1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Моделью системы (7.2) 'может служить стационарный поток газа в пространстве х; тогда решения определяют закон движения его частиц. Как мы знаем, при продолжении решения х(1; х«) в 'сторону возрастания 1 (аналогично в сторону убывания 1) может представиться два случая: либо решение будет продолжено на всю полуось О«:г<ОО, либо же при приближении к конечному Г=Т точка х(1; х') «уукодит на бесконечность». Мы будем для простоты предполагать, что обязательно имеет место первый случай.
Легко проверить, что при изучении совокупности траекторий системы (7.2) это предположение не ограничивает общности. В самом деле, рассмотрим автономную систему — ' = 7! (х,, х„) г(х„..., х„), 1 = 1...,, и, (7.3) где функция г>0 и удовлетворяет тем 'же требованиям, что н )!. Эта система обладает теми же траекториями, что н (7.1), хотя скорости прохождения этих траекторий для систем (7.1) и (7,3) различны. (Почему?) В ао же время легко подобрать функцию г так, чтобы скорость движения, определяемая системой (7.3), была ограниченной, и потому движущаяся точка не могла бы-в конечное время уйти на бесконечность. Для этого достаточно положить (1+~~ Р) г !еа Итак, мы будем считать, что'вектор-функция х=х(1; хэ) (7.4) АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [ггг. уц определена для всех точек хз пространства х и для всех значений 1, — СО<4<СО.
Для каждого хз она дает решение системы (7.1); образно говоря, х(1; хз) — это та точка, в которую переместится точка хгг .через время 1. Вектор-функция (7.4) обладает следующими простыми свойствами: 1' она непрерывна по совокупности переменных; 2' х (О; х') =— хо 3' х((з' х((у х ) ) х(1г+гг' хз) ! Первое нз этих свойств вытекает из теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных. Второе в из определения решения х(1; хз). Наконец, третье (групповое) свойство можно доказать так. Прежде всего, из того, что в правые части системы (7.2) не входит 1, нетрудно вывести (сделайте это1), что эта система наряду с решением х=ф(1) всегда обладает решением х=ф(1+1,) при любом постоянном (з.
(Второе решение определяет ту же траекторию, что первое, но закон движения по ней сдвинут на 1з назад во времени.) Поэтому две функции х=-х(1; х(1г', хз) ) и х=х(1+1г, хс) определяют решения системы (7.2). Однако прн 1=0 оба выражения дают одну и ту же точку х(10 хз). Поэтому в силу теоремы единственности для систем дифференциальных уравнений х(1; х(10 х~)) = — х(1+10 хз).
Полагая 1= 1з„получаем требуемое свойство 3'. Наглядный смысл свойства 3' состоит в следующем: чтобы выяснить, куда точка хз переместится за время 1,+ +(ь надо посмотреть, в какую точку она перейдет за время 1ь а затем, куда эта вторая точка перейдет за время 1ь Свойства 1' — 3' настолько существенны, что часто под автономной системой (иначе, потоком) понимают семейство отображений (7.4) любого множества (на котором можно определить непрерывность этого отображения) в себя, если выполняются условия 1' — 3', даже когда никаких дифференциальных уравнений не задано.
Из свойств 2' и 3', в частности, вытекает, что при Ф!6 Овщив ПОНЯТИЯ ззп каждом фиксированном Г отображення х=х(1; хз)' и х=х( — Г; хз) пространства х в себя являются взаимно обратными. В самом деле, точка хз в результате последовательного прнменення этих отображений переходит в х( — 1; х(1; хз)) =х( — 1+1; хз) =х(0; хз) =хз; применение этих отображеннй в обратном порядке тоже дает хз. Проверим еще следующее свойство: если две траектории имеют общую точку, то онн совпадают, а соответствующие решення различаются лншь постоянным сдвигом во времени. В самом деле, если х(11; х') =х(Р; хз), то х(1; х') = — х(1+(хх — 11); хх)'; это вытекает из теоремы единственности, так как оба решения прн (эта совпадают.
В заключение отметим, что в механике часто рассматрнваются системы второго порядка вида Лхх1 / дх1 'ях„1 611 — =71~хх,...,х — ... — "), 1=1 ...,и. гФ ~ ''"' "' и''''' а11' (7.5) Такая система после введения переменных и1 — = ах1 ЫС = р, (так называемых импульсов)' приобретает внд ~~~С Р1 ж т1 1=1,...,л. 2л-мерное пространство х„..., х„, рь ..., р„называется фазовым лростраиством координат-'импульсов. Таким образом, снстема (7.5) (получающаяся при исследовании механической системы с и степенями свободы)' определяет автономную систему в 2П-мерном фазовом пространстве.
Антоиомяые сиСтемы [гл. тП ЗАДАЧИ 1. Пусть в и-мерном пространстве х задана вентор.функция (7Л), удовлетворяющая условиям 1' — 3' н непрерывно дифференщсруемая по С. Докажите, что зта вектор-функцыя определяетев автономной сястеиой (7.2) с непрерывнымв правммн частямн. 2. Пусть в пространстве х задана ньлрерывно днфференцыруемаа фувкцня р(х)>бг Эта функция называется. плотностью иигегрольиого иилириллти длл системы (7.2), еслы для любой конечной области С с непрерывно днфференцвруемой границей интеграл ...) р(х) бхс...
