1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Поэтому можно построить функции х фа(х) = ро + ~ 1(Ь фг($)) $ з фа (х) уо + ) 1(ь фа (ь)) 4 (3.9) ф.(х) = ро+ ~~(Е ф.— ($)) де. Этот процесс построения функций ф (х), которые мы будем называть последовательными приближениями решения '1, можно продолжать без конца. Таким образом, мы получим бесконечную последовательность функций фо(х), ф1(х), фг(х), ..., 1р„(х), ...
(3.10) Установим теперь, что на отрезке (а, Ь) эта последовательность сходится равномерно к непрерывному решению уравнения (3.8). Действительно, ф (х) можно представить так: ф (х) =ф! (х) +(фг(х) — 1р! (х))+(фз (х) — 1рг(х))+ ... ... +!ф„(х) — ф„1(х)). '> Метод последовательиых приближеиий был предложеи Пикаром. Этот метод оказалса примеиимым к репгеиию самых разиообразиых математических задач.
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ Вв % 1«] Поэтому для доказательства равномерной сходимости последовательности ( 3.9) достаточно показать равномерную сходимость бесконечного ряда «р«+ («рк — «р« ) + («рз — «рк) + .. + («Р — Ф -1) + .. (3.11) Для этого оценим разность «р„+1(х) — «р (х), Используя условие Липшица, можно написать ) «Р„+1 (х) — «Р„(х) ( = ( Я~ (Ц, «Р„(Р)) — 1 (Ц, «Р„, ($))1 Щ !,к' к, < К) ~ ~ р. (~) — р.-( (р ( а) < к, < К «пах ) «р„(~) — «р„«($) ((Ь вЂ” а). (3.12) <в~А Поэтому, если постоянное с таково, что («р«(х)) ~с и )«рз(х) 1 ~с, и если положить К(Ь вЂ” а) =т, то по абсо- лютной величине члены ряда (3.11) не будут превосхо- дить соответствующих членов ряда с+ 2с+ 2ст+ 2сте+ 2ст'+ который сходится, если т<1. Будем считать интервал (а, Ь) настолько малым, что К(Ь вЂ” а) =т<1.
Тогда ряд (3.11) сходится равномерно, и его сумма «р(х) есть непрерывная на отрезке (а, Ь) функция. Ее график не выходит из треугольников ЕАВ и АВС. Следовательно, инк теграл ) )($, «р(в)) «$ имеет смысл. Так как к ) ) У(5 р($)) — рК, р.- ($))) В) < кк <К ) ~ ~ф(в) — т.-.й) ) 4$) то в равенствах (3.9) можно переходить к пределу при а- оо не только слева, но и справа, а потому функция «р(х) удовлетворяет уравнению (3.8).
1гл. н! ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ ва Чтобы доказать, что интегральное уравнение (3.8) имеет единственное непрерывное на замкнутом интервале [а, Ь] решение, предположим, что кроме построенного выше решения 1р(х) имеется отличное от него решение лр(х).
Легко доказать, что его график также не выходит из треугольников ЕЛО и ЛВС при а~хч'.Ь. Тогда л т(х) = рь+] 1($,т(й)М$ ла ф(х) = у + ) ~($, ф($)) ~ф. ла Отсюда ] ф (х) — 1р (х) ] = ~ ] [~ (й, ф (~)) — ! Я, 1р (ф))] ь($ ~ <, а К(Ь вЂ” а) 1пах (ф(х) — ьр(х) ]. акать Позтому шах ] ф (х) — 1р (х) ! ~~ К (Ь вЂ” а) п1ах ) ф (х) — 1р (х) ].
аааК6 а~а~6 Так как К(Ь вЂ” а) (1, то зто может быть лишь при условии, что гпах]1~(х) — 1р(х) ] =О, т. е. что 1р(х) совпадает.с Ч1(х), вопреки нашему предположению. 3 а м е ч а н и е 1. Как бы мы ни выбрали исходную при построении последовательности (3.10) функцию ~рь(х), лишь бы только она была непрерывна и ее график проходил цо 6', последовательность. (3.10) всегда будет сходиться на отрезке. [а, Ь] к одной и той же функции. Действительно, по доказанному прежде эта последовательность будет при любой такой функции 1рь(х) сходиться к непрерывному и ограниченному решению уравнения (3.8), а такое решение, как мы только что доказали, единственно. 3 а м е ч а н ие 2.
Замечание 1 к теореме 1 3 11 остается в силе и теперь. Построенное решение можно продолжать, как это описано в ф 11. 3 а меча ни е 3.' Производя несколько точнее оценку ~р„+1(х) — ~р„(х), можно показать, что ряд (3.1!) сходится не только на отрезке [а, Ь]. Именно, допустим, что $141 метод последовлтельных пРиБлижении ез последовательные приближения р,(х), ар1(х), ... существуют на некотором отрезке 1с, 4 (так будет, в частности, если область 6 содержит полосу с<х<д, — со<у<ос).
