1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(Хаар.) Пусть пирамида сг с основанием М в пространст. ве кь ..., х (л)2) определена неравенствами 0(к,(а, шах([х!(, ..., [х !()Ч,а — к„(а)0). Пусть на б задака дифференцируемая функция и(к), удовлетворяюШая неравенству к — 1 — ) <~) ~ — ~+)и[-1-Ь (йз. О). г=! Докажите, что тогда всюду в 6 к к пбп (пг[пи, 0)е "— 6(е "— 1) < л(к) < м к к < !пах (шах и, О) е " + б (е " — 1) . ук аз а н не. рассмотрите точку максимума функции -! !+„Л)к к о(х; Л) =е "(и (к) — 6(е "— 1)) (Л)0). Докажите пользуясь этим утверждением н леммой Адамара, в соответствуюших предположениях, теоремы о единственности решения уравнения (6.41) и о непрерывной зависимости этого решения от начальных условий и йт вида самого уравнения.
Прн этом для простоты можно сначала предположить, что начальные условия задаются при х„=о. згхвньпие пФАФФА зз! 9 66. Уравнение Пфаффа Уравнением Пфаффа в пространстве (х,у,г) называется уравнение вида Рйх+ Яду+ Мг= О, (8.68) где Р, Я и Я вЂ” 'функции от х, у, г.. Существуют две трактовки этого уравнения.
В первой х, у н г считаются функциями одного какого-либо параметра г. Задавая две из величин х, у, г как функции этого параметра, мы придем к обыкновенному дифференциальному уравнению для определения третьей величины. Можно произвольно задать некоторое соотношение-между х, у и г Ф(х,у г)=0. (8,69) Рассматривая здесь х, у и г как функции некоторого параметра г' и дифференцируя (8.69) по г, получим — пх + — пу + — ог = О.
(8.70) дх ду дг При весьма общих предположениях относительно функций Ф, Р„9, Я два уравнения (8.68) и (8.70) можно разрешнть относительно отношений двух из дифференциалов йх, оу, дг к третьему, например относительно ду — и —. Тогда получим систему двух обыкновенных дх Нх дифференциальных уравнений для -определения г и у как функций от х. Условие (8.69) оставит, вообще говоря, одну произвольную постоянную в общем решении. В другой трактовке уравнения Пфаффа одна из величин,' например г, рассматривается как функция двух других. Будем предполагать, что в рассматриваемой области Я~О.
Тогда из уравнения (8.68) получаем Ы=Рп)х+ Я4у, (8.71) где ЕВВ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Отсюда [гх. Утн Р (х,у,е), дх (8.71') — = (гг (х, у, Е). ду Будем считать, что е имеет непрерывные частные производные второго порядка по х и у, а Р, и !е1 — первые непрерывные производные по своим аргументам. Тогда дР дРД дг д91 дО~ дг ду дг ду дх дх дх т.
е. — + — (), =- — + — Р„(8.72) дР, дРг юг юг дд дг дх дг так как должно быть дх ду ду дх При дифференцировании Р, и 1е1 по х и у мы учли их зависимость и от з, которое, по предположению, есть функция от х и у. Условие (8.72) можно записать так: +Я( — — — ) =О. (8.73) ду дх Допустим, что условие (8.73), или, что все равно, условие (8.72) выполняется тождественно в рассматриваемой области 6 пространства (х, у, г) и что функции Р, и Я~ имеют непрерывные производные по всем их аргументам до 2-го порядка включительно. Тогда через каждую точку 6 проходит одна и только одна интегральная поверхность системы (8.71'), (8.71") или, что все равно, уравнения (8.68).
Доказательство. Докажем прежде всего единственность решения системы (8.7!), проходящего через заданную точку А(хг,ум хе). Для этого заметим сле- УРАВНЕНИЕ ПФАФФА дующее. Уравнение (8.71'), в котором у постоянно равно уо, определяет единственную интегральную линию Ь, проходящую через точку А(хО, уО, ЕО) в плоскости у уО. Уравнение же (8.71"), в котором х сохраняет некоторое постоянное значение »О, определяет единственную интегральную кривую !(»О), проходящую в плоскости х=хО через лежащую в этой плоскости точку кривой Ь.
