1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При этом фг(а)=~р,(а)=Ь; ~р,(а)=йгэ(а)=1(а, Ь); в каждой точке х правая н левая производные чч(х) не меньше 1(х, ф~(х)), а правая и левая производные фг(х) не больше 1(х, Чгз(х)). Сами линии у Чч(х) и у=фа(х) могут частично или целиком принадлежать Е. й 10. Теорема Арцеля Пусть на гмонечном интервале (а, Ь) з1 дано семейство (1(х)), состоящее из бесконечного множества функций )(х), равномерно ограниченньчх и равностепенно непрерывньгх. Тогда из этого семейства можно выбрать равномерно сходящуюся на (а, Ь) бесконечную последовательность функций и Бпг нпе Ьцнапоп б111Ьгеп11е!1е бн ргеппег огбге.
— 'Ма(Ь, 2е11- зсйг111, В. 23 (1925), 197 — 209. з> Безразлично, замкнут этот интервал или открыт, т. е. присоединены к нему его концы или нет. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [ге. Ш Равномерная ограниченность здесь означает, что существует такая постоянная М, что )Цх) ) <.'М, где ~(х) — любая функция семейства и х — любое число из интервала (а, Ь). Выражение «функции семейства равностепенно непрерывны» означает следующее: како-' во бы ни было наперед заданное число е>0, найдется такое число ц>0, зависящее только. От е, что Ц(х") — 7(х') ! <е для всякой функции ~(х) рассматриваемого семейства при любьчх х" и х' из интервала (а, Ь), если только, (х" — х') <ч.
Доказательство' >. В силу равномерной ограниченности семейства все графики принадлежащих ему функций будут расположены в прямоугольнике АВСА) (рис. 7) со сторонами 2М и Ь вЂ” а. Составим бесконечную последовательность чисел М М М Е = —, ЕЕ= —,... ЕА= —,..., е+~ ' Ее+В' ' ' ' ее+А где а — какое-нибудь целое положительное число или у е е СтВОВатЬ Це = Т) (ЕЕ) . нуль. По определению равном степенной непрерывности каждому числу еь будет соответ- Разобьем вертикальную сторону прямоугольника АВСВ на отрав длиной еь горизонтальную же сторону Рис.
7 этого прямоугольника разобь- ем на отрезки, длина каждого из которых не превышает ць Через полученные точки проведем прямые, параллельные координатным осям, Таким образом, весь прямоугольник АВСВ разобьется на меньшие прямоугольники. Вертикальные о Это доказательство иве сообщил Л. А. Лветервкк. $101 теоевмА Аецеля полосы, составленные из таких прямоугольников, будем обозначать римскими цифрами: 1, Н, ...
Так как ~Дх") — )(Х') ~<е~ при ~х" — х'1 <йь то график каждой функции семейства (1(х)) может проходить не больше чем по двум соседним прямоугольникам каждой полосы, в частности полосы 1. Но таких пар прямоугольников из полосы 1 имеется только конечное число; следовательно, по крайней мере по одной такой паре проходит бесконечное множество графиков функций рассматриваемого семейства.
Эта пара прямоугольников на рис. 7 (где положено а=1) заштрихована. Будем теперь рассматривать те функции семейства, графики которых в, полосе 1 проходят только по заштрихованным прямоугольникам. Таких функций, как мы уже говорили, бесконечное множество. В полосе Н, как легко видеть, все их графики могут проходить лишь по четырем прямоугольникам этой полосы, график же каждой такой функции может проходить только по двум соседним из них. Следовательно, существуют два таких соседних прямоугольника на полосе П, по которым проходит бесконсчное множество графиков функций данного семейства, и притом таких, которые и на полосе 1 проходят только по заштрихованным прямоугольникам. Эти прямоугольники полосы И у нас также заштрихованы.
