1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отметим, что это справедливо ы для оснонного текста кннгн, где кадо положнть «я=1. 2. Докажите, что для снстем;ы, рассмотренной н задаче 6 $55, особые точкн тяпа центр нля седло возможны, а узел я фокус Автономнь)и систямы [гл. рп (как и для любой системы с иптегральиым иивариаитом) — иевозможны. 3. Проведите классификацяю ызолироваииых точек покоя автоиомиой системы пры п=з в случае лыиейые)х правых частей я различиых корней характеристического уравпекия; изобразите геометрическую картииу пяти возможных типов точек. Проведите аиалогичиую классификацию для любого п.
Какие из точек являются «грубымиз, т. ц ие меняют своего типа при достаточно малом измеыеиии коэффициеитов системы? Отметим, что точки покоя для ыелииейиых автоиомиых систем в случае любого л рассмотрепы в указаниой в $24 киыге В. В. Кемыцкого и В. В. Степаиова. $58. Теория индексов Пуйнкаре с успехом применил, к исследованию автономных систем на плоскости понятие вращения векторного поля. Пусть на плоскости задана автономная система (7.2) н дана гладкая нли кусочно-гладкая ориентированная линия Е (замкнутая линия или дуга, содержащая свои концы), не проходящая через точки покоя системы.
Вращением векторного поля, определенного системой (7.2), вдоль линии Е называется деленное на 2и приращение угла, поставляемого вектором поля в точке АДЕ с некоторой фиксированной осью ), когда эта точка А проходит линию Е в заданном на Ь направлении обхода. Подразумевается, что при подсчете приращения угла мы следим за его определенной ветвью,. т. е. считаем угол изменяющимся непрерывно. Например, на рис.
35 приращение угла равно 2и, и потому ьвращение поля вдоль Ь равно 1 независимо от того, примем ли мы в исходной точке А„указанный угол равным — нли ( — + 2и) или ( — — 2п) и т. д. Кроме того, нетрудно видеть, что вращение заданного поля вдоль заданной линии не зависит от выбора оси г, а если линия Е замкнутая, то не зависит и от выбора начала обхода Ао. Нетрудно получить явную формулу для вр ащеиня поля Г(х) =7, (х„хз) и~+~я(хь х,) ез, в вм ТЕОРИЯ ИНДЕКСОВ где е, н ев †,еднннчные векторы осей коордннат.
Прнняв за 1 ось хь получнм угол наклона поля к осн Ф = Агс1а —, 1и 11 ' откуда вращение И~поля вдоль 1. равно хс= — в вЮ = — в г 1 г 11л1,— 1,Ф, 2п 3 2п ,) Ь е 1 2 (прн этом мы считаем функции 1, н ~в непрерывно днфференцнруемымн). Укажем некоторые свойства вращення. 1. Прн перемене орнентацнн лнннн 1. на протнвопо. ложную вращение меняет только знак. Рис. Зй Рис. Зй 2. Еслн линня 1. разбита на конечное число частей, то вращенне поля вдоль 1. равно сумме вращений полн вдоль этих частей. Этн два свойства почты очевндны. 3.
Еслн лнння 1. замкнутая, то вращение равно'целому числу. В самом деле, тогда вектор поля в начале и в конце путн однн н тот же, т. е. он мог повернуться лишь на целое чнсло оборотов. АВТОНОМНЫЕ . СИСТЕМЫ мл. чп 4. Если замкнутая линия Е непрерывно деформируется, причем в процессе деформации она, не проходит через точки покоя системы, то вращение поля вдоль иее остается постоянным. Действительно, при такой деформации поле вдоль линии, а потому и вращение поля мейяются непрерывно.
