная точка х един- ственная. Зададим произвольное е)0; тогда нам надо проверить, что для всех достаточно больших г будет р(х((), х) <е. Предположим, что это не так; тогда най- дется последовательность гь- +со, для которой р(х(ть), х) э-е; но по определению предельной точки найдется другая последовательность те-»+со, для ко- торой р(к(ть), х) (е. Отсюда в селу неярерывности функции х([) следует, что найдется третья последова- тельность [д- +о», для которой р(х((А), х) =з. Выби- рая нз ограниченной последовательности- х((А) сходя- п[уюся подпоследовательность, нолучнм в пределе точку х, для которой р(х, х) =е.
Значит, кроме х имеется еще по крайней мере одна предельная точка, вопрекн пред- положению.' 4 зз! пвкдпльноп поппдпнип твдпктовии 221 ЗАДАЧИ 1. Докажите, что если предельное множество Т не пусто и ограничено, то оио связно, т. е. не может быть представлено в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств. (Отсюда, в частности, следует, что если Т состоит более чем нз одной точки, то оио содержит бесконечное множество точек.) Покажите также, что если 1 не ограничено, то оио может ие быть связным (приведитс пример); ио оио становится связным, если к нему добавить лбесконечно удаленную точку пространства х», т, е, тачку, к которой как бы сходятся все уходящие на бесконечность пОследовательиости точек х. 2.
Докажите, что в достаточно малой окрестности асимптотнчески устойчивой точки покоя не может полностью содержаться ии одна траектория, отличная от этой точки. 3. Пусть система (7.2) такова, что существует ограниченная область Яа, для которой: а) если хе»мЯ» я 1>0, то .х(1; х»)»мО», б) если х» ие принадлежит Я», то существует значение 1>0, для которого х(1; х»)шО» Обозначим через Оь(й=1, 2, ...) множество всех точек вида «(й; х'), х»зм1сь а через й — пересечение всех этих множеств. Множество Я иазываетсл аггрихгором системы (7.2) и играет важную роль в разнообразных прнложеииях теории дифференциальных уравнений. (Впрочем, имеются и другие определения понятая аттрактора, не равносильные приведенному).
Докажите, что: а) Я не зависдт от конкретного выбора области 1)», обладаю. щей указанными выше свойствамн; б) множество Π— непустое, замкнутое, ограниченное, связное, оно содержат ы-предельные множества всех траекторий системы. (7.2) и состоит из целых траекторий этой системы; в) любая ограниченная траектория системы (7.2) целиком принадлежит Я (свойбтва б) н в) дают возможность определить О как объединение всех ограниченных траекторий системы (7.2)); г) Я обладает свойством асимптотической устойчивости при 1-»+о» (дайте точное определение по аналогии с $ 49). Прн а<2 аттрактор имеет, как правило, довольно простой внд. В последние годы обнаружиакгь что прн л~ьЗ, даже для несложных цравых частей, аттрактор может иметь сло1кную струк.
туру, например, обладать чертамв совершенного нигде нс плотного множества. Такие «странные аттракторы»' были обнаружены, в частности, у так называемой системы Лоренца ~» — о (хз — х, ), = гхз — хз — хзхз, 4 »(хз =х,хз — 'рхз Ш !тл. уп АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ (о, о р — положительные параметры), опнсывающей развнтне тепловой конвекцнн в жнакостн, н сейчас активно нзучаютсн.
$54. Функция последования Понятие функции последования, введенное А. Пуанкаре, полезно при исследовании окрестности цикла и в некоторых других задачах. Рассмотрим для простоты автономную систему (7.2) на плоскости, т. е. при п=2, и допустим, что нам даны цикл (, точка ао~( и проходящая через ао трансверсаль (говорят также — линия без контакта) 1., т. е. линия, ни в какой своей точке не касающаяся траекторий системы (7.2) (рис. 29). Пусть полажение точки на 7 определяет- "Р ся значением параметра т, т.
е. ф а=а(т)енХ„причем для определено, г ности будем считать, что а(0)=ао. ее Проведем через точку а(т) траекторию системы (7.2) в направлении возрастания ( и продолжим эту траекторию до первого пересечения с 7., если оно состоится. Тогда точке пересечения отвечает значение рнс. зр параметра тр (т), зависящее от т; функция зр называется функцией последования. Ясно, что если зр(т) =т, то через точку а(т) проходит цикл, системы (7.2).
Совокупность траекторий вблизи ао, как вблизи любой точки, не являющейся точкой покоя, имеет вид мало искривленного семействр параллельных отрезков, по которым движение происходит с почти постоянной скоростью. Из теоремы о непрерывной зависимости рещения от начальных данных и из трансверсальности Ь следует, что функция зр определена, во всяком случае, на некотором достаточно малом отрезке [а, р), где а< (0(ф, и непрерывна, причем ф(0) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