Рассуждая и дальше таким же образом, мы найдем целую полосу, расположенную над всем интервалом (а, Ь), шириной 2еь по которой проходит бесконечное множество графиков семейства ()(х)]. Эта полоска з, у нас заштрихована. Возьмем из этих графиков один какой-нибудь; пусть это будет график функции )~ (х). Семейство оставшихся функций, графики которых проходят по зз, обозначим через Д~(х)). С семейством функций ((~(х)) проделаем то же, что мы проделали с семейством ()(х)), с той только разин= цей, что теперь вместо е~ возьмем зз и вместо ~1, возьмем ць Тогда получим полоску зз шириной 2еь по которой проходят графики бесконечного множества функций из семейства ((,(х)).
Одну из этих функций обозначим через )з (х), а семейство всех остальных таких функций обозначим через (1з(х)). Продолжая эти рассуждения, мы получим, таким образом, бесконечную 42 ОБщАя теОРия уРАВнениЙ !Гл. И! последовательность функций ),(х), )з(х),... Графики всех этих функций, начиная с (» (х), лежат М в полоске з» шириной»+, . Следовательно, эта по- 2»+а- ! следовательность равномерно сходится, что и требовалось доказать. ЗАДАЧИ 1. Покажите иа примерах, что как условие равномерной ограниченности, так и условие равностепеиной непрерывности являются существеннымн в формуляровке теоремы Арцеля: если отказаться хотя бы от одного из них, то утверждение может быть неаерным.
2. Сформулируйте и докажите теорему Арцелн дли функций нескольких независимых переменных. 3. Остаиетси ли верной теорема Арцеля, если в ее формулировке допустить, что рассматриваемые функции заданы на бесконечном интервале? 4. Покажите, что в формулировке теоремы Арцеля вместо равномерной ограниченности функций на всем рассматриваемом интервале достаточно потребовать ограниченность всего семейства функций в одной только точке. $11.
Доказательство существования решения дифференциального уравнения у'=1(х, у)' методом Пеано Пусть дано дифференциальное уравнение р'=((х, р). (3.2) Те о р ем а !. Если функция 1(х, у) ограничена и непрерагвна в области б, то через каждую точку (хо,уо) этой области проходит по крайней мере одна интегральная линия уравнения (3.2). Доказательство. Пусть )у(х,у) )~М.
Через точку (хо, уо) 'области О проведем прямые с угловыми коэффициентами М и — М. Проведем далее две прямые х=а и х=Ь (а(хо Ь), параллельные оси Оу, так, чтобы образуемые ими два равнобедренных треугольника с общей вершиной в точке (хо, уо) лежали внутри области 6 (рис. 8). 5 !!! существовАние Решения уРАВнеиия у'=!Гм У1 43 Построим теперь указанным в $ 9 способом бесконечную последовательность ломаных Эйлера Е1, Еа, ... ..., Еы ..., проходящих через точку (ха,уе),, таким образом, чтобы наибольшее из звеньев линии Е» стремилось к нулю, когда й- е:>. Каждая д( )с нз этих ломаных будет пересекаться прямой, параллель- в ной оси Оу, только в одной точке н будет поэтому графиком некоторой непрерывной да функции от х. Пусть ЕА является графином функции Рис.
8 !ра(х). Функции !р!(х), !рз(к), ..., !ра(х), ... (3.3) обладают следующими свойствами: 1) Они определены на одном н том же конечном замкнутом интервале (а, Ь)!!. В самом деле, функция !рь(х) могла бы не быть определенной на всем этом интервале только в том случае, если бы соответствующая ей ломаная Эйлера вышла нз области 6 где-нибудь над замкнутым интервалом (а, (11 Но этого не может быть потому, что ломаные Эйлера не могут выйти из треугольников АВС н АРЕ через стороны ВЕ или РС, так как угловые коэффициенты их звеньев по абсолютному значению не больше М. 2) Онн равномерно ограничены, так как все их графики располагаются в треугольниках АВС н АРЕ. 3) Оценивая разность л' Рь(Х) РЬ(Х) = 11Р (Ь)Г(Ь л' по абсолютной величине, имеем (!р,(х") — рь(х') ( аМ(х" — х'!. Отсюда следует, что семейство (3.3) равностепенно непрерывно.
