1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 4
Текст из файла (страница 4)
4. Докажите, что все решения уравнения «=»(у) монотонны. 5. Пусть Цу) непрерывна прн о<у<Ь и ~р(х)-ьс при х-++со (а«йс<Ь) для некоторого решения у «р(х) уравнения у'=Цу). Докажите, что тогда ум=с также является решением. 8. Пусть Цу) непрерывыа и положительна прн ус(у<ос. Найдыте ыеобходвмое и достаточыое условие наличии асимптот у решений уроаввения у' )(у). Рассмотрите, в частности, случай У(у) ы —, где Р и () — миогочлеиы. (у) Е(у) ' 7.
Приведите пример уравнения у' »(у) с непрерывной правой частью, среды решений которого найдутся два, обладающих следующими свойствамн: они определены для всех х, монотонно возрастают, а нх графики ямеют единственную общую точку. У к а з а и и е. В качестве множества нулей фуикпнн Цу) воспользуйтесь так называемым совершенным нигде не плотным множеством.
8. Постройте пример двух уравнений у' 71(у)=ьо и у' »з(у)~ -ьО с непрерывиымн правымн частями, для которых через каждую точку плоскости проходит единственная внтегральиая линия, н притом таких, что для уравнения у' гпах у1(у), »з(у)» эта единственность ие гарантируется. Продумайте варианты этой задачи.
$5. Урдвнения . с разделяющимися переменными Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида Ф =) ()Р (у). (2. 3) Т ео р е«м а. Пусть при а<х<Ь, с<у<с) функции »';(х) и (х(у) непрерывны, причем»з(у) нигде не обращается в нуль.
Тогда через каждую точку (хз, ус) прямоугольника Я: а<х<Ь, с<у<с» проходит одна и только одна интегральная линия уравнения. (2.3) . Доказательство. Заметим, 'прежде всего, что интегральная линия уравнения (2.3),' как и любого урав- Я4 ПРОСТЕНШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !та, Ы 'пения вида (1.1) с непрерывной правой частью, обязательно имеет уравнение вида у=ф(х). Допустим сначала, что существует функция <р(х), которая, удовлетво'- ряет уравнению (2.3) и при х=хо обращается в уо. Тогда имеем тождество — = уд (х) у (~р(х)), бр(х) вх которое, поскольку )а(у)чьб„можно представить так: вф( ) е (х) дх Ра(Ф(Я)) Проинтегрируем обе части последнего равенства по х в пределах от хо до х.
Получим Ф1а> е .(",ан = 1~'~ "~ Ф( Ь) Уч Мр Пусть Ря(у) — какая-нибудь первообразная от 1 гз(у) и Р1(х) — какая-нибудь первообразная от 11(х); тогда равенство можем переписать так: Ря(<р (х) ) — Рз(уо) =Р~ (х) — Р~ (хо) (2 4~ В силу того, что Рз(у) есть монотонная функция 1 (так как Р;(у) = — ФО), последнее равенство можгз(р) но однозначно разрешить относительно ~р(х): <р (х) = Р-' (Ра (у') + Р (х) — Рз (хаН11. (2. 5) Таким образом, допустив существование такого решения уравнения (2.3), у которого у уо при х=хо, мы представили это решение в форме (2.5) и тем самым- установили, что такое решение единственно: все функ~ ции, входящие в правую часть этого равенства, были определены только на основании данного уравнения и начальных условий.
С другой стороны, легко проверить, что функция ф(х), определяемая равенством (2.5), действительно о Через Рз ' обозначена функаня, обратная ез.. дает (в некоторой окрестности значения. ха) решение уравнення (2.3), обращающееся в уе.прн х=хс. В самом деле, дифференцируя равенство (2.4) по х, получаем Йр(х) отсюда — ~р'(х) =у,(х).
)г(м(х) ) Значит, дифференциальное уравнение (2.3) удовлетворяется. Начальные' же условия удовлетворяются по- хому, что гр(хо) Рт [Ра(90))=Де В заключение заметим', что в случае обращения ут(р) в одной какой-нибудь точке у=у, в нуль. может нарушнться вдннственность. Это зависит от того, сходится нли расходится интеграл 1.) (2.6) Уг когда -у приближается к рь В первом случае через некоторые точки прямоугольника Я проходит бесконечное множество интегральных кривых; все онн касаются ннтегральнпй прямой у=уь на которой (т(р) =О; в случае же расходнмостн интеграла (2.6) прн у-ьу~+О проходящая через точку (хе, ра) интегральная кривая всегда единственна'>.
Прн этом предполагается, что ~~(х) не равно нулю тождественно. В противном случае через каждую точку Я всегда проходит одна н только одна интегральная линия. о Единственность может нарушиться только тогда, когда ка. кая-нибудь ннтегральнак крввая у м(я) коснется интегральной примой у=с в некоторой внутренней точке [ль у,) прямоугольника Я.
