1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767)
Текст из файла
И. Г. Петровский ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИЗДАНИЕ СЕДЬМОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ ПОД РЕДАКПИЕИ А. Д. МЫШКИСА, О. А. ОЛЕИНИК Допущено Министерствам высшего и среднего специальнога образования СССР в качестве учебника для студентов механико-математических специальностей университетов ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1984 УДК 017.91/4 (076.8) Петровский И. Г. Лекции по теории обыкиовеииых диффереппиальпых уравнений/Под ред. А. Д. Мышкяса, О.
А. Олейиик.— Мл Изд- МГУ, 1004.,— ййб Квига представляет собой учебиик по курсу обыкиовепиых диффереипвальиых уравиеиий. Тщательно продумаииое изложеиве дало возможность в иебольшом объеме вместить обширный материал Более детальио и строго, чем в другах руководствах. рассмотрены уравиеиия простых типов. Подробно изложеиы общие теоремы о разрешимости уравиений и систем уравиеиий.с иепрерывиыми правыми частимп.,Теория линейных уравиевий сопровождается орвгикальиым изложением канонической формы систем.
Книга ввлючает главу об автопомиых системах и добавлеиие, содержащее теорию лпиейиых и пелииейиых уравнений с частиымп производимым 1-го порядка. Большое количество задач зиачительио расширяет содержаипе книги. Ил. 41. 13ШЗШ69-Зае (99) — 94 Я //здательство Московского университета, /Рйб г. ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов Предисловие к пахому авдапаю Предисловие к первому ивдалию ЧАСТЫ ОДНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-го ПОРЯДКА'С ОЛЯМ НЕИЗВЕСТНОИ ФУНКЦИЕИ 1О 1О 12 18 18 23 27 29 32 37 38 39 42 И 66 67 бб 71 Глава Е Общие понятия Г 1, Ояредейевня, примеры 2. Геомртрическая интерпретация. Обобщение задачи Глава П. Простейшие диффе~аицпальные уравнения $3.
Уравнения вида — = 7(х) ° ° ° дк ду $4. уравнения вида — — -1(у) . дх $ б. Уравнения с разделяющимися перемеииымн $ б. Однородные уравненяя $ 7. Линейные уравнения . $ 8. Уравнения в полных дифференциалах Гмша Ш. Общая теория уравяеиий $ 9. Ломавые Эйлера $10. Теорема Ариеля $ 11.
Докааательство .существования .решения днфференцяальиого уравиеяия у' 7(х. у) методом Пеано $ 12. Теорема Осеуда о единственности $13. Дополнение о ломаных Эйлера $14. Метод последовательных приближений 1б. Принцип' сжатых отображений 16. Геометрическая, витерпретация ' прввципа сжатых ' отображений $17. Теорема 'Коши о дифференциальном уравнении у' 1(к, у) с голоморфной правой частью $18. О степени гладкости решений дифференциальных уравнений $19. Эависимость решения от начальных данных и от правой части уравнения $20.Лемма Адамара $21. Теорема о зависимости решеияя от параметров $22. Особые точки $23.
Особые липни $24. О поведении интегральных линий в целом $25. Уравнения, пе разрешенные относительно пронзводной $26. Огибающие 78 79 86 88 93 100 101 104 115 ЧАСТА П СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ Глава 1У. Общая теория систем........ 119 $27. Сведение любой шзетемы к системе уравнений 1-го порядка .
. . . . . . . . . . . 119 $28. Геометрическая интерпретация. Определения ' . 120 $ 29. Формулировка основных теорем . . . . . 124 $30. Принцип сжатых отображений для систем операторных уравнений ........ 132 $3!. Приложение принципа сжатых отображений к системе дифференциальных уравнений . . . 136 Глава У. Общая теория линейных систем . . . . . 140 $32. Определения. Следствия из общей теории систем дифференциальных уравнений . . . . . .
140 $33. Основные теоремы для однородных систем 1-го порядка . . . . . . . . . . . . 142 $34. Выражение для определителя Вронского . . 149 $ 35. Составление однородной линейной системы дифференциальных уравнений .по данной фундаментальной системе ее решений . . . . . . 150 $ 36.
Следствия для дифференциального уравнения я-го порядка . . . . . . . . . . . . 152 $37. Понижение порядка линейного однородного диффереицяального уравнения...... 155 $38. О нулях решений линейных однородных уравнений 2-го порядка . . . . . . . . . 157 $39. Система неоднородных линейных уравнений 1-го порядка 161 $40. Следствие для линейного неоднородного уравнения и-го порядка....;,.... 164 Глава УА Линейные системы с постояннымн козффициеитами 166 $41. Преобразование системы....., .
