1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Будем лредаолагать, что в рассматриваемой области 6, каждая из линий (8.16) состоит только из одного куска. По определению первого интеграла каждая из функций «р(х,у, г) и «р(х, у, г) прнннмает одно н то же значение «р(хо, уо, го) и соответственно «р(хо,у',го) вдоль проходящей через точку (хо, уо, го) интегральной линии снстемы (8.15). Следовательно, эта интегральная линия целиком совпадает в области 6, с линией (8.16).
Отсюда следует, что система уравнений «р(х,'у, г) =Со ф(х, у, г) =Со (8.17) представляет собой интеграл системы (8.15) в области б„так как, выбирая за' постоянные Сь Со значения «р(хо, у.', го), «р(х~, у', го), получим интегральную линию системы (8.15), проходящую через любую точку (хо,уо,го) области б„т. е. получим любую интегральную линию этой системы. Пусть теперь требуется найти интегральную поверхность уравнения (8.6), проходящую через линию х=а(о), у=р(о), г=у(о). (8 18) При этом предполагается, что 1) функции а,(), у имеют непрерывную производную по о, 2) детерминант — а(а, р) всегда отличен от нуля.
Геометрически это последнее условие можно интерпретировать как требование того, чтобы лежащая в плоскости (х, у) линия х=а(о), у=8(о) нигде не касалась характеристик уравнения (8.6). Тогда, согласно основным теоремам $61, в некоторой окрестности линии (8.18) существует одна и только одна интегральная поверхность уравнения (8.6), проходящая через линию (8.18). Так как по предыдущему эта интегральная поверхность состоит из интегральных линий системы (8.15), проходящих через точки линии (8.18), то уравнение искомой интегральной поверхности можно получить, подставляя в правые части уравнения (8.16) вместо х', у', г' соответственно а(о), р(о), у(о), что дает «р(х, у, г) =«р(а, (), у) =Ф(о), «р(х, у, г) =ф(а, 6, у) =Чг(о), и исключая из этих двух равенств параметр о. 3 а и е ч а н и е.
Всякий первый интеграл т (х, у, г) системы (8,15) на области «е, есть функция от «р(х, у,г) и «р(х, у, г). Действительно, по определению первого интеграла т(х,у, г) должно сохранять постоянные значения иа каждой интегральной линии этой системы. А каждая такая линия, согласно предыдущему, вполне определяется значениями на ней функций «р(х, у, г) и ф(х, у, г).
П р и м е р. Найти интегральную поверхность урав- нения 2 — + 3 — ~+5 =0, дх ду (8.6') проходящую через линию х=а,о, у=азо, г=азо; при этом постоянные а«, а«ь 'аз выбраны так, что детер- минант (8.19) 1В и. г. петреееее» э еи ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ УРАВИЕИИИ 266 265 тглвнвния с частными пгоизводными [ .чш Система уравнений (8.15) теперь принимает вид (8.15') 2 3 — 5 Интегрируя уравнения Ф ду 2 3 2 — 5 мы получим следующие первые интегралы системы (8,15'): ф=Зх — 2д и ф=5х+2х, Так как детерминант, дф дф дх ду дф дк ду то уравнения Зх — 2д= С~ н 5х+2х= Сз (8.! 7') датот общий интеграл системы (8.15') во всем пространстве (х, д, г). Прн любых значениях постоянных С1 и Сз система (8.17') определяет некоторую линию (прямую), состоящую только из одного куска.
Поэтому уравнение искомой интегральной поверхности уравнения (8.6'). можно написать так: Зх — 2д=За1о — 2азо, Зх+2х=ба~о+2азо. Из этих уравнений можно исключить о. Для этого достаточно решить первое из ннх относительно о, что возможно в силу условия (8,19), и найденное значение о подставить во второе уравнение. квдзилннннные нрлвннния 4 ез) ЗАДАЧИ 1. Покажите, что знание й функционально независимых первых иитегралоз системы (4.4) позволяет, вообще говоря, понизить число 'искомых функций в этой системе иа й. 2. В задачах с физкческим содержанием первые интегралы часто выражают те или иные законы сохранения. Получите пер.
вмй интеграл для системы нт оо — = о„лг — -)- Ьх = О, от " о( .равносильной уравнению бз х' ю — -)- Ьх О ~из свободных колебаний материальной точки без трения, исходя пэ закона сохранения полной энергии точки. $63. Квазилинейные уравнения Каазилинейиьсми мы называем уравнения вида а; (х, и) —" + Ь (х, и) = О, х = (хы ..., х„), (8,20) Х ахг к Это уравнение линейно относительно производных от и, но не относительно самого и. Мы будем предполагать, что а;(х, и) и Ь(х, и) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой области пространства (х, и) и что э ~' ас(х, и) ) О.
