1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 25
Текст из файла (страница 25)
'При атом будем гс(Х) Рассматривать как некоторую известиусо функцию каравае с )с(х), Тогда существует такое пикейное иеособое преобразоваийе: Ус=~', АНУС, С й, ...,л, Е 2 =Ь ага+Лгут+ 72(»), =Ьзгз+а,уг+)сзуз+ Сз(»), =Ь 22!+ азрз+ХЗУз+ с з (») 4~л,+! сс» ~л,+2 д» =Ьлс+222+) рис+2+ 1л,+ 2(Х) которое с(г! сгх с(рз з ° ссх = ат! 22+ оггУз+ ° ° . +игл Ул+ Сз(х) '(Уз ° — = ощ з+лзгУз+ "+озер~+6(х) ссул °, л ° л л . лл = "л! 2! + ил 2 Уз + ° ° . + ллл Ул + сл(х) .
! приводит систему (6.7') к следующему виду: =)лат+уз(х), =Ьл,+,гс+ал,, ул,+) у~+с+7л;+с(х) 1431 творима о пвивкдвнии к клноничискоьсв иидв суй 4~,-~з ~Ь' л,+3 !+с)4Уии)-3+ ерл,+3+с и~+3( ) ° лсУи,+4 Ьис+4г1+гири~+3+~ври~+4+ ! и~+4(х) с '(Ул,+и,+! Ьл,-(-сьч.1гс+гиз — ! Ул,+ли+1ерлс+из+1+ + ! л,+ии4-1 ( ДО" Уи — па+1 л — л1,1.1 ! ° 3+!Ул — иач 1+ л-лз( 1 ° ° ° =Ь г +)с +г (х) (6,7") с( ' У= а+3 Ь =Ьл л+,,+ У „+,+Ь„,У„' „,+ И' Ул — л +3, — '-й — =Ьл — л .13'!+мгук-л +3+"ьтсул — и +з+ с(х ь а : а +с л — ла+3(Х) с =загс+м„у„1+13+,у„+~„(х) .
Чтобы нривестк систему к каноническому виду, нам остается теперь только освободиться от нвкоторык Ьс. Так как вса группы уравнений от 2-го до (а!+1)-го, от (л,+2)-го до (и!+ли+1)-го,... ...,от (л — ли+!)-го-до л-го иакодатся в соверьтеино одинаковом положения, то мы покажем тозьио, как освободиться от некоторык кэ Ьс, Ь4,...,Ь +ь Нам придется прн атом различать два случая, смотря по тому, равны 14 и 4, ихи нет. 1-й случай, когда а!лейл. Положим гз Уз'+Кг!. Тогда с(гз "Уг с(г! — = — + К вЂ” = Ь,г, + Асуг + К)ссгс+Уз(х) = с(х с(х с(к и = ьзгс+хгги — к)ссгс+к)ссгс+Уг(х)= хзги+(ьг)-К()с! — х,)) г,+ Уз(х), здесь Уи(х) есть некоторая линейная комбииакии из Ус(к) в 13(х). Выберем К так, чтобы было Ьа+К().! — ) ) =О.
)тй систпмы с постоянными коэеоиципнтлми (гл. у! Это возможно, так как, по предполозйеиию, 11~11..Тогда получим «21 — =й,;+у,(). Значит, во втором уравнении, мы уже освободились от Ьз. Положим теперь 21 уз'+К12!. Тогда Фв гуз Ь1 — = — + К1 — = Ьзгг + а, д", + Х, д,'+ К, Х, г,+уз (1) = (Ьз — а1 К+К1 Х1 — К1)11) 21+ О121+ )!ага+ уз (х). Здесь уз(х) есть некоторая лииейиая.комбинация из у1(х). и )1(х). Выберем К! так, чтобы было Ь,— КО1=К1()а — Х1). Так как Хг~х„то зто возможио. Тогда получим бгз — = а, г, + )е гз+ уз (х), Совершеиио так же можно уничтожить Ь1 и в других уравиеияях первой группы. 2-й случ ай, когда Х1=)е. Положим л У„+! — гл+„Ьл+, Н+ ал 1дл =- а„' гл, "2«,-ь1 1(х ал гл + ~зал+1+ 1«+! (Х) дл Ь„+1 — )11 21+ Ох а,„ "(2«1 Ьл,+1 бх а г(21 ал,— 1 + а Ь г а а л,— 1 «,1 л,— ! л,— г + + а„ ал, ал ал, Ь лз а Ь «,+1 л,— 1 л, 21+, гз+ ал, ал, а а л,— ! Ул,— ! + ал ал, гл, Ьл,+121 +Х,, +ул (х)= ал, а Ь л,— ! л, 21+ ал + ' ° ' Ул,— 1+"*'л, +У«1(х) а где а„— любое число, отличное от нуля.
