1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 41
Текст из файла (страница 41)
При этом предполагалось, что поверхность о, заданная на ней функция 1 и все коэффициенты уравнения являются достаточно гладкими. Примеры показывают, что если = ар'(о) — Ь а' (о) ~0„ Существование решения задачи Коши доказано. Подчеркнем, что существование решения гарантируется только в некоторой,- достаточно узкой, заранее не фиксированной окрестности линии 8. То, что это объясняется существом дела, будет ясно из следующего параграфа. ослабить эти предположения, то решения задачи Коши может не существовать. Один из таких примеров приведен в конце 9 61. В связи с различными физическими задачами представляет интерес так расширить понятие решения задачи Коши, чтобы оно существовало при меньших требованиях гладкости на 1 и коэффициенты уравнения и при этом имела место теорема единственности.
Ниже мы изложим один из возможных подходов к решению этого вопроса'1. Будем для простоты рассматривать случай двух независимых переменных 1 и х и линейные уравнения вида 7 (и) = д» + и (1, х) д» + Ь (1, х) и = с (1, х), дг дх (8.29) где а, Ь, с являются непрерывно дифференцируемыми функциями 7 и х. Будем рассматривать задачу Коши с условием на отрезке прямой 7=0: и(О, х) =1(х), (8.30) которое будем называть начальным условием. Очевидно, что прямая 1=0 не касается характеристик уравнения (8,29). Если в некоторой области 6 функция и(1, х) удовлетворяет уравнению (8.29), то, очевидно, при любой непрерывно дифференцнруемой функции г, равной нулю в окрестности границы 6, П (А (и) — с1 Р й с(х = О.
(8.31) Обратно, если для некоторой непрерывно днфференцируемой в 6 функции и(1,х) равенство (8.31) выполняется при любой указанной выше функции г, то Ь(и) =с, т. е. и(й х) является решением уравнения (8.29) в 6. Действительно, если Е(и)~с в точке (1о,хо), о С основнымв фактами теории обобщенных решеннй линейных н квазнлннейных уравненнй 1-го порядка можно познакомиться в кннге: Р.
Кур ант. Уравнения с частнымв пронзводнымн. — М» Мвр, 1964, приложение 2 к гл, П, а также гл. Ч, $9; в статье: О, А. О лейн ни. Разрывные решения нелннейных днфферендвальных уравнений. — УМН, 12, № 3 (1957), с. 3=73; см. также: И. Г. Петровский. Лекдвн об уравнейнях с частными производнымн. — Мл Фнзматгвз, 1961, с. 141 — 144. 272 грднннння с чдстнымн производными 1гл.шп 5 64! озоащепные Решения то 1.(и) — с сохраняет знак в некоторой окрестности ьг этой точки. Взяв Р положительной в (г и равной нулю вне И, мы получим противоречие е равенством (83!). Равенство (8.31) мы можем загсасать в другом виде.
Для этого преобразуем его левую часть. г)ч видна. что справедливо тождество Е (и) Р = Е' (Р) и + — (иР) + — (аиР), дГ дк (8.32) где, по определению, Проинтегрируем (8.32) по 6 и для преобразования по- следнего интеграла воспользуемся формулой Грина. Учи- тывая, что Р равна нулю в окрестности границы 6, по- лучим Ц (. (и) Р а1 дх = П 1,' (Р) и а! дх. а а Равенство Ц ((.' (Р) и — сР) д! Нх = О (8.33) положим в основу определения обобщенного решения уравнения (8.29). Отметим, что оно имеет смысл также и для недифференцируемых и даже разрывных функций и(1, х). Мы ограничимся рассмотрением только таких функций и(1, х), которые сами и их производные 1-го порядка имеют разрывы лишь на конечном числе попарно не пересекающихся или имеющих лишь общие концы линий вида х=~р(!), где ~р(!) непрерывно дифференцируема; при этом для каждой дуги такой линии при е-~+О существуют равномерные пределы и(г, ~р(!) — з), ди ди и(г, <р(1)+е) и аналогично для — и —.
Такие функд~ дк ции и(1, х) будем называть кусочно-гладкими. - Кусочно-гладкую функцию и(1, х) будем называть обобщенным решением уравнения (8.29) в области 6, если при любой непрерывно дифференцируемой функ-' ЯУ4 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМН ПРОИЗВОДНЫМИ (гх.
Ч!И цни Р, равной нулю в окрестности границы б, выпол- няется равенство (8,33). Легко проверить, что обобщенное решение и(йх) уравнения (8.29) может иметь разрывы только вдоль характеристик. Действительно, пусть х=«р(!) — линия разрыва и((,х) и пусть Р(1,х) — любая непрерывно днфференцируемая функция, 'равная нулю вне доста- точно малой окрестности й кривой х=«р(!). Мы можем предположить, что в каждой из областей ь11 и Ив на которые кривая х=«р(!) разбивает ьз, функция и((,х) непрерывно днфференцнруема, а поэтому в й« и Е)д она удовлетворяет уравнению (8.29).
