1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Докажите теорему о единственности решения в более общих предположениях, если (8.5) заменено,иа неравенство !!(х, уз) — )(х, у,))(ф(х)Ф(!Уз — у,!), которое должно выполняться всюду в 6, кроме конечного числа значений х (впрочем, в этом пункте возможно существенное обобщение). При этом функция Ф та же, что в теореме Осгуда, а функция ф(х))0 непрерывна всюду, кроме, быть может, указанных ь значений х, причем ~ф(х)йх( со иа любом конечном, интервале а (и, Ь). (Существенно ли последнее условие?) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ !гл. 1Н 3 13. Дополнение о ломаных Эйлера Т е о р е м а. Если существует только одно проходящее через точку (х„уо) решение 1р(х) уравнения (3.2) с непрерывной правой частью, то всякая последовательность выходящих из точки (хо, уо) ломаных Эйлера (точнее, последовательность функций, графиками которых служат эти ломаные), у которь1х длина наибольшего из звеньев стремится к нулю, равномерно приблиокается на замкнутом интервале (а,б), о котором шла речь в теореме 1 $ 11, к этому единственному решению.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы, очевидно, достаточно показать, что при любом положительном Б существует только конечное число ломаных Эйлера из рассматриваемой последовательности, не расположенных целиком между линиями у = гр (х) + е и у=1р(х) — е при а~х~у. Последнее утверждение легко доказать от противного. В самом деле, допустив противное, мы получим бесконечную последовательность проходящих через точку (х„у,) ломаных Эйлера, у которых длина наибольшего из звеньев стремится к нулю с возрастанием номера и ни одна из которых ие лежит целиком между линиями у=31(х) ч-ы Тогда, применяя к этой последовательности рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1 5 !1, мы найдем последовательность ломаных Эйлера, которая равномерно сходится к интегральной линии, проходящей через точку (хо, уо) и отличной от линии у=1р(х).
А этого быть не может в силу предполагаемой единственности интегральной кривой уравнения (3.2), проходящей через точку (хо, уо). Отметим в заключение, что многие методы численного интегрирования дифференциальных уравнений представляют собой то или иное непосредственное уточнение (улучшающее скорость аппроксимации) метода ломаных Эйлера. ЗАДАЧ и 1.
Приведите пример уравяеиия (3.2) с непрерывной правой частью и для него последовательность проходящих через точку (хе, уе) ломаных Эйлера со стремяшейся к нулю длиной яаибольшего й ы) метод послндовдтнльных пгивлиженин 37 из звеньев, причем последовательность функций, графически представленных этими ломаными, не сходится ни ири одном значении х, кроме х=хь 2. Приведите пример уравнении (3.2) с непрерывной правой частью, для которого предел любой последовательности ломаных Эйлера, начинающихся в произвольной точке, при стремлении к нулю длины наибольшего из звеньев существует, и в то же время через некоторые точки области проходит более одной интегральной линии. Возможность этого связана с тем, что, вообще говоря, не каждое решение уравнения (3.2), врохадящее через точку (х,, у,), может быть получено как предел последовательности ломаных Эйлере, начинающихся в этой точке.
3. Пусть функция 1(х, у) удовлетворяет условию Лившица как по у, так и ио х. Докажите, что тогда в обозначениях, при-. мененных ири доказательстве теоремы 1 $ !1, шах 1ф»(х)— кзкь — ф(х) (з С1», где !» — наибольшая из длин звеньев ломаной йм а постоянная С зависит только ат постоянной в условии Лившица и от Ь вЂ” и. Прн доказательстве можно воспользоваться задачей 7 $12.
й. Если ломаная Эйлера строится с постоянным шагом Н» ио х, то координаты вершин ломаной определяются формуламн х+,= =хггй», уз+~=уз+1(хь уз)й» (з=о, 1,...). В одном из раснрастра. ненных уточнений метода Эйлера ординаты определяются формулами 1 ! уг+з=уг(-1 (хг+ л» у!+ 1(хг у!)Ь») 3». Укажите геометрический смысл этого уточнения и докажите, что если функция 1 дважды неирерывио дифференцируема, то гиах 1у! — р(х!) ) < Сйг (Ь» О), ачззкь где ф(х) — решение уравнения (3.2), такое, что ф(хз) =уз $14. Метод последовательных приближений Теорема.
Пусть в области 6 на плоскости (х,у) Функция 1(х, у) непрерывна по х и удовлетворяет условию Липизица по у ! 1' (х, уг) — ) (х, у ! ) ( ~ К ~ уг — у ! ( и о Так квк функция 1 непрерывна по х и удовлетворяет условию Лившица ио у, то она непрерывна ио совокупности х и у в области О. Действительно, 1(хь Уз) — 1(хз. УП=У(хз Уз) — 1(хь Уз)!+(1(хз, Уз) — 1(хь Уд].
ОВЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ !гл, Н! в любой замкнутой ограниченной области 6', содержащейся в б (постоянная К может зависеть от выбора 6'). Тогда для любой точки (х„уо) из б можно указать такой заключающий внутри себя хо замкнутый интервал (а, Ь) на оси ()х, на котором существует единственное решение дифференциального уравнения (3.2), обрашающееся в уо нри х=х,. Заметим прежде всего, что если заранее предположить существование такого решения, то, интегрируя тождество в пределах от хо до х, получим х у(х)= у,+ ) Т(й,у($))с$.
(3.8) При этом под знаком интеграла стоит непрерывная функция от $, так как у($) была дифференцнруема, а потому и непрерывна. Соотношения вида (3.8), где неизвестная функция у($) входит под знак интеграла, называются иитеаральными уравнениями. Таким образом, всякое решение уравнения (3.2), об- РашаЮЩЕЕСЯ В УО ПРИ Х=Хз. УДОВЛЕтВОРЯЕт ИптЕГРаЛЬ- ному уравнению (3.8).
Обратнщ всякое непрерывное решение у(х) интегрального уравнения (3.8) удовлетворяет дифференциальному уравнению (3.2) и начальному условию у(хо) =уо. Последнее видно непосредственно. То обстоятельство, что всякая непрерывная'! функция, удовлетворяющая уравнению (3.8), обязательно удовлетворяет и уравнению (3.2), легко доказывается дифференцированием обеих частей уравнения (3.8) по х. По условию Липшица первая из разностей, стоящих в правой части этого равенства, по абсолютной величине не больше К!ух — у!(. Поэтому она как угодно мала, если точка (хз, у,) достаточно близка к (хь у~).
А вторая из этих разностей при этом как угодно мала в силу предполагаемой непрерывности функции )(и, у) по х в точке (хь у!). н Мы говорим здесь о непрерывных решениях интегрального уравнения (3.8) только затем, чтобы избежать трудностей, возникаюи!их при интегрировании разрывных фуниций. Ф и1 мвтод послвдовктвльных поивлижвнии 69 Что дифференцирование здесь законно, видно из следующих соображений.
Допустим, что в обе части уравнения (3.8) вместо у поставлено некоторое непрерывное решение этого уравнения. Тогда правая часть полученного тождества имеет производную по х. Следовательно, и левая его часть, т. е. функция у(х), также имеет производную по х. Поэтому, вместо того чтобы доказывать, что на некотором отрезке [а, Ь[ (а <хо <Ь) существует, одно и только одно обращающееся в уо при х=хо решение дифференциального уравнения (3.2), мы будем доказывать, что на этом отрезке существует одно н только одно,непрерывное решение интегрального уравнения (3.8). Возьмем какую-либо замкнутую ограниченную область В', содержащуюся в б и содержащую (хо, уо) как внутреннюю точку, и.пусть М есть верхняя грань значений Ц(х, у) ( в б'.
Проведем через точку (хо,уо) две прямые РС и ВЕ соответственно с угловыми коэффициентами +М и — М. Проведем, далее, две прямые, параллельные оси Оу, так, чтобы они образовали вместе с прямыми РС и ВЕ два равнобедренных треугольника, целиком лежащих в 6' (рис. 8). Пусть уравнением прямой ЕР будет х=а, а уравнением прямой СВ будет х= Ь. Несколько позже мы предположим, что числа а и Ь достаточно близки к х,. Возьмем теперь совершенно произвольно на отрезке [а, Ь[ непрерывную функцию уо(х), лишь бы только ее график не выходил из области 0'.
Подставим ~ро(х) в правую часть уравнения (3.8). После этого правая часть станет некоторой вполне определенной функцией от х. Обозначим ее ф,(х): Ясно, что функция у~(х) определена при а(х(Ь, непрерывна и обращается в у, при х=хо. Легко показать, что ее график не выходит из треугольников ЕАР и АВС при а~х~Ь. Для этого достаточно заметить, что У(Ь, то(ь))! ™ (гл.
11! во ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ и потому ! р1(х) — уо(~М~х — хо(. Положим далее фз(х)= но+ ~~й ф й))4. зе В силу указанных выше свойств функции ф1(х) интеграл в правой части равенства существует. Функция фг(х) также определена иа (а, 6) и обладает всеми теми свойствами, которые мы отметили у ф,(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