Поэтому на основании теоремы Арцеля из '1 Мы обозначаем замкнутый янтернал кзадратнымн скобками, сохраняя круглые скобки для абозначсння открытых ннтеряалоа. мл. и! ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ семейства функций (3.3) можно выбрать равномерно сходящуюся на всем замкнутом интервале (а, Ь) подпоследовательность. Пусть это будут функции ~рн) (х) ср(з) (х), ..., фь) (х), ... (3. 4) ) — Р(х', <Р (х')) ~ ~(вч ! """- '"'- ' х — х так как при й -~ оо <р<ь>(х') — ~р (х') и риа(х") — нр (х") . В силу непрерывности р(х,д) в области 6 любому в>0 будет соответствовать такое п>0, что всегда р(х', у ) — Б<1(х, у) <р(х', у')+е (д'=~>(х )) ц, как только 1х — х'! <2г), (у — у'! <4Мз).
Совокупность точек (х, у) области 6, удовлетворяющих последним неравенствам, образует (при достаточно малом т~) прямоугольник Я (рис. 9). Выберем теперь К и Конечно, здесь у' — не нронзводнвя, а Значение у. Предельную функцию обозначим через ~р(х). Ясно, что начальное условие ~р(хе) =уе удовлетво- ряется. Докажем теперь, что функция щ(х) удовлетворяет данному дифференциальному уравнению (3.2) внутри интервала (хе, Ь) (аналогичные рассуждения примени- мы к интервалу (а, хз)). Для этого возьмем внутри ин- тервала (хе, Ь) произвольную точку х' и покажем, что при любом положительном е 1"' "-' — р (х', ср (х')) ~ < Б, х" — х' если только ~хп — х'( достаточно мало.
Для того же, чтобы доказать (3.4), достаточно показать, что если 1х" — х'( достаточно мало, то при достаточно боль- ших й $ и! СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ У'=>гх У) 45 настолько большим, чтобы для всех л>К на интервале (а, Ь) было (>р(х) — >р>ь>(х) ( <Мг! и чтобы все звенья линии Еь были короче и, Из последнего неравенства следует, что все ломаные Эйлера у=!р>з>(х) при >с'= К и (х — х'( <2п будут целиком содержаться в ф ! С другой стороны, (хЬУ) (х,"У) >р>з> (х") — >р>з> (х') = 9 ! х" ! Йр! >(х) Рис. 9 ох >ар! >(х) Согласно предыдущему „всюду, где она существует, заключена между )(х', у') —,е и )(х', у')+е, если (х» — х') <т) '>, Отсюда, считая для определенности, что х" >х', получим 1) (х', у') — е)(х" — х') <чр>з> (х") — !р>А> (х') < <(((х', у') + е|(х" — х'), что и требовалось доказать.
3 а м е ч а н'н е 1. Предыдущие рассуждения, будучи проведены для интервала (хз, Ь) и х'=хз, показывают, что «правая» производная от >р(х) при х=хз, т. е. >р(х") — <р(хз) ".чх,+о х" — хз равна ) (хз >р(хз) ) Точно так же предыдущие рассуждения, будучи проведены для интервала (хз, Ь) и х'=Ь, показывают, что '> Мы взяли прямоугольник >е, для которого (х — х'1 меньше 2т>, а не просто ч, затем, чтобы иметь возможность оценить угловой коэффициент крайнего левого звена ломаной Эйлера, проходящей между прямыми х=х' — Ч и х=х'+Ч, если ее начальная точка лежит левее точки (х', у'). Начало этого звена может не находиться в этой полоске, но прн достаточной малости этого звена оно обязательно находится в полосе между прямымн х=х' — 2ч и х=х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
