1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Докажите сначала, что нвкакая меинтегральная прямая не может касаться поля направлений, определеняого системой (7.7), более чем в двух точках. Выведяте отсюда, что всякая замкнутая траектории этой системы выпуклая а что двнжеине по двум замкнутым траекториям проясходит в противоположных (одинаковых) направлениях, если этн траекторяи находятся одна вяе (внутри) другой. Докажнте, что внутри замкнутой траектории не может быть более одной точки покоя. (Можно проверить, хотя н ие просто, что точка покоя, лежащая внутри замкяутой траек. торин, представляет собой фокус '1.) 5.
(Беидвксон.) Пусть правые части системы (7.7) непрерывно днффереяцируемы. Тогда внутри каждого цикла разность — — ирияимает значения обоих знаков. дх, дх, лхх дх» б. Покажите, что система уравнений — х»,— ! (Хг) д[ б) с непрерывно днфференцяруемой функцией 7, порождаемая уранах пением — =)(х), является гамильтоновой (см. задачу 2 $51). 5[2 Такая система может иметь .цнклы (приведите пример), но ие может иметь предельные циклы. 7. Опишите типы траекторий системы уравнений колебаний 3~~ дф математического маятника — = ф, — = — з[п ф (!р — угол д[ ' и! отклонения маятника от нижнего положения равновесна), укажи* те физический смысл этих типов.
й 56. Окрестность точки покоя на плоскости. ! Нетрудно получить необходимое и достаточное условие того, чтобы точка х=хе была точкой покоя для автономной системы (7.2): так как постоянная х(1)=хо '1 См. «Математика. Сборник переводов», б: 2 (!962), ! 50 — 168. збы океестность точки покоя нл плоскости. 1 язв должна служнть решением этой системы, то, подставляя хе в (7.2), получим ~ (хз) Если записать это векторное равенство в проекцнях, то получим систему и уравнений с а нензвестнымн координатами точки покоя.
Рассмотрим, в частности, автономную систему на плоскости, заданную системой уравнений Ых1 дь'э — = ~,(х,, х,), — = ~,(х„х,). Ю ~И (7.8) Тогда координаты точки покоя находятся нз снстемы уравнений ~~ (хи х~~) = О, 1~ (хп х~~) = О. (7.9) Так как нз уравненнй,(7,8) следует, что траекторнн автономной снстемы удовлетворяют дифференциальному уравнению Ых~ Д.,(х,, х~) (7.10) дх~ Цх~, хх) то из равенства (7.9) видно, что точка. покоя — это осо- бая точка для уравнения (7.10) в смысле $22.
Как сле- дует из $22, совокупность траекторий в окрестности точкн покоя может нметь сложный вид. Здесь н в 9 57 мы проведем рассмотренна такой окрестности в случае, когда функции ); имеют в точке покоя невырожденную линейную часть, т. е. система (7.8) имеет внд лх, й, — = ах, +Ьх, + фх(х,х,), — =сх, +((х, +.ф,(х„х,), (7.11,) где яЧ(хь хх) =о((х~(+)х,~) (прн(х~)+(хз(-+0), 1=1, 2 и ш1 — Ь с~О. (7.12) Мы прнняли за точку покоя начало координат, чего 'всегда можно достичь с помощью переноса осей коор- АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ !«л.
Еы гзо динат. Условие (7.12) исключает некоторые более сложные случаи; отметим, что'в $22 мы также требовали его выполнения. Для исследования системы (7.11) удобно перейти к полярной системе координат по формулам х! =4! соз «р, х, =р з1 п «р, откуда при р>О получаем + х, (ех, + «(х,)1 + о (р), «зэ ! / «!х«, «!х«! ! — = — «1х,— — 'х,— 7! = — (х,(ех, + йх,) — ' !«Ф' ~ «Я и 7 ЕР— х,(ах, + Ьхз)) + о(1)„ т. е.
— = рЯ(«р) + о(р), — = )т («р) + о(1), (7.13) «я «и где для краткости обозначено Я(«р) =а созе «р+ (Ь+с) соз «р з(п «р+й з(п'«р, (7. 14) Я(Ч«) =ссоз'«р+(«( — а) соз«рзбп«р — Ь з(п'«р. В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда («1 — а) '+4сЬ(0. (7.15) Для линейной системы, т. е. при ф«=фа=О, в $48 н 22 было показано, что в случае (7.15) начало координат является фокусом (при а+«(чь0) или центром (при а+ +«1=0). Здесь мы докажем, что и для полной системы (7.11) при выполнении неравенств (7.15) и а+йФО' точка покоя (О, О) представляет собой фокус, а также рассмотрим, какие варианты могут представиться прн а+4=0« Для этой цели заметим, что, как это следует из 2 48, в случае (7.15) систему (7.11) можно с помощью линейного неособого преобразования плоскости привести 5 Щ ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ.
! 23$ к виду (7.16) — ' = Щ, + я4 + о (! $, ~ + ! й, !), 4$2 где Если под р, ~р понимать полярные координаты в плоскости 5ь $ь то в силу формул (7.13) и (7.14), примененных к системе (7.16), получаем — Р = ар + о (р), — = () + о (1). И я (7.17) Р(%1 Ро) =Ро Р ~ ~ о 1> о (7.18): Значит, если р, достаточно малб, то эта траектория при своем продолжении в направлении возрастания 1 (а потому и «Р) совершит по крайней мере один оборот вокруг точки покоя, не выходя из К.
