1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(8.36) д( дх о Обобщенное решение уравнения (8.35), удовлетворяющее условию (8.30) в точках непрерывности, называется решением задачи Коши (8.35), (8.30). Точно так же, как и для уравнения (8.29), можно показать, что на линиях разрыва х=1р(() обобщенного решения и(1, х) уравнения (8.35) выполняется условие д1р(г) и(г, х, и(г, х+'О)) — Ф,"х, и(г, — 0)),8 37 (8,37) ву и (Т, х + О) — и (О х —,О) Легко видеть, что линия разрыва и(1, х), вообще гово- оБоБщенные Решения Етг ря, не является проекцией характеристики уравнения (8. 35). В отличие от линейного уравнения, равенство (8.36) не определяет единственного обобщенного решения уравнения (8.35), принимающего при 1=О заданные значения 1(х) во всех точках непрерывности и(1,х). Так, например, обобщенным решением задачи Коши в полу- плоскости 1~0 для уравнения (8.34) .д ~ — ) — + .
=О, дг дг удовлетворяющим начальному условию и(О,х) =1(х) = ( (8.38) является при любом а~! функция и (1, х), определенная равенствами: Г 1 — а 1, если х4 2 1 — а — а, если Г( х (О, (8.39) и (1,х)= а — ! а, если О(х~( — г, 2 а — ! 2 — 1, если (Проекции характеристик и„(1, х) на плоскость (1, х) изображены на рис. 40.) Таким образом, для определения единственного обобщенного решения задачи Коши для уравнения (8.35) с условием (8.30) нужны дополнительные условия.
Для дза случая — ) 0 таким дополнительным условием для диз уравнения (8.35) в области 6, лежащей в полуплоскости 1>0, является выполнение на линиях разрыва соотношения '! и(1, х — 0) >и(1, х+0). (8.40) о доказательство этого утверждения содержится в ук»чан»оа выше статье О, Гт Рлейиик, ага УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Ьи. ЧГН Это соотношение, как легко видеть, выделяет из всех функций (8.39) только одно обобгденное решение и,(т,х) прн а=1. Согласно (8.39) имеем: и1((,х) =1 прн х<0 и кч(т,х) = — 1 прн г>0. В отличие от линейных угавненнй, обобщенное решение задачи Коши для кеазнлинейного уравнения (8.35), вообще говоря, не может быть построено с по- Рис 4! Рис 40 мощью характеристик, проходящих через. точки (О, х, и(О,х)).
В качестве примера рассмотрим снова задачу Коши для уравнения (8.34) с начальным условием (8.38). Легко видеть, что обобщенное 'решение этой задачи Коши не определяется однозначно с помощью характеристик даже в сколь угодно малой окрестности прямой 4=0. Действительно, проведем в пространстве (1, х, и) через точки (О, х, и(0, х) ), где — оо <х<+оо, характеристики уравнения (8.34), т. е. решения системы уравнений Ли нх — =О, — =н. 4Г 4Г Поверхность, составленная из этих характеристик, в случае гладкой функции и(О,х) определяет решение за— дачи Коши в окрестности прямой 1=0, причем эта окрестность зависит от начальной функции и(0, х). Если и(0, х) 1(х), где 1(х) определена условием (8,38), то проекции этих характеристик на плоскость ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЙ (г, х) дважды покрывают точки, лежащие при 2)0 между прямыми х — 1=0 и к+1=0, и притом с различными значениями и, и не покрывают точки, лежащие между этими прямыми при 1(0 (рис.
41), Существуют другие методы построения обобщенных решений квазилинейных уравнений, Важное значение имеет так называемый метод введения «малой вязкости», который ведет свое начало от задач газовой динамики '>. Вопросы о продолжении решения для всех значений 1)0, о построении обобщенных решений квазилинейных уравнений и об условиях единственности обобщенного решения задачи Коши представляют большой интерес для газовой динамики и некоторых других разделов механики.
Условие на разрывах (8.37), которые в механики называют ударными волнами, соответствует в газовой динамике законам сохранения массы, энергии и импульса при переходе через ударную волну, а условие (8.40) соответствует закону неубывания энтропии. ЗАДАЧИ 1. Определите обобщенное решение задачи Коши для липей- ного уравнения с частными пропэводнымн 1-го порядка со многими независимыми иеременнымп. Прн предположении, что /— кусочно-гладкая функция, докажвте теорему существования и единственности, а тахже выведите соотношение, которому удавлетворяют 'поверхности разрыва обобщенных решений. 2. Для уравнения (8.12) нз 4 61 определите с помощью соотношения (8.33) непрерывное обобщенное решение задачи Коши с непрерывной начальной функцией )(л).
Докажите его существование в единственность. 3. Постройте обобщенное решение задачи Коши для уравнения (8.34) в области Г>0, удовлетворяющее условию (8.40), если 7(х) — кусочно-постоянная функция с конечным числом разрывов (рассмотрите сначала случай, когда )(х)' имеет один нли 'даа разрцва). Докажите единственность этого решения. 4. Докажите, что условие (840) определяет единственное обобщенное решение задачи Коши для уравнения (8.34) в иолу- плоскости 1)0. о Подробное описание этого метода можно найти в указанной на с. 272 литературе. Мы рассмотрим уравнение р~х,и, ", ..., " ) =О, х=(хю ...,х„),,(8.41) дх„ ' ' ' ' * дх„ и предположим, что функция р по всем своим аргументам в некоторой области (2п+1)-мерного пространства имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно и что (8.42) Для сокращения записи положим дх дР ди дх — =х,, — -и,— =р,, дх; ди дх~ дР~ Задача Коши для уравнения (8.41) ставится аналогич- но тому, как и для уравнения (8.20); ниже мы уточним эту постановку, Допустим, что и(х) есть какое-нибудь решение урав- нения (8.41), имеющее непрерывные частные производ- ные 2-го порядка.