Последнее уравиеиие можно разрешить ' отиосительно у„к гл, так яак а„ФО и а„! ~ О. 1 1' л, 1— Тогда («1+ 1)-е и лке уравиеиия можае переписать так: 2 42! теОРемА О нпиввдкнии д клноничкскомн виду )тт Положим а Ь л,— ! л~ а а п,— 1 л,— 2 !2л — ! Хл ! — „2,+ Л1 — в!- а„ а„ щ Ф Уп,— ! ~ где ал ! — любое число, отличное от нуля. Тогда я1-Е уравиенке перепишется так: ')зп Ьз — — Ь4 =.'' =Ьл-(-! (л -(-3 =Ьл+4 =" =Ьп+л+! О. Но Ь, и Ьл,+2 могут быть отличнымн от нуля.
Если Ьз О, то можно поменять местами группы уравнений, соответствующие Хл и Хл, н тогда для приведения системы к каианичесйому виду не надо будет освобождаться от Ьл +2 если оно тьО. Если же ЬлчьО н Ьл,+2+0,те, ПрЕдПОЛаГая, ЧтО Л1)пз, ЧЕГО ВСЕГдз ИОжиО дОСтИГНутЬ переменой мест групп уравнений, соответствующих )е и Ал, полоФ жнм гл+2 — — рл,+2+К!уз. Тогда получим Игл+2 Дул +2 ИУ2 +К! пх Ых !(х = Ь (221+)ед !.2+К1Ь121+К1Хзрз+и, )2(х) и 21+ Х хп +2 Х Кму2 + К1Ь121 + К1 ) уз+ ил+2 (х)' Так как, по предположению, ЬлчьО, то К1 можно выбрать тав, чтобы й1 Ьл — Ь„и+2.'В силу того что зе Хл, МЫ ПОЛУчим тогда ')зл,+2 =~ хп,+2+ах,+2( ). Аналогично мы поступаем и с другнмн уравнениями первой группы. Таким образом мы избавимся от Ь»,+1, Ь,..л Ь1, Ьл.
От Ьл нам не удастся нзбавнться, если оно не равно нулю, но это нвк Х1 24 и не требуется для приведения системы к каноинческомувнду. Однако если ьлФО, то подстановкой х1=Кх11 его можно сделать каким угодно отличным от нуля числом. Через л1(х) мы всюду здесь обозначалн некоторые линейные комбинации 41(х) и к1(х). Пусть кроме йл есть еще какое-нибудь )„наиример йз, Равное йп Тогда таким же способом мы сможем освободиться от Ьл )з, Ьл,+4 ", Ьл,+щ+!.
Чтобы не вводить новы обозначений",'мы будем считать, что уже в уравнениях (6.7л) 1Уй СНСтпМЫ С ПОСтОПНННМИ ДОПВОИЦИПНтДМИ (г . и! Подставляя же г„+э — К!уэ 'ачесто у„,+э в следующее уравнение, мы получим яуз,+з ь рг г( уэ+(рэга+э+)!эуз+з+ )з+з(х). $43. Инварианты линейного преобразовании Пуста лняейная система с постояинымн коэффициентами лт! ьч Ч з ! ! 1 я г(х г ! (в) получается из системы (А) линейным иеособым преобразованием з з! Я йцУП 1=! '! Чтобы не усложнять записи, мы в этом параграфе говорим всюду только об однородных системах, ио доказываемые здесь теоремы справедлйвы, конечно, н для неоднородных систем. В этом уравнении можно освободиться от члена с уэ* подстановкой ги,+з Ул,+э+!(эУз.
Продолжая подобные преобразования, мы приведем систему к каноническому виду. Заметим в заключение, что все линейные преобразования, которыми мы пользовалнсь для приведения системы к,каноннческону виду, были всегда однозначно обратимымн, т. е. новые переменные всегда связывалнсь со старыми такимн линейными соотношениями, что из ннх вполне однозначно .выражались как новые иеремеииые через старые, так н старые через иовые. Поэтому и преобразование у! в х» будет также линейным я обратимым, а потому неособым. Описанный только что способ приведения системы днфференцнальиых уравнений (6.7) к каноническому виду на практике очень громоэаок.
Поэтому желательно найти методы, которые быстрее давали бы строение канонической системы: числа )ч и числа уравнений, соответствующих кажзому Хо Целью ближайших параграфов является указание таких методов. 5 431 ИНВАРИАНТЫ ЛИНЕИНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1Уй Тогда имеют место две следуюшие теоремы. Теорема 1. Положим Ца!!)) А, ЦЬНЦ=В, ЦЬИЦ=К. г/ереэ Е обозначим едиличлую матрицу л-го лорядха.