Тем самым, каждому такому ро соответствует значение ф(ро) =р(2П; ро) и фуикция ф играет для рассматриваемой точки попон Из второго уравнения следует, что в достаточно малом круге К=(р, 2~(р~р*)(р*>0) выполняется неравенство — ) —. Таким образом, вдоль любой траектории ж ЛЧ и ж 2' К (зр исключением самой точки покоя, что всегда в.
дальнейшем будет подразумеваться) функция ~Р(1) возрастающая и потому ~р можно принять за независимую. переменную. Из (7.17) получаем 1 оР а+о(1) ФЧ Р+о() ) и потому для любой дуги траектории, расположенной в: К и начинающейся при <р=О, р=ро, зависимость р от Р имеет вид ил. чи АВТОНОМНЫЕ СНСТЕМЫ ту же роль, что функция последования ($54) дли цикла. Рассуждая, как в в 54, мы получаем, что если ф(р) <р" для всех достаточно милах р; то р(ф)-~-0 при чр-~.+ос, т. е. точка покоя представляет собой устойчивый фокус; из (7.18) видно, что для.этого достаточно1 чтобы было а<0. Если ф(р) >р для всех достаточно малых р, то р(~р)-е.О при ~р-в — оо и точка покоя пред.ставляет собой неустойчивый фокус; так происходит в .случае а>0. Если ф(р) — р для всех достаточно малых р, то точка покоя представляет собой центр.
Наконец, если в любой близости от Р=О найдутся как значения р, для которых ф(р) =р, так и значения, для которых ф(р)чьр, то в любой близости от точки покоя найдутся как окружающие ее циклы, так и расположенные меж.ду ними незамкнутые траектории, спиралевидно приближающиеся к этим циклам; такую точку покоя будем называть точкой смешанного типа. Итак, при условии (7.15), если а+й~О, система (7.11) имеет при р=О фокус (устойчивый, если а+й<0, и неустойчивый, если а+й>0); если же а+й='О, то точла Р=О может быть для системы (7.11) центром, фоку.сом или точкой смеишнного тина. Какая из этих возможностей представится; можно узнать, только привлекая к рассмотрению в системе (7.11) члены ф; высшего порядка малости; мы не будем рассматривать здесь .этот сложный вопрос.
ЗАДАЧИ 1. Пряведнте пример автономной системы с точкой покоя смешанного типа. Рассмотрите строение окрестностя точки покоя смешанного типа в общем случае. 2. Докажите непосредственно, что при выполнении условяя (ТЛ 5) ~ч ь и сделайте отсюда выводы о характере особой точка в начале координат. $57! ОкРестнОсть тОчки пОкОя нл пЛОскости. и 233 3. Рассмотрите систему общего вида ~Ь; , = Р! (хт, хт) -(- ф! (хг, х ), 1 = (, 2, 1а где Р1 — однородние многочлеиы степени т)(, а ф; (кп хт) = о () х, ) '"+ ) хт) "') (при ) х! (+ ) хт) - О) . Обозначив (7(ф) =сов ф Р1(со5 ф, 51п ф)+5!и ф Рг(СОБ ф, 5!и ф), )т(ф) =сов ф. Рт(соз ф, 51п ф) — 51п ф Р, (соз ф, 51п 15), докажите, что если гг(ф)ФО(0(ф<и), то начало координат явля.
ется для рассматриваемой системы фокусом, пеитром или точкой Г ~(И смешанного тина, причем если ) — афЖ О, то последние два .) Р(ф) о случая невозможны. й 57. Окрестность точки покоя на плоркостн. П В этом параграфе рассматривается возмущенне лннейной системы с точкой покоя типа седло нлн узел членами высшего порядка малостн. Доказано, что в определенных предположеннях-семейство траекторий возмущенной системы в достаточно малой окрестности точки покоя остается почти таким же, как у невозмущенной, линейной системы.
Сходство семейств траекторий двух систем в окрестности точки покоя можно определять по-разному. Во.первых, этн семейства можно счнтать сходными,-если в некоторой окрестности точки покоя сугцествует замена координат, переводящая траекторнн одной системы в траектории другой. Во-вторых, этн семейства можно считать сходными, если у ннх совпадают какие-нибудь существенные геометрические характернстнкн. Мы будем придерживаться последней точки зрения; в частности, мы докажем, что траектории возмущенной системы, стремящиеся к, точке покоя прн 3-»+оо нлн (-» — оо, входят в нее по тем же направленням, что н траектории невозмущенной, лннейной снстемы.
9 и. г. Петра»скис !гк гн явтономныв системы Перейдем к подробному изложению. Е1апомним, что в силу $48 и 22 для системы (7.11) при ф~— = ф« — =0 точ- ка покоя типа седло или узел получается, если (й— — а)«+4сЬ:».О. Рассмотрим сначала «грубый» случай, когда для системы (7.11) выполнено условие (7.12) и (И вЂ” а) «+4сЬ>0.
В атом случае нз $48 следует, что систему (7.11) мож- но с помощью линейного неособого преобразования привести к виду — =)Д,+о(!2,)+)$«~), ~Ц« «т (7.19) — ' = ) «$«+ о (1$«! + ) $«! ) в«« где Х« = — (а 1- й) + — и'(й — а)«+ 4сЬ, 1 1 2 2 Х« = — (а + й) — — )т(й — а)«+ 4сЬ 2 2 Перейдя к полярным координатам р, ф в плоскости $ь $«, получаем — = (Х, соа«ф + Х«з!я«ф) р + о (р), и (7.20) — =(Х« — Х«) сов фа1п ф+ о(1). и Т е о р е и а 1. Любая траектория системы (7.19), входящая в точку покоя р,=ф«=0 при 1 — ~-+со или прй 1-~ — оо, касается в атой точке какой-либо из координатных осей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
