1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 43
Текст из файла (страница 43)
281 курсивом, и что, кроме того, на 5 выбраны рн., р„так, что всюду на 5 выполняются условйя (8.47) — (8.49). Как в $61 — 63, мы будем проводить доказательство для случая двух независимых переменных. Тогда уравнение имеет вид Р(х, у,г, р, о)= О, Р= — ', у= — '; (8.50) дк ду система уравнений характеристик (в пятимерном про.
странстве) (», у, г, р,'о) имеет вид дк Р ду (8.51) дГ дà — = — Х вЂ” рг, — '= — У вЂ” 42, (8.52) др дд дГ ' дГ = РР + Ч() дк Ф (8.53) где . ду др ду Х=' —, У= —, 2= —, дк ду ' дг др ду Р= — Я=— др ' ду . Начальные условия определяются соотношениями х= ='х(о), у=у(о), г=х(о), р=р(о), о=о(о), причем первые три функции дважды непрерывно дифференцируе- Г дк Зк Г ду тк мы и ~ — ~ +~ —.~ > О, а последние две функции непре. ~Ф~ ~Ф~ вв4 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !гл. УП! рывно дифференцируемы и удовлетворяют соотношениям (8.50), Р— + !1 — =— дх ду дх' дл дл ~.дл (8.54) (8.55) чь О.
дд да да Чтобы доказать существование решения при этих предположениях, достаточно проверить, что построенные согласно системе (8.51) — (8.53) по начальным данным решения х(1, О), у(1, О), г(1, О), р(1, О), д(1, О) (8.56) (8.57) (мы считаем 1=0 на 5) обладают следующими свойствами: 1. Система уравнений х=х(1, О), у=у(1, о) может быть однозначно разрешена относительно 1, О в некоторой окрестности линии 5, причем решения имеют непрерывные производные по х, у. Тогда в этой окрестности линии 5 величины 1, о могут быть приняты за криволинейные координаты. Так как мы предполагаем, что функции х(а), ..., д(О), заданные на линии 5, имеют непрерывные производные по и, и так как правые части уравнений (8.51) — (8.53) имеют непрерывные производные по всем их аргументам, то построенные нами решения (8.56) имеют непрерывные производные по 1, о.
Поэтому, если в полученное нами выражение для г через 1, О подставить вместо 1, О их выражения через х, у, мы получим г как функцию от х, у, имеющую непрерывные первые производные по х, у. 2. Функции (8.56) всюду в рассматриваемой окрестности 5 удовлетворяют уравнению (8.50). 3. дх дх Р=— !1: дх ду Чтобы доказать первое из этих утверждений, нам достаточно доказать, что при всех достаточно малых 5 бн НЕЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ еве значениях 11~ детерминант дх ду (8.58) 'дх ду отличен от нуля. Так как элементы детерминанта непрерывны по 1, о, то нам достаточно доказать, что этот детерминант отличен от нуля на,самой линии 3, а это последнее следует из (8.55) и (8.51).
Утверждение второе, очевидно, справедливо на самой линии 5; начальные значения р, д мы выбираем так, чтобы они удовлетворяли уравнению (8.50). Чтобы доказать, что не только на линии 3, т. е. при 1=0, но и при всех достаточно малых 11~ выполняется это соотношение, покажем, что если в левую часть уравнения (8.50) подставить вместо х, у, е, Р, д решение (8.56) системы (8.51) — (8.53), то результат подставки ие будет зависеть от 1.
Действительно, — = Х вЂ” +)г — +Р— +Я вЂ” +Я вЂ”. оу дх ду др ду дг И и И дт а и' дх ог Подставляя вместо —, ..., — правые части уравие«и дг ний (8.51) — (8.53), получим нуль. Вместо того чтобы доказывать третье утверждение, т. е. (8.57), покажем сначала, что во всей рассматриваемой нами окрестности линии 5 дг дх ду дг дх ду р д — =О, — — р — — д — =О.