Кроме того, допустим, что функция 1(х, у) удовлетворяет в пересечении области 0 с полосой с<х <0 ( — со<у<со) условию Липшица по у с единой константой К Тогда и последовательные приближения равномерно сходятся на отрезке (с,4 х решению задачи. При этом условие ограниченности функции ), а также указанное выше ограничение на длину интеовала, на котором строится решение, оказываются несуществен. ными. В самом деле, пусть на отрезке (с,4 максимум функции 1ф1(х) — фа(х) ~ равен 1т'.
Тогда аналогично неравенствам (3.12) получаем х фа(х) — ар,(х) ~= ~ ~11(р,ф,(р)) —.1Ц, ар,Ц))1бр~< ха х х <КЦ~ф,(~) — ф,(~И В~ <К) ~Ид ~= ~',"'~ й1К; ха х, 1фа(х) 'Ра(х) ~< К~ ) 1фа(Е) фа($)1а$ ~ (х — х,)а .< — ФКа. 2 Вообще, для любого и ~ф„+,(х) — ар„(х)$< 1х х' ФК' (с<х<д). (3.13) Ряд же Р1К+ '~ йгКа+ + ' ИК" + 1 2 и! сходится при всех значениях 1х — хь~. Поэтому и ряд (3.11) равномерно сходится. Пользуясь соотношением ф(х) =ф (х)+(ф +~(х) — ф (х)1+ +(ф +а(х) — ф +~(хЦ+.„ 84 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ (гл. П1 и применяя оценки (3.13), получим (гр(х) — гр (х)) ~~ЯК'")х — х,)"~ — + К )» ') + т1 (т+1)1 + )» — х»л л)з з+ (т+2)1 Зто дает возможность оценить отклонение пг-го приближения от точного, еще неизвестного решения. 3 а м е ч а н и е 4.
Иногда дифференциальное уравнение оказывается заданным в области с полностью нли частично присоединенной границей. Тогда, если точка (хо,уз) внутренняя, то рассмотрение не меняется. Если же точка (х,, уе) граничная, то существбвание решения гарантируется далеко не всегда (хотя, например, если область имеет вид полосы ха<х<Ь, то решение обязас тельно существует).
Однако доказательство того, что не может существовать двух различных решений при одинаковых начальных данных, полностью остается в силе. ЗАДАЧН 1. Пусть 1(х, у) Ь раз непрерывно дифференцируема в О. Докажите, что тогда Чгльг(х), гр,тл(х),... обладают (2+1)-й непрерывной производной и последовательность пронзваднык от Чггг(х) да (Ь+1)-го порядка включительна равномерно сходится к соответствующей производной от гр(х) на всяком конечном интервале, где существуют все ф„(х) (и все графики у=гр„(х) проходят па б'). 2. Пусть ) грг (х) — гр,(х) ) <с) х — ха) л (а<х<Ь; а<х,<Ь; с)0; г()0).
.Покажите, что при этом условии для решения у=чг(х) выполнено неравенство если талька график любой функции чг(х), удовлетворяющей этому неравенству, проходит по б'. Эта оценка дает вазможность переходить от (п+1)-го приближения к точному решению, если это (а+1)-е приближение мало отличается от л-го. 3. Докажите, что для уравнения у'=х'+уз при начальном условии у(0) =0 иа отрезке 0<»~(1 справедлива оценка ~ у — ( — хз+ — хг ) ~ <0,0015»з. ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИИ пй У к а з а и и е. Примените результат предыдущей задачи, рас- сматривая заданное дифференциальное уравяенне в замкнутой об- ласти 04.:ха,1, (у(~Н прн соответственна подобранном У>0 и 1 взяв фв(х)= — хз.
3 4. Переход к уравнению (3.8) дает одну из возможностей вве- сти понятие обобщенного решения уравнения (3.2) в случае, когда функция 1(х, у) разрывна. Допустим, что функция ( в б' непрев рывка по совокупности х, у всюду, за исключением, быть может, конечного числа особых значений х; кроме того, оиа ограничена и удовлетворяет для иеособых значений х неравенству (Цх, уз) — ((х, у~)(~(ф(х))у,— у~~, Ь где функция ф(х) для этих х непрерывна н ) ф(х)е(х( со((а, Ь)— в любой конечный интервал). Тогда обобщенным решением уравне- ния (3.2) при начальном у«лопни у(хв) уе, по определению, назы- вается непрерывное решение уравнения (3.8).
Докажите существо- вание и единственность етого решения. Замечание. Множество особых значений х может быть и бескоиечныы, ио тогда требуются некоторые дополнительные пре- досторожности (зто «обобщенное решение по Каратеодориъ; см., например, кнл Дж. С а нс о не. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Мй ИЛ, 1954, т. 2). 5. Как ведут себя последовательные приближения для урав- нения у' уз прн начальном условии у(0)-1 на отрезке О~х~2, если принять фв(х)ея.1? То же, если уравнение заменить на у'=у? у'= — ув? й!5. Принцип сжатых отображений Изложенный в предыдущем параграфе-метод последовательных приближений находит применение не только при доказательстве существования решений дифференциальных уравнений, но и во многих других вопросах анализа. Поэтому интересно выяснить возможно более широкие условия его применимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
