1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теорема 2 до.казана. ЗАДАЧИ 1."Пусть в л-мерном пространстве задана автономная система 7.2) и дано множество К, гомеоморфиое шару, й границей Г. усть для каждой точки аяяг определен прямой круговой и-мерный конус Р, с вершиной в. а, целиком содержащийся з К, причем конусы Р коигруэнтиы друг другу и непрерывно зависят ото. Пусть в каждой точке ашГ вектор — 1(а), приложенный к точке л, не направлен в Р..
Тогда в К имеется по крайней мере одна точка покоя. Докажите это и выведите отсюда, в частности, что если множество К ограничено гладкой поверхностью, иа которой поле скоростей нигде ие направлено по внешней нормалп, то в К имеется по крайней мере одна точка покоя. 2. Пусть дана система уравнений в векторной записи ໠— = А (г)» + г (1, »), от .где матричная функция А (1) непрерывна при всех А а векторфункцня 1(А х) непрерывна .и ограничена во всем пространстве 4 х н удовлетворяет условию Липшнца по х, прнчем А(1+Т)иэ =А(1), 1(!+Т, х)=1(й х) дли,некоторого Т>0.
Докажите с помощью теоремы Брауэра н результатов задач 1 $39 и 11 $ 49, ах что если нулевое решение системы — = А (1) х аснмптотическн ат устойчявоц то система (э) имеет по крайней мере одно Т-оернодичесиое решение. Дополнение ГЛАВА УН1 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 1-ГО ПОРЯДКА ОТ ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ Основным фактом теории этих уравнений является то, что нахождение всех их решений сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В следующих параграфах описано это сведение. $61, Полулннейные уравнения Мы будем рассматривать в этом параграфе уравнения несколько более общего нида, чем линейные, а име)»но уравнения а ~~11 а»'(х) —" + Ь (х, и) = О, дх» где под х понимается точка с координатами х„...,х„.
При этом мы допускаем, что искомая функция и входит в Ь(х, и), вообще говоря, нелинейно. Пусть коэффициен- ты а»(х) имеют в рассматриваемой области 6 про- странства х непрерывные частные производные 1-го по- рядка по всем их аргументам, н пусть в этой области л Я а~» > О, »=1, Относительно Ь(х, и) мы будем предполагать, что эта функция определена при 1и(<М, когда точка х находится в области О, и имеет по всем своим аргументам непрерывные первые производные. Сделанные относительно Ь(х, и) предположения выполняются, в частности, в том случае, когда Ь(х, и) есть линейная функция от и (в этом случае уравнение (8.1) называется линей-' ным) с коэффициентами, которые имеют непрерывные первые производные по всем х».
Напишем автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений: — = а„(х), й = 1, ..., и. дх» «и (8.2) В силу сделанных относительно а„предположений правые части этих уравнений имеют непрерывные производные по всем хь Поэтому через каждую точку области 6 проходит одна и только одна траектория этой системы. Эти линии называются характеристиками уравнения (8.1). Теорем а единственности. Если функция и(хь...,х„) удовлетворяет в области 6 уравнению (8.1) и имеет непрерь«вные ервые производные, то все значения этой функции на дуге любой характеристики Н, где 1и~(М, вполне определяются ее значением. в одной какой-нибудь точке хи = (х«ь, ..., х„ь) этой дуги.
Доказательство. Принимая во внимание уравнения (8.1) н (8.2), получим а„— +ь=- ~~ — — +ь= Х ° ди %'Ч ди Их» дк» дх» «и » » ди = — +Ь=О. «и (8.3) Замена '~„— — на — возможна в силу % $ «ди Лх» ди дк» «и «в предполагаемой непрерывности первых производных от и (Г. М. Фихтейгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления.— Мл Наука, 1969, т. 1, с. 387). Пусть характеристика Н проходит через некоторую точку хь области 6, и пусть 1'и(хь) ~(М. Вдоль этой характернстиж х»=«р»(1, хь),,й=1,, и, . (8.4) где «р» вместе с их первыми производными суть непрерывные функции от 1 и хь. Подставляя эти выражения х» в Ь, мы получим, что вдоль Н функция и(х(1)) удовлетворяет следующему обыкновенному дифференциаль- 254 ттлвнвния.с ч»стными пэоизводными н».чгн % ап ПОЛУЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ ному уравнению: (8.5) — = ер(1, и, х'), где $ имеет непрерывные первые производные по всем ее аргументам.