с[х„ые зависит от С; здесь под Сс поинмаетсн с область, состоящая из всех точек х(С; хь) (хьсмС). (Эту плотность можно потолковать как плотность газа, движущегося в соответствии с заданным полем скоростей с сохраыеннем масс.) Докажите, что если вектор-функции ) непрерывно двффереицнруема, то для того чтобы функция р(х) была плотностью иптегрального выварил Ю д(7[р) апта, иеобходимо н достаточно, чтобы лт« — =— О. Докажите, л««) дх; с с что в важном частыом случае гомильгоиоеой системы в 2л-мерном пространстве х, у дхс дН дус дН вЂ” — — — = — — (с =1 л) дг ду[ дг дхС где Н(хь ..., х«, уь ..., у«) — дважды непрерывно днффереяцнруемая функция (фуихнйл Гамильтона), функция р(х, у)'«в! служит плотностью нытегральвого ннварнаита, т.' е.
объем областв Сс не зависит от С (теорема Лнувилля). Системы с интегральным ннвариавтом, или, как нх еще называют, с ннварвантной. мерой, обладают многымн замечательными свовствам»; см., например, кингу: П. Халмощ. Лекции по эргодической теории, Мг ИЛ, 1959.
5 $2. Трв вида траекторий Т е о р е ы а. Решение х(1) автономной системы (7.2) может быть только одного из следи[он(их трех типов: а) непериодическое, для которого х(1;)Фх((т) при [счь(т,' б) периодическое, для которого найдется такое постоянное Т>0 (период), что х(1+Т) — = х(1), а х(с[)чь Фх(1т) при 0~(с(1з<Т; в) постоянное, для которого х(1) = — хо. ТРИ ВИДА ТРАЕКТОРИЙ 237 Траектории, отвечающие решениям указанных выше типов, называются соответственно незамкнутой, замкнутой и точкой покоя. Замкнутая траектория иначе называется циклом. Отметим, что траектория, отличная от точки покоя, представляет собой ориентированную линию, т. е.
линию, вдоль которой указано направление, принятое за положительное. Доказательство. Пусть рассматриваемое решение х(Г) не принадлежит к типу а), т. е. пусть х(1~) = =х(тт) для некоторых Гь гь причем 1,~(ь Если обозначить ГТ вЂ” 21=т, то легко проверить, что х(т+т) =— х(1), . (7,6) так как решения х(г+т) и х(т) совпадают прн Г=ГР Рассмотрим множество К тех чисел т, для которых удовлетворяется тождество (7,6). Нетрудно убедиться, что К вместе, с каждым числом т содержит и — т (для этого надо в тождество (7.6) подставить à — т вместо г) и вместе с числами Т1 и тт содержит и 7~+те (так как х(Г+Т1+тз) =х(Г+т~) =— х(Г)).
(Как говорят- в алгебре, множество К представляет собой группу относительно сложения.) Отсюда следует, что вместе с числами т1 и тт множество К содержит и т~ — тг. Возможны два случая: 1) Множество К может обладать наимень1пим положительным .числом Т. Тогда х(Г+Т) =— х(1), а х(11)~х(ГВ) при 0<1,<гз<Т. В этом случае траектория является периодической, т. е. имеет место случай б).
(Нетрудно проверить, что в этом случае множество К состоит из всех чисел, кратных периоду Т,) 2) Если наименьшего положительного числа в множестве К нет, то в К имеются как угодно малые положительные числа. (Почему?) Следбвательно, имеется последовательность положительных чисел из К таких, что ть-+.+О при н-~.оо. Тогда при любом фиксированном Г г тз г — [ — ~т- 0(Ф ТА где квадратными скобками обозначена целая часть числа. Отсюда в силу непрерывности решения х(т) х(Г) = х(à — ~ — 1 ТА)-Рх(0) (й-Р оо), [ ть1 3 И. Г. ЛРТРРНСКиа ыл.
у!! АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ Вта т. е. х(!) =х(0) при всех т, и мы имеем решение, относящееся к типу в). (В этом случае множество К содержит всю ось !.) Теорема доказана. Отметим для дальнейшего, что точка покоя х' называется устойчивой (соответственно асимптотически устойчивой, неустойчивой), если решение х(() =хо системы (7.2) является устойчивым (асимптотически устойчивым, неустойчивым) ($49). 5 53.
Предельное поведение траекторий Рассмотрим какое-либо решение х(() системы (7,2) и соответствующую траекторию й Точка х называется предельной точкой решения х(!) (или траектории () при (-~+оо, если сущвствует последовательность моментов !» — ~+Со, такая, что х(!») — »-х. Совокупность всех таких точек на« о, зывается предельным множеством при (-» + оо для рассматриваемого решения.
Аналогично вводятся по- 1 ! нятия предельной точки и предельного множества при ( — л — оо. (Предельные точки при г-»-+Со и при г-л — оо называются также соответ' ственно»»-предельными «! а-пре- дельными точками; аналогично парис. ло зываются соответствующие множества.) Приведем некоторые примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