Поэтому в силу свойства 3 получаем наше утверждение. 5. Если внутри замкнутой линии Ь без самопересечений нет точек покоя системы, то вращение поля вдоль Т. равно нулю, В самом деле, непрерывно стянем линию к какой-нибудь точке, не являющейся точкой покоя; при этом на основании свойства 4 вращение поля в процессе деформации не изменится. Но ясно, что если замкнутая линия находится в достаточной близости от точки,.не являющейся точкой покоя, то при обходе этой линии вектор поля не может сделать полного оборота, т. е. вращение поля вдоль такой линии равно нулю: Значит, вращение и вдоль исходной линии Т. равно нулю. С л е д с т в н е. Внутри любой замкнутой траектории системы (7.2) 1'на плоскости) находится по крайней мере одна точна покоя этой системы.
Действительно, если такую траекторию обходить в положительном направлении (против часовой стрелки), то вектор поля, направленный все время вперед или назад по касательной, сделает'полный оборот в положительном направлении '>. Значит, вращение поля вдоль замкнутой траектории равно 1, н-потому наше утверждение вытекает из. свойства 5. рассмотрим изцлированную точку покоя х', т.
е. точку покоя, обладающую окрестностью, в которой нет других точек покоя. Выберем какую-либц линию Е, окружающую хе, и будем проходить ее в направлении против часовой стрелки. Тогда вращение поля вдоль линии з". называется индексом точки покоя хе. В силу свойства 4 индекс точки покоя ие зависит от конкретного выбора линии Ь. Если выбрать, например, в качестве такой линии малую окружность с центром в точке по- о Это утверждение, наглядно очевидное, ножет быть доказано без всякой ссылка на наглядность; сн., например, указанную в й 24 книгу С.
Лефшена. теОРия индексов не = ~~~хьь (7.27) В самом деле, в этой сумме каждое слагаемое можно разделить иа части, отвечающие отдельным дугам разбиения; после этого в силу свойства 1 слагаемые, отвечающие внутренним дугам, взаимно уничтожатся (почему?), тогда как слагаемые, отвечающие дугам, лежащим на Е, сложатся и дадут в сумме левую часть формулы (7.27). Из формулы (7.27) на основании определения индекса точки покоя и вытекает утверждение теоремы. Следствие. Пусть внутри замкнутой траектории имеются точки покоя только простейшего тапа, именно центры, фокусы, узлы и седла.
Тогда общее число этих точек нечетно, причем число седел ни единицу меньше общего числа всех остальных точек покоя. В самом деле, это вытекает из приведенных перед формулировкой теоремы значений индексов указанных точек покоя. Подробное изложение теории и приложений понятия вращения векторного поля даны в книге: М. А: Кр асн 'о с е л ь с к и й, А. И. П е р о в, А, И.. П о в о'л о ц к и й, П.
П. 3 а бр ей ко. Векторные. ноля иа плоскости.— М.: 'Физматгиз, 1963. коя и проследить за изменением вектора поля при обходе этой окружности, то легко проверить (проделайте это!), что индексы узла, центра и фокуса равны 1, тогда как индекс седла равен — 1. Теор е м а. Если на замкнутой линии Е беэ симо- пересечений нет точек покоя системы, и внутри имеется лишь конечное число таких точек, то вращение поля вдоль линии 1., проходимей в направлении против часовой стрелки, ровно сумме индексов всех точек покоя, содержащихся внутри Е.
Доказательство., Проведем внутри Е дополнительные линии так, чтобы область, содержащаяся внутри Е, разбилась на части, каждая из которых' содержит лишь одну' точку покоя (рис. 36). Ориентируем контур Ед каждой из частичных областей в направлении против часовой стрелки; тогда 1г». ЧН АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ЗАДАЧИ а(х) =- ~~ аг(х) ег, г=! где е, — един»чный вектор по оси х;. Тогда враа1ением лоля а(х) на ловерхнос!и 5 называется интеграл да! да.
дх, ''' дх! ! да» да! а! дхг+! ' дх„ л 1 м5 5 т=! да„ да да!+! дх„ да„ да„ дх! дх! ! л л Х соз (н, х!) (~1' аг) д5, 1=1 где ю -~ — !л — 1)-мерная мера единичной (л — 1)-мерной сферы, а п — орт внешней нормали к 5, Рассмотрите какие-либо примеры вращения поля в трехмерном и л-мерном пространствах, выясните геометрический смысл вращения, докажите какие-либо свойства вращения. 4.