1ьм Предположим, что нам известно какое-нибудь реше. нне и(х) этого уравнения, имеющее непрерывные первые- частные производные. Составим вспомогательную систему обыкноненных дифференциальных уравнений — =а,(х, и(х)), (=1;..., и, '(8.21) где 1 — некоторый параметр. Подставим это решение и(х) в уравнение (8.20). Тогда получим тождество 10э 268 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (тл. УН! а, (х, и) — + Ь (х, и) = Х дх! 1=1 я = т ' — — ' + Ь (х, и) = — + Ь (х, и) = О. (8.22) ли дх! !и !и 1=! Задача Коши для уравнения (8.20) формулируется так же, как и для уравнения (8.1): требуется найти такое решение уравнения (8.20), которое на некоторой (и — ! ) -мерной поверхности 3 пространства х принимает заданные значения.
Более общая постановка: через заданную в пространстве (х,и) (и — 1)!мерную поверхность 8 требуется провести и-мерную интегральную поверхность Т уравнения (8.20) !>. Докажем единственность этого решения в достаточной близости 8 в предположении, что решение непрерывно дифференцируемо и поверхность 8 нигде не имеет касательных прямых, проекции которых на плоскость и=О имеют направляющие косинусы, пропорциональные значениям правых частей уравнений (8.21) в точке касания. Для этого мы укажем процесс, который единственным способом определяет решение задачи Коши в предположении, что такое решение существует.
Этот процесс позволяет практически решать задачу Коши для квазилинейных уравнений. Мы уже доказали, что для всякого непрерывно дифференцируемого решения уравнения (8.20) удовлетворяются также следующие уравнения: — = а, (х, и), ! = 1, ..., и, ох! лт (8.23) — = — Ь(х, и). оп ат Н При этом Т уже может представлять неоднозначную функцию х, т. е.
казкдому рассматриваемому набору зиачеиий хь ..., х„может отвечать некоторое множество значений и. Однако и достаточной близости от любой своей точки Т должна представлять однозначную функцию и(х), удовлетворяющую (8.20). Например, Т может иметь вид геликоида с осью Ои, рассматриваемого вие некоторой окрестиости этой оси. 1 е31 КВАЗИЛИНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ Начальные значения (при 1=0) х~ и и в каждой точке (хо, ио) поверхности 8 нам известны. По этим начальным данным система (8.23) единственным образом определяет и н все х; как функции от й Соответствующая линия в пространстве х, и х~ =х; (1, х', и'), 1= 1, ..., и, а=а(т хо ао) называется характеристикой уравнения (8.20) '>.
Таким образом, для любого достаточно малого куска ь" мы однозначно определили и в той окрестности проекции этого куска на плоскость х, которую покрывают проекции пересекающих 8 характеристик. «Ширина» этой окрестности нигде не сузится до нуля. В самом деле: 1) ь" не имеет касательных прямых, параллельных оси Ои. Действительно это сразу следует из конечности ди — (( = 1, ..., и) на поверхности Т, существующих по дх1 предположению. 2) 3 не имеет касательных прямых, проекции которых на плоскость и=0 имеют направляющие косинусы, пропорциональные правым частям уравнений (8.21). Действительно, это было оговорено особо.
Итак, любые две интегральные поверхности, проходящие через 8, совпадают в некоторой окрестности каждой точки 51 объединяя эти окрестности, получаем, что указанные поверхности совпадают в некоторой окрестности 8. При доказательстве существования решения задачи Коши для уравнения (8.20) мы будем, как и в $61 и 62, рассматривать случай двух независимых переменных х, у и обозначать искомую функцию г=г(х, у). Тогда м Так как полулинейные уравнения являются частным случаем квааилинейных, то для полулинейных уравнений имеются два понятия характеристик: в смысле $61 я в смысле $63. Легко проверить, что характеристики в первом смысле представляют собой проекции характеристик во втором смысле на пространство к.
% 66 ововшенные Решения 271 ренцируемой правой частью. Тогда то, что уравнение (8.24) удовлетворяется, вытекает сразу из равенств (8.25), а выполнение начального условия очевидно. В силу теоремы о' неявной функции достаточно проверить, что в точках линии 8 ( '") ~0, Р(з, и) так как тогда в окрестности каждой точки о можно два первых уравнения (8,26) разрешить относительно ( и о н подставить резуль- т тат в третье. (Непрерывная диффе- Рии.39 ренцируемость функций р, ф и )( вытекает из теоремы о зависимости решения системы (8.25) от начальных данных.) Однако на о, т. е. при 7=0, имеем к=а(о); у=5(о), и потому в силу равенств (8.25) ар ь| д~ д( а Ь а'(о) (Г (о) Р(х, у) Р(Ф, и) $64. Обобщенные решения линейных и квазилннейных уравнений В $61 для линейного уравнения с частными производными первого порядка было построено решение задачи Коши и доказана его единственность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