Г1одставим это решение в уравнение (8.41) и полученное тождество продифференцируем по каждому хм й=!,:, л. Получим г,— +х,+ир„=~,г,— +х„+ир,=0. Х дш вт дрь дхх дх~ (8.43) Эти уравнения квазилинейны относительно рл. Построим в пространстве х траектории автономной си- стемы — =Р„1=1, ...,л, ит (8.44) где в правых частях вместо и и р, подставлено рассматриваемое решение и(х) и его соответствующие производные. Тогда уравнения (8.43) можно переписать 280 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Ил.
Уп| $65. Нелинейные уравнения за! $ бб! НЕЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ в виде — = — Х вЂ” Ур„б=1, ...,и. (846) дрг дт Найдем, наконец, производную от и(х) по параметру г. Получим — = Р— — '= ~~„Р! ро (8.46) д! 4эд дх! !и г=! ! ! Система, состоящая из уравнений (8.44), (8.46) и (8.46), ОПРЕДЕЛЯЕТ ОДНОЗНаЧНО Хь Р! И и КЕК ФУНКЦИИ От б, если задать их начальные значения. Траектории этой автономной системы в пространстве (х, и, р!, ..., р ) называются характеристиками уравнения (8.41); они зависят только от этого уравнения '>.
Пусть поверхность 5, на которой заданы значения и, не имеет самопересечений н задается уравнениями х!= =хб(о!, „о„!), б=1,...,п. Тогда заданную на 5 функцию и можно также рассматривать как функцию от пь .. пэ-!. Мы будем предполагать, что функции хг(о!, ..., о„!) и и(оь ..., о„!) непрерывны вместе с их частньбми производными по о!, ..., о„, до 2-го порядка включительно и в каждой точке поверхности 5 отличен от нуля по крайней мере один из миноров (и — 1)-го порядка матрицы дх! (дх д; "' дч 'дх! 'дхи до„ , " до„ , Рассмотрим вопрос о том, как задание и на 5 определяет значения р! на 5. Если в равенство и=и(х) подставить выражения и н х через о, то оно обратится в тождество.
Дифференцируя это тождество, получим Х р, х' = — и, й=1, ...,и — 1 (8.47) до» дь» б=! о Проекцнн этих линна на пространство х нлн Н)юстранство (х, и) также иногда называются характернстнкамн. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. ЧП! (здесь р! берутся, конечно, на 5). С другой стороны, на 5 должно иметь место равенство (8.41). Оно дает Р(х, и, р!, ..., р„) =О, (8.48) где вместо х, и следует подставить их выражения через о. Соотношения (8.47) и (8.48) представляют собой систему п уравнений с неизвестными функциями рь ..., р„от аргументов о!, ..., о„!.
Поэтому для применения теоремы о неявных функциях необходимо, чтобы Р! Ра ... Р„ дхр ахх дх„ Аъ, аи '" ди чь0 (8.49) дх! ах! дх„. аь„, а„, '" а при всех рассматриваемых значениях о!, ..., о„ь т. е. всюду на 5. Исходя из этого, впредь при постановке задачи Коши для уравнения (8.41) мы будем считать, что на 5 не только дано и(о!, ..., о„!), но также выбраны значения р!, .:., р„, непрерывно зависящие от о„..., о„!, причем так, чтобы удовлетворялись соотношения (8А7) — (8.49). Тогда нз теоремы о неявных функциях .следует, что р!, ..., р„имеют непрерывные произиодные по о !, ..., о„ !. ' . Следует отметить, что в силу нелинейности ур авнення (8.48) при заданной и на 5 значения р! на 5 опре. деляются, вообще говоря, неоднозначно. Однако если выполняются условия, сформулированные в предыдущем абзаце, и если ' р!!'! (А ) = р!" (А ), ! = 1, ..., л, в какой-нибудь точке А поверхности 5, то р 10 = — р! !, = 1, ..., и„ всюду на 5; это следует из теоремы о неявных функциях в силу условия (8.49).
Геометрически условие (8.49) означает, что в каж. дой точке х' поверхности 5 проекция на пространство х характеристики, проходящей через точку (хе, ие, р!, ... Р„) (и, р!, ..., р„определяются из начальных услоо е о о вий), не касается 5. (Проверьте!). айвз НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Из единственности решения системы (8.44) — (8.46) следует единственность решения задачи Коши. Действительно, так как мы предположили, что функция Р имеет непрерывные производные по всем ее аргументам до 2-го порядка, то в'силу условия (8.42) правые части уравнений (8А4) имеют непрерывные производные 1-го порядка по всем их аргументам, что обеспечивает единственность решения системы (8А4) — (8.46). Переходя к доказательству существования решения задачи Коши в некоторой окрестности поверхности 5, мы предположим, что 5 и заданная на ней функция и удовлетворяют условию, напечатанному на с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