Тогда ХŠ— В К(ХŠ— А) К-1. (6.!О) Доказательство. Подставим в систему (В) вместо г! их выражения через уь ..., У». Тогда л л л Хйс! ~' = ЕЬ!!',ЕЬ!~у' /=1 » 1 Пользуясь системой (А), мы получим отек!да л л А!/~ а/~у~ = ~~~~ Й!/а/Луг= Я Ь!! А/»Ую Е 1 »=1 !,» 1 е,/=! Так как зти соотношения должны выполниться тождественно по ул то при всех ! н е должно быть Ьдад= ЯЬ!!А/н Е / / а это значит, что КА ВК или В=КАК-г, Это'последнее"равенство в точности эквивалентно (6.10), потому что Е КЕК-' Теорем.а 2. /лби/ие наибольшие делители всех миноров 1-го лорцдка (1~1, ..., л) Х-матрице! ХŠ— А и ХŠ— В соваадаюг с точностью до яостояялых множителей' >.
Отсюда'-Вепеередственно следует,. что детерминанты матриц ХŠ— А и, ХŠ— В должны совладать. Доказательство. Достаточно доказать, что обШей наиболыпнй делитель всех миноров 1-го парадна матрицы ХŠ— А является также делителем общего наибольшего делителя всех миноров 1-го порядка матрицы АŠ†' В. В силу равноправия перехода от.(В) к (А) и от (А) к (В) отсюда будет уже следовать, что зти обшэе наибольшие делители. просто совпадают (с точностью до постоянного сомножителя) . Для доказательства нашего утверждения отметим, что все миноры 1-го лорядка у матрицы К(ХŠ— А) суть.
суммы произведен)гй 11 А-матрицами называются матрицы, у которых элементы являются многочленами от А. ц Эти наибольшие делители миноров 1-го порядка находят, как у многочленов от Ц. 1йб систпмы с постоянными коэооиципнтами 1 . уг па элементы матрацы К некоторых мякоров 1-го порядка к-матрвцы кŠ— А. Поэтому все обшве мпожвтелв этвх последках будут также общкмв мвожвтелямп мвпоров 1-го порядка матрпцы К(ХŠ— А), а отсюда уже примо следует, что общвй вапбольшвй делитель всех мвпоров 1-го порядка матркцы К()ьŠ— А) делится па обшей папбольшвй делптель всех мвноров 1-го порядка матрицы кŠ— А, Авалогвчво совершается переход от К(кŠ— А) к К(ХŠ— А)К-'=ХŠ— В, что и требовалось доказать.
ЗАДАЧА (Сальвестр,) Докажкте, что каждая матрица удовлетворяет своему характеркствческому уравяепкю, т. е. еслв вместо )ь подставвть эту матрацу в левую часть характерясткческого уравпепкя, то получатся нулевая матрица. $44. Элементарные делители Лемма. Если квадратная матрица Р порядка и содержит спкошь заполненный нулями прямоугольник Я, у которого сумма высоты а и ширины Ь больше п, то детерминант этой матрица равен нулю о Доказательство.
Мы всегда можем, пе меняя абсолютной велвчвпы ввтересующего пас детерминанта, перемествть прямо. ь Рис. 26 Рис. 2б угольник (1 в левый верхвнй угол матркцы Р. Схематвческв тогда строевве матрацы Р взображается ркс. 25. По теореме Лапласа детермвпавт матрицы Р равен алгебрапческой сумме провзведеявй детермкваптов Ь-го порядка О, составленных вз элементов, ваходящпхся в прямоугольвкках яь и Гс, ва соответствуюшве км детермявапты, составленные вз элементов, ваходящвхся в прямоугоььвв.
О На эту лемму мпе указал С. Л. Соболев. 181 алпмпитариып дплитпли ках )У и (Уь Так как и — а(Ь, то всякий детермппапт В содержит по крайяей мере одку строчку, составлеввую сплошь пз пулей, и потому разек кулю. Следовательно, и весь 'детерминант матрацы Р разек пулю. Првмепкм только что доказакяую лемму к пахождевкю общего наибольшего делителя всех мняоров 1-го порядка матрацы где в,х Л вЂ” Лз в,з Л вЂ” Лг: Л вЂ” Л» ! в»яе 2 Л Л» з»я»-» Л Л» Здесь всюду элементы вне квадратов Мь М», ...,М», а также все пе выппсапвые явно элементы матрицы М, раваы нулю, чпслз в»», в,з, ..., вы, » все отличим от куля, некоторые вз чксел Ль ...,Л» могут быть между собой раввымп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