Дайте определения индекса изолированной точки покоя автономной системм в «.мерном пространстве. Докажите, что для случая линейных правых частей »тот индекс равен ш 1. (В зави- 1. Пусть Р(х) — многочлен от х=х+!у не менее, первой степени. Обозначив Р=!с+111 н рассмотрев вращение векторного поля !',!е,+Вез по окружности достаточно большою радиуса с центром в начале координат, докажите, что,Р(з) имеет по крайней мере один нуль. 2. Можно доказать, что у изолированной точки покоя а, не типа центр н не смешанного типа (см, й бб) существует окрестность У следующей структуры. В 0 имеется конечное число «зллнптнческих областей», целиком заполненных траекториями, входящими обоими копцамн в а; конечное число «гиперболических областей», целиком заполненных траекториями, выходищнмн обоими концами иа границу 0; те н другие области простираются от а до границы б и отделены друг от друга «зонамн параболнчностн», целиком заполненными траекториями, одним концом входящими в а, а другим выходящими на границу К Пусть число областей каждого типа известно; чему равен индекс точки покоя? 3.
Понятие вращения векторного поли можно ввести и в и- мерном пространстве. Пусть дана замкнутая гладкая или кусочиогладкая ориентированная (т. е. с указанйем наружной стороны) (и — 1)-мерная поверхность 5 или поверхность с краем, удовлетворяющая аналогичным требованиям. Пусть в окрестности 5 задано непрерывно дифференцируемое векторное поле % ьв! ТЕОРЕМА ВРАУЭРА О НЕПОДВИЖНОИ ТОЧКЕ 247 снмостн от 'чего?) Сформулкруйте следствие об индексе точки покоя для нелянейной системы с лянейной главной частью.
Рассмотрите непрерывно днфференпнруемое поле касательных векторов на сфере й в трехмерном пространстве" н соответствующую автономную систему на к. Определите понятне индекса точки покоя н докажите, что если точек покоя конечное число, то сумма нх индексов равна 2. Докажите отсюда с помощью аппрокснмапнн, что всякое непрерывное поле касательных векторов на Я имеет по крайней мере один нуль-вектор. Рассмотрнте также случая, когда й представляет собой поверхность тора нлн «кренделя» (сферы с двумя ручками).
9 59. Теорема Браувра о неподвижной точке Следующая теорема широко применяется В теории дифференциальных уравнений и в других разделах математики. Она была впервые сформулирована и доказана голландским математиком Л. Брауэром в 1910 г.; равносильное утверждение было доказано н применено к теории дифференциальных уравнений латвийским математиком П.
Г. Болем в 1904 г. Теорем а. 1Тусть,п-мерный (п)1) замкнутый шар К непрерывно отображен в себя, т. е. каждой точке хе= енК отвечает точка 1(х)к=К причем функция 1(х) непрерывна. Тогда по крайней мере одна гочка хеенК при этом отображении переходит в себя, т. е. г'(хе) =хо. Перед доказательством теоремы выскажем несколько общих соображений. Пусть в и-мерном пространстве даны два множества К, н' Кз. Они называются гомеоморфными друг другу, если между ними можно установить взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие, другими словами, если существует такое непрерывное отображение ха=ар(х')~Кх(х'енК1) множества К, на множество Кх, что обратное, отображение х'=ф(хз) будет непрерывным отображением Кх на Кь Так, нетрудно проверить, что п-мерный шар гомеоморфен псмерному кубу или п-мерному тетраэдру (и даже любому и-мерному выпуклому телу), но не гомеоморфен, например, множеству, состоящему из двух шаров без общих точек и и Свойства,общне для всех гомебморфных друг другу множеств, изучает область математики, называемая топологией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
