1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Матрица М с точностью до обозкачевкй околодпагопальпых элемектов является характерпсткческой матрпцей для приведенной к капоппческому виду (6.6) системы дв е Пцяальвых аз~евай 6.У). ФФр ур ( Проведем сначала все вычпслекая для 1=я=~~~,п» т. е. пай»=1 дем свачала детермввакт матрицы М. Очевпдяо, оп равен пропзведевпю детермпваптов всех матриц М„т.

е. Л )л, (Л Л н, (1„1„)"», Так как по теореме предыдущего параграфа йе1М должек совпадать с детермпваптом матрацы ЛŠ— А, то отсюда получается Следствие. Все числа Ль...,Л» в уравнениях (6,6) должны быть корнями хороктеристического уравнения мегрелы системы 6.У) . ерейдем теперь к нахождению обще(р наибольшего делателя всех мяворов (и — 1)-го ппрядка матрацы М. Для этогс вам будет 182 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (гл.

Ч! удобнее прежде всего явно выписать, какяе значения принимают Хь ..., Хл., Пусть это будут различные между собой числа Х!'!, ..., Л<м! (М(й). Заметим далее следующее: общий делитель всех миноров (-го порядка должен также быть делителем детерминанта всей матрицы М. Поэтому общий нанбольший делитель всех миноров (-го порядка матрицы М, которой мы будем обозначать Р!(Х), должен иметь с точностью до постоянного мне]кителя следующий внд: Рг(Х) =(Х-Х! !)э* (Х вЂ” Х! !) где р! — некоторые неотрицательные целые числа. Выбросим теперь нэ матрицы М какую-нибудь строчку н какой-нибудь столбец, которые пересекаются вне квадратов М„ например так, как это схематически показано иа рис, 26.

Тогда останется матрица (л — 1)-го порядка.М', имеющая заполненный одними нулями прямоугольник О, у которого сумма ширины и высоты равяа л (этот ярямоугольннк на нашем рисунке заштрихован). Поэтому, согласно предыдущей лемме, детерминант матрицы М' равен нулю. Следовательно, прн нахождении общего 'наибольшего делителя Р„ !(Х) всех мнйоров (я — 1)-гр порядка матрицы М нам достаточно рассматривать определителя только таких матриц М', которые нолучплись из М вычеркиванием строк и столбцов, яересекающнхся внутри одного иэ квадратов М., напрямерМ, . Очевидно, для получения детерминанта такой матрицы М' надо детерминант матрицы М„, полученной нз М, вычеркяваннем одной строки и одного столбца, помпон жить на детерминанты всех остальных матриц М,.

Прн нахождейин ббщеро наибольшего делителя всех миноров (л — !)-го порядка бе(М' для иас, очевидно, наибольший интерес будут представлять миноры, содержащие наименьшие степени (Х вЂ” Х!!!), ..., (Х вЂ” Х!"'!). Чтобы нолучнть наименьшую степень Х вЂ” Х, у детерминанта матрицыМ,, нам, очевидно, надо вычеркнуть в М„ первую строку н последний столбец. После этого полученный определитель будет равен произведению е, ! а, э ... е,,„ 1 которое 'отлично от нуля потому, что все е,,! отличны от нуля.

Тогда (3 Х„) входит в минор. бе(М' в стененн, на л, единиц меньшей, чем в бе! М. Поэтому наименьшая степень (Х вЂ” Х!!!), которая входит во все миноры де! М', равна (!> (Х ХР)) ! г, где через ш» обозначеяа сумма порядков всех матриц М„'у кото- й (Й отыскание ФундАментАльнои системы Решении 166. рых на диагонали стоит Х вЂ” Хн), а через ги!(!) обозначен наибольший нз этих порядков. Следовательйо, м (!) (ц "'! — ! (), (х) = П (х — л(!)) г ! Совершенно так же мы найдем, что м (!) (2) (О П.-.

(А) =П(А — А' ) г=! где глг(з) есть следующий по величине за шМ) порядок матриц М», у которых на диагонали стоит ) Л(!), н т. д. Степени м(г) (А — А(о) ' называются злемеигерю»ми делителями А-матрицы М. Так как общие наибольшие делители у всех миноров магри. цы М, соответствующей каноническому виду системы дифференцнальйых уравнений, н у матрицы АŠ— А, соответствующей системе (6.7), по 2-й теореме и 43 с точностью до постоянного множителя одинаковы, то и элементарные делители у этих матриц также однйаковы; при этом, если какой-нибудь элементарный делитель у матрицы ХŠ— А встречается несколько раз, то столько же раз он встречается и у матрицы М.

Поэтому знание элементарных делителей матрицы ХŠ— А- и кратности каждого из инх дает возможность указать, к какому каноническому виду оиа может быть приведена. При этом остаются только неопределеинымн околодиагоиальные члены у квадратов М,. Как мы виделн в $42, их можно выбирать как угодно, лишь бы только онн были отличными от нуля. $ 45, Отыскание фундаментальной систеа)ы решений для однородной системы уравнений 'Л е м м а. Если т вектор-функций е(!)(х), ..., Е( )(х) линейно независимы, а Е=Ку — линейное невырожденное преобразование, то векторгфункции у(ц(х) = К вЂ” )е(!)(х) (1=1, ..., и) также линейно независимы.