Поэтому значение и во всякой точке дуги Н, на которой (и((М, вполне определяется значеннем в какой-нибудь одной точке этой дуги, в частно-- стн в точке х'. Теорема существования. Допустим, что 5 есть какая-нибудь (и — 1)-мерная поверхность и, содержащаяся в области С и имеющая непрерывно вращающуюся касательную плоскость. Допустим, кроме того, что 5 не касается ни одной из характеристик уравнения (8.1). Пусть на 5 задана произвольная функция 1, обладающая следующими свойствами: 1) ее значения по абсолютной величине меньше М; 2) у каждой точки поверхности 5 существует такая окрестность, где 1 можно представить как функцию каких-нибудь (и — 1) -й из коордйнат х„..., х„, имеющую непрерывные первые производные по этим (и — 1)-й координатам.
Допустим, наконец, что имеется окрестность Де поверхности 5, обладающая следующими свойствами. 1) До содержится в С; 2) характеристика, проходящая через любую точку поверхности 5, при своем продолжении в обе стороны- внутри 1то не встречает 5; при этом через каждую точку Ло проходит одна из таких дуг характеристик; 3) для любой точки хе поверхности 5 решение уравнения (8.8) при начальном условии и(0) =1'(хо)т) возможно продолжить вдоль всей дуги характеристики, содержащейся внутри Ке, причем это решение остается по абсолютной величине меньше М. Тогда в Яе существует функция и(х), обладающая следующими свойствами: 1) имеет непрерывные первые производные по р р р р.
м,р, р. ем; а иоследием случае ее край к ией ие причисляется. м Мы считаем р 0 иа поверхности о; 2) удовлетворяет уравнению (8.1), 3) на 5 совпадает с 1. Задача нахождения функции и(х), удовлетворяющей этим условиям, называется задачей Коши для уравнения (8.1). Доказательство существования решения задачи Коши для уравнения (81)-. Для простоты мы проведем доказательство для случая двух независимых переменных, предоставив читателю рассмотреть по той же схеме случай любого числа переменных. Чтобы не пользоваться индексами, запишем заданиое уравнение в виде а (х; у) — + Ь (х, у) — + с (х, у, г) = О. (8,6) дг дг д» ду Тогда уравнения (8.2) — (8.5) примут соответственно вид — =а(х, у), — = — Ь(х, у), д» ду и[ дг (8.7) — + с (х, у, а) = О, Ф (8.
8) х=[р([, ха,' ус), у=гр(Г, хс, ус), (3,9) — = Х ([, г, Хл, у'). (8.10) Многообразием 5, на котором задается искомая функция х(х, у), служит линия В плоскости х, у. Таким образом„ геометрический смысл поставленной задачи Коши состоит в том, что надо провести поверхность х=х(х, у), удовлетворяющую уравнению (8;6), через заданную в пространстве. линию Я, проектнрующуюся на 5 (рис. 38). Так как -значение з вдоль каждой характеристики Н полностью опреде- Рис, Зд ааа УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. Чнг $ бп полулинейные уРАВнения ляется значедием е в -точке Аб пересечения Н с 5, то, взяв все такие характеристики, получим искомое решение.
Проведем это построение подробнее. Определим на каждой пересекающей 5 характеристике Н функцию е так, чтобы она удовлетворяла на ней уравнению (8.10) и в точке пересечения этой характеристики с линией 5 принимала значение заданной функции (. Функцию е, вообще говоря, нельзя определить таким образом на всей характеристике Н, так как мы можем при продолжении е по Н выйти из области тех'значений е, при которых определена функция с(х, у, е), или пересечь 5 вторично.
Однако в силу условия теоремы мы можем определить и на всей окрестности Нб линни 5, После этого остается только показать, что построенная нами функция г(х, у) имеет непрерывные частные производные по х, у; тогда на Нб справедливо соотношение н потому функция е удовлетворяет не только уравнению (8,10), или, что все равно, уравнению (8.8),, но и уравнению (8 6). Прежде чем доказывать существование н непрерывность частных производных от е по х, р в какой-нибудь точке А(х, у) области Нб, мы введем в окрестности этой точки новые криволинейные координаты следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
