1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

С точки зре-, ння топологии гомеоморфные множества считаются зквнвалептнымн )гл. чп АВТОИОМНЫЕ СИСТЕМЫ Нетрудно проверить топологический характер теоремы Брауэра, другими словами, проверить, что если некоторое множество К1 обладает по крайней мере одной неподвижной точкой при непрерывном отображении в себя, то этим свойством обладает и.любое множество Кь гомеоморфное Кь В самом деле, пусть ) — непрерывное отображение множества Кз в себя, а гр — гомеоморфное отображение К, на Кя. Тогда ф)«р представляет собой непрерывное отображение К1 в себя, и потому существует точка а1ееКИ для которой ф()(гр(а'))) =а'. Но тогда )(«р(а')) =«р(а'), т. е.

точка ф(а')~Кэ переходит при отображении ( в себя. При п=) теорема Брауэра сразу вытекает из теоремы о промежуточном значении непрерывной функции (проверьте это) Мы докажем эту теорему для п=2, предоставив случай произвольного п читателю. Л ем м а. (Шпернер.) Пусть треугольник АВС разбит на конечное число треугольников так, что любые дза треугольника разбиения либо не имеют друг с другом общих точек, либо имеют общую вершину, либо общую сторону. Пусть, далее, каждая из вершин треугольников разбиения обозначена одной из букв А, В, С, причем так, что на стороне АВ (соответственно ВС, АС) основного треугольника употребляются только бук зы А и В (соответственно В и С, А и С).

Тогда найдется по крайней мере один треугольник разбиения, зсе вершины которого обозначены различными буквами. Доказательство начнем со следующего простого замечания. Пусть некоторый отрезок АВ разбит на конечное число отрезков, причем каждая из точек деления обозначена одной из букв А или В. Тогда число отрезков разбиения, концы которых обозначены различными буквами, нечетно. В самом деле, обозначим через рлл и рлз число отрезков разбиения, имеющих указанный набор концов, а через р„— число точек деления„ обозначенных буквой А. Тогда, подсчитывая число кон- (так зке, как, например, и элсмснтарной геометрии конгруэнтпые фигуры считаются эхипаалснтными), поэтому такнс понятия, как угол, длина, прямолиисйнссть н т.

д., нс являются гопологнческими. Тпппльгнчсскими яиляются наиболее «грубые» свойства тел, такие как связность, размсряпсть н т. д., хотя проверка этого бывает далеко «с проста: » Гн ТЕОРЕМА ЕРАУЭРА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ ЕВВ цов А у всех отрезков разбиения, получим 2рлл+Рлв= =2рл+'1, откуда н вытекает нечетность числа рлв. Пусть теперь выполнены условия леммы; докажем, что число треугольников разбиения, все вершины которых обозначены различными буквами, нечетно, откуда и будет следовать утверждение леммы. Для этого обозначим через рллв, рлвв и рлвс количества треууольников разбиения, имеющих указанный набор вершин, а. через рлв и рлв количества сторон треугольников. разбиения, обозначенных буквами А, В и расположенных внутри или соответственно на границе основного.

треугольника. Выпишем теперь подряд все стороны всех треугольников разбиения независимо один от другого.и подсчитаем, сколько раз при этом встретится сторона АВ. С одной стороны, это количество равно 2рллв+ +2рлвв+рлвс (почему?). Но оно же равно 2рлв + +Рлв, так как 'каждая «внутренняя» сторона АВ подсчитывается дважды. Итак, 2рллв+2рлвв+Рлвс = 2рлв+Рлв (7 28) Однако «граничные» стороны АВ могут располагаться только на стороне АВ основного треугольника, и потому по доказанному в предыдущем абзаце число рлв нечетное. Поэтому из (7.28) мы получаем, что и число рлвс' нечетное.

Леммц доказана. Доказательство теор.е м ы. В силу сказанного перед формулировкой леммы, теорему достаточно доказать для какого-либо из множеств, гомеоморфных кругу. Поэтому предположим, что дано непрерывное. отображение ) треугольника АВС в себи. Зададим произвольное число е,'>О и произведем «триангуляцию» заданного треугольника, т. е. разбиение его на треугольники, обпадающие указанными в лемме свойствами, и притом такое, что сторона каждого из треугольников разбиения 'Меньше еп Мы предположим, что при отображении г ни одна точка не переходит в себя, и обозначим любую нз вершин треугольника разбиения буквой А (соответственно В, С), если эта вершина при отображения )' приближается к стороне ВС (соответственно АС, АВ) основного треугольника.