Но этого не может быть, если интеграл (2.6) расходится при у-~рь Действительно, в этом случае прн к-~хг левая часть равенства (2.4) бесконечно растет, тогда как правая остается ограниченной. ч а) гплвнпння, с паздпляющимнся пепемпннымн йв (гл. И 20 пРОете1ччпие диФФеренциАльные уРАВнения ЗАДАЧИ 1. Представьте картину поведення ннтегральных кривых уравнеинй: лр 51п х ар 51п р бх 51пу ' 1(х 5!Пх з х 5 5/ гй Р г(Р У 51пх ду 51пв 1(х х 1(х 51п Р 1(х 51п х 2. Рассмотрнм уравнение Ф г(р) бх 1р(х) где функцнн 1(у) н 1р(х) определены н непрерывны прн всех неотрицательных зиачеянях вх аргументов; ф(0)=)(0)=0. А.
Пусть в 'областн 6 (0<я<со, ОСу(~со) ф(х)Г(р)(0. Исследуйте поведенне ннтегральных кривых этого уравнения прн х-1. -~ю, а также при у. гс в зависимости от сходнмости нлн расходимостн интегралов Б. Пусть в областн О (0(х(го, Оч.р(ю) ф(х))(у)>0. Покажите, что прк этнх условиях всвкая ннтегральная линни, проходящая через какую-нибудь точку области 6, прн своем продолжении в сторону уменьшения х неограниченно приближается к началу координат (быть может, частнчно проходя по граннце О); найдите крнтерий налнчня асимптоты у решення.
Если дополнительно потребовать, чтобы ф'(0) чьО и г'(0) ~0, а 1р" (Г) и 7" (Г) были непрерывны прн 0((<е (где в)0), то каждая интегральная линия подходит к началу коордннат по определенному направлению. Если ф'(0) ~)'(0), то все онн касаются прн х 0 одной иэ коордннатных осей (какой?). Если же 1р'(0)=Г'(Щ, то интегральные линнн подходят к началу координат по всем нй. правлениям (как прямые у йх). Проведите аналогичное рассмотрение решений уравнений 4у ф(х) г(и — — а ф(х) 1(р) дх г(р) лх прн тех,же предположениях. 3.
Пусть функцнн 1р(к) н )(у) непрерывны н положнтельны прн а(х -.Ь, с(у(б, прнчем ф(х) (соответстванно Г(р)) стремнтся к нулю нлн бесконечности прн х-+л н к-ьЬ (у-:.с н у-ьб). Рассмотрнте все блучан расположения ннтегральных крнвых урав- одногоднын гвлвнвния т е! 27 нения у' е(х)1(у) в нрямоугольиияе а<х<Ь, с<у<А Опираясь не это, проведите полное иселедовеиие рвсиоломення ннтегрвльиых Р(х) ()(у) линий уравнении у' —, где Р, (г, Я и Я вЂ” миогочлены. Й(х) о(у) ' ф 6. Однородные уравнения Ви ((и) — и вх х (2.8) к которому применима предыдущая теорема, что и до казывает наше утверждение.
Из уравнения (2.8) находим х Э г(и) — и и, следовательно, 1п(х~ = Ф ( — у) + С, Однородными дифференциальными уравнениями называют уравнения вида — "= 1-") (2. 7) Если функция г(и) определена при а<и<Ь, то функция ( ~ — ) будет определена в углах„образовангу'т ных такими точками (х, у), для которых а< — У < Ь. Области, составленные этими двумя углами, мы будем обозначать,й. Теорема Если функция ((и) непрерывна при а<и<Ь и всюду на этом интервале ((и)чьи, то через каждую точку (хе, уе) из б проходит одна и только одна интегральная линия уравнения (2.7).
Доказательство. Положим у=их; тогда уравнение (2.7) перепишется так: хи'-('и = Ци) . Отсюда получаем уравнение с разделяющимися пе- ременными й 3 ПРОСТЕИПГИЕ дИФФЕРЕННИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гя. Га где Ф(и) есть некоторая первообразная от —. Ив ( у(п) — и формулы (2.9) видно, что прн наших предположениях все интегральные кривые однородного дифференциального уравненяя между собой подобны, и центром подобия служит начало координат. Действительно, при подходящем выборе постоянной С1 замена х и у соответственно на С~х и С,у переводит кривую х 1п(х(=Ф( — ) в любую кривую семейства (2.9). Исключительный случай ((и) ~и мы имели в примере 1 $2.'Есин же ((и) и в'отдельных точках иь иа, ... ...,.и„, то через некоторые точки (хе, уе) из гх может проходить много интегральных кривых. Это будет, если и интеграл 1 — ь — сходится, когда и приближается ) у(й) — $ к одному из чисел иь иь ..., и„, например к иь На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