Дока и а телье-т в о. Допустим противное, т. е. предположим, что существуют постоянные Сг, Сз, ..., С, не все равные нулю, и такие, что ~С»у(о (х) =О. г=! $3Е СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. Тг! Тогда ~Г СсК-сг[" (х) =О, г=! т. е. сА с~ Ссгю(х)= — О и ~ С!!с[о(х)жб, с=! г=! что противоречит линейной независимости функций а[в(х). с[с(ы видели, что элементарному делителю (Л вЂ” Л )т! матрицы ЛŠ— Л Соответствует в канонической системе следующая группа однородных уравнений: ~йа+ь — =Лр А+Аг Игр!.р — = есгс+, + Л,г,+,, ![х " А+, — =ер сгь+р, с+Л,гь[-,, где ес, есь ..., Ер,-! — некоторые отличные от нуля числа.

Сделаем здесь замену неизвестных, положив Ар г,+с — — ге+се г, с = 1,..., р,. Если Л, комплексно и равна Л, +сЛ*,', где Л', и Л," действительны, то мы будем понимать под е' выражение е с' (соз Л, х + ! Е[п Л,'х) э 46> ОтыскАние ФундАментАльнОЙ системы Решений 1ав (формула Эйлера).

Производная по х от этого выражения равна Л, е ' (соа Л, х + 1 а!и Л, х) + +е "( — Л,'*Е1_#_Л,'*х+1Л,"соэЛ,"х) = = (Л, + 1Л, ) е ' (соз Л, х + 1 а>п Л, х) = Л,ез". Поэтому после указанной подстановки получим "'А+> — =О, »» Ига+2 г>х = еге' „ '1'А+з г>Х г>гз+Рг 5 рг— = Е, >ЕА+ Из первого из этих уравнений находим е~> > Сг Сз Подставляя это во второе и интегрируя его, находим х,'+, =Сге>х+ С»= С о>х+ С~э. с П~д~~~~~~~ ар+2 в третье уравнение и интегрируя его, находйм гзгзгхз+ С,е,х + С, = СЛхз+ С12>х+ Яз>, и т.

д. Наконец, х =С'р'> х»э >+С'"> хр' + + С ' х+С ' ,А+Р,= р > Р,— 2 ''' > о Через С с различными индексами мы здесь всюду обо. значали некоторые постоянные, действительные илн комплексные. 1ЗВ системы с постоянными коэеаицнантзмн ! . ч! Возвращаясь отсюда к го+!, го+в...,го+э;, мы по- лучим г~+! — — е~Р Со, (!! л'~+о — — е~*" (С',"х + С~~'), го+о ' — — е"'* (С!оо!хо + С!!з!х + С~з!), (6.1 1) гр = е~ *(С!рр! хр! ! + С!р'! х~! +...

+ +р! р — ! Рг-2 +С, '"х+ СГ"). Эти равенства дают общее решение рассматриваемой группы дифференциальных уравнений. Применяя теорему 4 из $33 к этой группе, мы найдем, что у нее есть р, линейно независимых между собой решений вида (6.11). Мы удовлетворим всей однородной канонической системе,,если будем 'считать все гь крема (6.11), тождественно равными нулю. Так как ур(!=1, ..., и) выражаются линейно через гр(1=1, ..., и), то отсюда иа основании доказанной в этом параграфе леммы получается, что каждому элементарному делителю (Х вЂ” А,) ' матрицы ).Š— А соответствует р, линейно независимых между собой решений вида рр — 1 у, =еь*' Я С!! !х!, ! =1,...,и. !=о Легко видеть, что в первом из этих решений можно считать равиымй нулю все С,.!'! при 1)0, в то время как ~ 1С"<!!~ ) О, оио соответствует го.ь!ю...~гр+р, ! ! ! =О; во втором — все С'!'! = О прн /) 1, в то время как л ) (С;!о1) О, оио соответствует гьь! ою ...

жго+р,— г— = О, 4=! и т. д. Если матрица АŠ— А имеет несколько элементарных делителей, которые являются некоторыми степенями (Х вЂ” У!!), например ()о-)(! !) '", (Л-Л<!!) '", ..., Р.-и!!) *", а 4$! ОтыскАние ФундАментАльнОЙ системы Решений !ат то система «Р вЂ” = Ау,' <<х т. е. (6.12) имеет т<'<+т<4+ ... +т<ю линейно независимых между собой решений вида м — < у, =- еь<" Я Оах<, (6.13) <=а уро(х) =у*<А<(х) +(у*ь<А!(х); й=1, ..., и то среди 2и функций у*<А>(х), уа*<"<(х), й=1, ...; и, обязательно найдется и линейно независимых между собой. (Почемуг) Поэтому для системы линейных дифферен- где Я есть наибольшее из чисел т<о, т<А<, ..., т<А!.

Чтобы найти эти решения, надо только определить коэффициенты Су<, Это можно сделать методом неопределенных коэффициентов, подставляя в (6А2) вместо у< выражение вида (6.13), сокрашая получившиеся уравнения на еьн)* -н сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х. Эти решения будут линейно независимыми с теми решениямн, которые таким же образом будут составлены для элементарных делителей, представляемых степенями других (Х вЂ” ам!), потому что этим делителям будут соответствовать другие группы уравнений в канонической системе.

Характеристики

Список файлов книги