Если' же точка ери отображении приближается сразу к двум сторонам ос- [га. Чг! АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ новного треугольника, например ВС и АС, то ее обозначаем по произволу буквбй А или В. Тогда легко Про.верить, что при этом выполняются условия леммы и потому найдется треугольник разбиения, вершины кото,рого обозначены различными буквами; обозначим его (АВС) н Выберем теперь последовательность е!, ..., е, ...— ь+О :и осуществим указанную конструкцию для каждого и . Если перейти к подпоследовательности, то можно без ограничения общности предполагать, что последовательность вершин соответствующих треугольников (АВС)„ сходится к некоторой точке а (почему?). Так как точка ,а при отображении ! не остается на месте, то она уда.лится от какой-либо из сторон основного треугольника.

Но тогда и все точки треугольника (АВС)„ при достаточно больших и в результате отображения ! удалятся от этой стороны, что противоречит построению. Теорема доказана. 'ЗАДАЧИ 1. Докажите теорему Брауэра для и-мерного шара; при этом -ладо усилить формулировку леммы Шпернера (доказать наличие нечетного числа искомых тетраэдров разбиения) н применить метод ,индукции. 2.

Проведите доказательство теоремы Брауэра при любом и иным способом: длп достаточно гладкого отображения †. яа осно.ве теории вращения 5 88), а для любого непрерывного отображении — с помощью его аппроксимации гладкимн отображениями. 3. Докажите с помощью теоремы Брауэра, что никакое замкнутое ограниченное множество л-мерного пространства, обладающее внутренннмн точкамн, нельзя непрерывно отобразить на свою гоаннцу так, чтобы прн этом каждая точка границы перешла н себя. -й 60. Приложения теоремы Брауэра Первое приложение обобщает теорему $58 о точке покоя внутри замкнутой траектории.

Теор ем а 1. Пусть в п-мерном пространстве зада.на автономная система (7.2) и дано множество К, го.меоморфное замкнутому шару, и притом такое, что тра.ектории, начинающиеся на К, при увеличении г никогда $60! ппиложвння твотямы знхзэзх К не покидают. Тогда в К имеется по крайней мерв одна точка покоя, Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольно значение т~>О и поставим каждой точке хьенК в соответствие точку х(т~, .х').

По условию этим определяется отображение К в себя, которое будет непрерывным, и потому по теореме Брауэра найдется точка х'енК, для которой х(тб х') =х' (т. е. траектория, начавшаяся в х', через. время т~ вновь попадет в х'). Выберем теперь последовательность значений ть тз, ... ...,т,...— «+О; тогда для каждого т сушествует точка х ~К, для которой х(т; х ) =х .

После перехода к. подпоследовательности можно считать без ограничения общности, что последовательность (х ) сходится к некоторой точке хенК; проверим, что х — точка покоя. В самом деле, зафиксируем любое т; тогда ([ — 1 т; х"') = х . Если переходить в этом равенстве к пределу при п«оо„ то в левой части получим Х((; х) (почему?), а в правой. х, т. е.

х((; х) =х при всех й Теорема 1 доказана. Второе приложение примыкает к теореме Бендиксона (э 55) о циклах. Чтобы продемонстрировать методику применения теоремы Врауэра, мы приведем формулировку в довольно специальном виде, в частности только в трехмерном пространстве, предоставив обобшения читателю. Теорем а 2. Пусть в трехмерном пространстве задана автономная система (7.2) и, кроме того, задан тор Т, обладающий тем свойством, что траектории, начинающиеся в нем, при увеличении г не могут покинуть Т.

Пусть далее все точки, движущиеся в торе в силу системы (7.2), обладают положительной скоростью вращения вокруг оси тора. Тогда в Т имеется по крайней мере один цикл. Отметим, что если выбрать ось хз по оси тора, то. требование на скорость врашения можно записать так: х,— — х, —: — х,~,(х,, х„хз) — х,~,(х„х,, х,) )О.

Их, 1 .вг Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем поперечное круговое сечение К тора (рис. 37) и проследим за траекторией автономные системы (гл. щг начинающейся в некоторой точке хоенК..По условию эта траектория при возрастании г остается в торе. Но угловая скорость вращения точек вокруг оси тора; будучи непрерывной„имеет положительный минимум, и потому траектория 1; через некоторый (конечный) про- Ф межуток времени вновь пересечет К в какой-то точке х', зависящей от х', х'=эр (х'),. Таким образом,'опрет делено отображение К в себя, играющее роль функции последования ($ 54). Но из непрерывной зависимости решения от начальных услоРис. 87 внй вытекает, что отображение ~р не- прерывное; поэтому в силу теоремы Брауэра существует точка хенК, для которой ~р(х) =х. Таким образом, через х проходит цикл.

Характеристики

Список файлов книги