166 $42. Теорема о приведении к каноническому виду, 172 $43. Инварианты линейного преобразования... 178 $44. Элементарные делители....., 180 $45. Отыскание фундаментальной системы решений для однородной системы уравнений . . . . , 183 $46 188 191. $47 $48 ДОПОЛНЕНИЕ Глава УП1. Уравиеияя с частиымн производными 1-го порядка от одной неизвестной функции . . . . . 253 $61. Полулинейиые уравнения . . . . . . . '253 $62, Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений .
. . . . . . 262 $ 63. Квазилниейиые уравнения . . . . . . 267 $ 64. Обобщенные решения линейных и квазилииейиых уравнений $ 65. Нелинейные уравнения .$66. Уравнение Пфаффа 271 280 291 $49 $50 Глаза УП $51 $52 $53 $54 $55 $56 $57 $58 $59 . $60 Применение к однородному дифференциальному уравнеиюо а-го порядка... ° Разыскание частных решений неодяородных систем Приведение к каноническому виду уравнения бу . ах+Ьу дх ах+бр Устойчивость решений по Ляпунову Одяи фвзнческнй пример Автономные системы Общие понятия Три вида траекторий Предельное поведение траекторий Функция последонания Теорема Бенднксоиа Окрестность точки покоя на плоскости.
1 Окрестность точки покоа иа плоскости. П Теория индексов Теорема Брауэра о неподвижной -точке Приложения теоремы Брауэра. 195 197 207 212 212 216 218 222 226 228 233 242 247 250 ОТ РЕДАКТОРОВ Иван Георгиевич Петровский (1901 — 1973) был выдающимся-математиком и выдающимся человеком. В математике ему принадлежит ряд основополагающих результатов, прежде всего, в теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и в алгебраической геометрии. 'Его общественная деятельность также широко известна.
Достаточно сказать, что с 1951 г. и до конца своей жизни он был ректором Московского государст-' венного университета. Подробную биографию И. Г. Петровского и описанне,его научных достижений можно найти в «Трудах -семинара имени И. Г. Петровского> (Изд-во МГУ, 1982, т. 8, с.
3 — 20), а также в журнале «Успехи математических наук>, 1971, т. 26, )Чт 2, с. 3 — 24. И. Г. Петровский был также автором трех учебников для университетов — по теории обыкновенных дифференциальных уравнений (6 изданий в 1939 —.1970 гг.), интегральных уравнений' (3 издания в 1948 — 1968 гг.) н уравнений с частными производными (3 издания в 1950 — 1961 гг.).
Эти глубоко оригинальные книги переведены иа многие языки и полностью сохранили свое значение в настоящее время; более того, во многих университетах преподавание указанных дисциплин в значительной степени сложилось под воздействием этих книг. Однако они давно уже стали библиографической редкостью.
Поэтому их переиздание не только является данью памяти их замечательного автора, но и принесет несомненную пользу многим студентам-математикам и преподавателям. Настоящее издание книги «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений» печатается с последнего прижизненного издания 1970 г. Нами вне. сены некоторые редакционные поправки. Заново написаны $54 — 57. А.
Д. Мышкис, О. А. Олейник Часть Г ОДНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-го ПОРЯДКА С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ ГЛАВА 1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ $1. Определения, примеры Обыкновенным дифференциальным уравнением и-го по- рядка называется соотношение вида р(х у, у', у", ..., у<">) =О 'вежду независимым переменным х, его функцией у и производньоми у', у", ..., уо'>. Функция у=<р(х) называется ре<иением этого дифференциального уравнения, если после замены у на >р(х), у' на ~р'(х), ..., у<"> на <р<">(х) оно обращается в тождество. Всюду, где нет особой оговорки, мы будем считать, что рассматриваемые величины принимают только действительные (конечные) значения, а рассматриваемые функции однозначны.
Таким образом, в обыкновенных дифференциальных уравнениях неизвестная функция зависит только от одного аргумента. В противоположность этому в уравнениях с частными производными неизвестные функции зависят от нескольких независимых переменных. В дальнейшие, говоря о дифференциальных уравнениях, мы всюду, кроме Дополнения, будем иметь в виду только обыкновенные дифференциальные уравнения. К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводят многие вопросы естествознания.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