Совокупность линий 1(х), построенных для всех точек линии Ь, единственным образом определяет интегральную поверхность 5 системы (8,71), проходящую через точку (»Ою РО, зО) Докажем теперь, что построенная только что поверхность действительно есть интегральная поверхность системы (8.7!'), (8.71"). Прежде всего, непрерывность поверхности вытекает из непрерывной зависимости решения уравнения (8.71") от параметра х и начального условия. Из самого построения этой поверхности очевидно, что для всех ее точек удовлетворяется уравнение (8.71").'Остается доказать, что для всех ее точек удовлетворяется и уравнение (8.71'). Что построенная нами функция зг е(х, у) действительно всюду имеет непрерывную производную по х, следует из диффереицируемости решения по параметру и начальным данным.
дг Остается доказать, что — удовлетворяет уравнению д» (8.71'). Для этого заметим, что, согласно самому построению поверхности 5, это уравнение удовлетворяется при у=уО. Чтобы доказать, что оно удовлетворяется и при других значениях у, положим ( р,) дг дх дУ и найдем — (тот факт, что у функции з существует ду д*г производная †, следует из того, что эта функция дхду ' удовлетворяет уравнению (8.71"), правая часть которого имеет непрерывные производные по х, у и з): дг" д 7 дг ! дРО дР, дг ду ду (, дх ) ду дг ду УРЛВНЕНЙЯ С ЧАС»НЫМИ ПРОЙЗЕОДИЫМИ (гл. УП! д!7! д!)! дг 'дР,' дР, дг — — + — — — — — — —— дк дг дк ду дг ду = — + — Рх + — Р— — — — Щт, (8.74) д!7! д!7! д!7! дР! дР! дк дл дг ду дг Мы преобразовали — ~ — ~, пользуясь тем,, что д I дг ду »дат' При дифференцировании Я! по д мы учли, что и е зависит от у. Пользуясь тождеством (8.72), мы можем дР д!7! равенство (8.74) переписать в виде — = — Р.
Отсю д ду дг Р (», д) Р (х, у ) ехр Ну. дг Следовательно, Р(х,у) равно нулю при всех рассматриваемых у, поскольку оно равно нулю при у=уа, что и требовалось доказать. Геометрически решение уравнения Пфаффа в первой его трактовке означает построение кривых, ортогональиых заданному полю направлений в пространстве (в каждой точке (х,у,е), направление задается вектором с проекциями Р, Я, Я). При второй трактовке строятся поверхности, ортогональные тому же полю (или, что то же, имеющие в каждой точке пространства заданную касательную плоскость).
ЗАДАЧИ л 1. Рассмотрите уравнение Пфаффа ~- аа(х)длв =О в и-мера-! ном пространстве прн соответствуюпгих предположениях о коэффициентах. Сколько трактовок допускает такое уравнение? Рааберите наиболее подробно ту трактовку, в которой «интегральными многообразиями» считаются (а — 1)-мерные поверхности; при этом УРАВНЕНИЕ НФАФФА % 66! уравнение целесообразно переписать в форме системы (и х )г ди — = Ь»(хг, ..., к„„и), » =1, ..., и — 1. дх» 2. Уравнения и системы уравнений Пфаффа рассматривают также в виде уравнений с многомерным-временем йх! = ~~~~ аП ((г, ...,(т, хт, ..., хн) ЖП г-=1> .
г г!. ! Напишите аналогичные (8.73) условия совместности такой систем»Ь обеспечивающие существоваяие н едняственяость решения при начальных условияххг(г!..... гю) =хг, !=,1, ..., и. Укажите, в ча'стности, вид этих условий и общего решения для линейяой автономяой системы йх = ~ А)хйгП где х — вектор, а А! — постояи1=1 иые квадратные матрицы. Рассмотрите линейные автономные системы при и=3, т 2 и укажите все 4 грубых (сохраняющих основные свойства прн малом изменении коэффициентов) типа особых точек в начале координат. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