Пользуясь равенством (8.33), получим 0 = ~ ~ [Е' (Р) и — сР[ «(г Их = ) ) [Е' (Р) и — сР[ «(г «(х+- , Я Вю + [ ') [Е'(Р) и — сР[«((йх = Ц [Е(и) — с[Р«(! Йх + ~о о, + Д[Е(и) — с[РШ«Ех+ ~ [и[Р«(х — [и[аРЖ = Я~ х=ч««! [и[ ( — ~ — а((, «р(!))) Р«(!, х р««1 где последние два интеграла . взяты вдоль кривой х = «р ( !) и [и)=и(Е «р(!) — 0) — и((, «р(!)+0).
Так как Р— произ- вольная функция на кривой х ф(!), то из равенства нулю последнего интеграла следует, что — — а =О, н«у т. е. кривая х=«р(!) является характеристикой уравне- ния (8.29). .,ди ди Нетрудно проверить, что '— и — также могут д! дх иметь разрывы лишь вдоль характеристик. Действи- тельно, пусть решение и(Е 'х) непрерывно вдоль линии х=«р(!), не являющейся характеристикой. Тогда в силу теоремы единственности оно, как в й„так и в Йм сов- падает с обычным, непрерывно днфференцируемым ре- шением, равным и(!, «р(!)) на линии х=«р(!).
Значит; йи ди — н — не могут иметь на ней разрывов. Точно так «и дК же легко проверить, что всякая кусочно-гладкая функ- ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ цня и(1, х), удовлетворяющая уравнению (8.29) в точках непрерывной дифференцируемости и имеющая разрывы только вдоль характеристик, является обобщенным решением уравнения (8.29). Обобщенным решением задачи Коши в области 6 для уравнения (8.29) с условием (8.30) будем называть такое обобщенное решение и((,х) уравнения (8.29), которое в точках непрерывности при 1=0 совпадает с заданной функцией' ) (х). Легко проверить, что такая функция и(1,х) для любой непрерывно дифференцируемой в б функции г', равной нулю в некоторой окрестности границы 6, удовлетворяет равенству П [Ь' (г") и — сг1д( дх — )е г (О, х) )'(х) дх = О, о~ а, где б~ — пересечение б с полуплоскостью 1~ 0, а отрезок [он аз] — пересечение замыкания 6 с прямой 1=0.
Это равенство можно взять за определение обобщенного решения задачи Коши в области бн для уравнения (8.29) с начальным условием (8.30). Отметим одно важное свойство линейных уравнений с частными производными первого порядка, вытекающее из $61. Окрестность )се поверхности 3, в которой гарантируется существование решения задачи Коши, не зависит от заданной на 5 функции 1. Можно доказать, что обобщенное решение задачи Коши для уравнения (8.29) с условием (3.30) существует в такой же окрест'ности интервала (аь аа) прямой 1=0, если 1(х) непрерывно дифференцируема всюду, за исключением конечного числа точек, где она и ее производная имеют разрывы первого рода, и это решение единственно.
Этот факт можно установить таким же путем, как в 9 61 доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Рассмотрим теперь квазилинейные уравнения 1-го порядка. Для квазилннейных уравнений с частными производными 1-го порядка, как зто легко видеть на примерах, в отличие от линейных уравнений, область,. в которой определяется решение задачи Коши, зависит от величины функции 1 и ее производных. Так, например, для уравнения 27Е уРАВнения с ЧАстными. ПРОизВОдными (гл. чп1 ди ди — +и — =0 дт дх (8.34) решение задачи Коши, удовлетворяющее условию и (О, х) = — 1)1 —, е ) О, в определяется только при ((е, нбо, как легко проверить, проекции характеристик на плоскость (1, х), соответствующих начальной функции — 111 (х/е), пересекаются при а)е и приносят в эти точки разные значения и.
По аналогии с линейными уравнениями мы можем ввести понятие обобщенного решения для квазилинейных уравнений 1-го порядка, записанных в виде — + ' ' +Ь((,х,и)=0. (8.35) д) дх О Си. антературу, указанную а сноске на с. 272. Уравнения такого вида иногда называются законами сохранения. Понятие обобщенного решения квазилииейного уравнения играет важную роль в задачах газовой динамики и других разделов механики н физики'1. Под обобщенным решением уравнения (8.35) в области 0 будем понимать кусочно-гладкую функцию и(1, х) такую, что при любой непрерывно дифференцируемой функции г'(1, х), равной нулю в окрестности ГраНИцЫ 1х, ВЫПОЛНяЕтея раВЕНСтВО ~ ~ — и + — а (1, х, и) — 6 ((,'х, и) г'1 1(1 с(х = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