до до до д~ д5 дг '(8.59) Справедливость второго равенства следует из того, что дх ду — =Р дг ' дг в силу уравнений (8.51) н потому соответствующее уравнение (8.59) совпадает с уравнением (8.53). О первом уравнении (8,59) нам известно пока только, что оио Зав ООХВНВНИЯ С ЧаотНЫМИ ПЭОИЗВОДНЫМН 1.х. иШ дУ ' дгг, др дх, дд ду дгх дгу — Р й дой й ди. М ди доМ дой (8.60) Продифференцируем теперь по о справедливое, как мы только что показали, при всех рассматриваемых значе- ниях Г, о тождество дг дх ду — — р — — д — = — 0. д1 й й Получим дог др дх дд ду дгх дгу р у "— 0 дгдо Мдо (8.61 й до ди дг до дг Вычитая почленно (8.61) из (8.60), находим дУ др дх дд ду др дх ду ду + й .ди М до М дг до д! ди Если воспользоваться равенствами (8.51) и (8.52), то полученное только что соотношение можно переписать справедливо при 1=0: начальные значения для р, д на линии 5 мы выбрали так, чтобы соотношение (8.54) удовлетворялось.
Чтобы доказать, что зто уравнение удовлетворяется дг дх ду и при других 1, положим Ую — — р — —,д — и до до ди дУ найдем йх Дифференцирование У по 1 возможно. Это следует из того, что построенные нами решения системы (8.51)— (8.53) имеют непрерывные произйодные по г, о, как мы уже отмечали. Если подставить зти решения в уравнения (8.51) — (8.53), то правые части полученных тождеств будут иметь непрерывные производные по 1, о. Значит, и левые части также имеют непрерывные производные по зтим аргументам, т. е. существуют непрерывдгх дгу дог ные производные —, —, .
Итак, йдо Мдо ' дгди 4 бм НЕЛЙНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ так: '~ = — "' Р+ — "' а + — "" Х+ гр) + — '" (, + гд). ог до ди до до (8.62) Дифференцируя доказанное прежде тождество Г(х, у, е, Р, д) = — О по и, находим Х вЂ” + г — + Р— +Я вЂ” +Š— =О. дх ду др дд дг до до ди до ди Вычитая зто соотношение из (8.62), получим Ж/ / дг дх ду ~ — = — Я~ — — р — — д — ) = — гк дг. ' до до до Следовательно, У (г) = У (О) ехр ~ — ') 2 гО~, о Так как У(О) О, то при всех других 1 величина и(~) =О.
Итак, мы доказали, что во всей рассматриваемой окрестности линии 5 ' дг . дх ду дг дх ду =Р— +Ч вЂ” Р— +Ч— до ди до д1 дг М Докажем теперь справедливость равенства (8.57), Для етого заметим, что дг дг до дг М дг дг до дг до + ю + дх до дх М дх ду до ду дг ду дг дг Подставляя сюда значения —, — из предыдущих до' М тождеств, получим =Р +Ч вЂ” =Р ду дх дх таь как = 1, — = О. Аналогично находим —, дх ду дх дх дх д г! П р и м е р. Найти решение уравнения ~ дх ) ~ дх ) (8.63) график которого проходит через окружность хх+ух=1, г=О. Введя параметр о, запишем уравнение этой окруж- ности (8.64) х=з(по, у=соз о, г=О. Уравнения (8.51) — (8.58) принимают вид — — — — — ~ — 1В.
(8.65) 2р 2д 12Огг+чх) 0 О Из последних двух уравнений находим у=С1 и д=Сз, где С, и С, — некоторые постоянные. Подставляя най- денные р и д в первые уравнения, получаем х=2С11+Сз, у= 2СЗ1+ Сг', г = 2 (С~1 + Сз) 1+ С„ где Сз, С», Сз — некоторые постоянные. Чтобы удовлетворялось данное дифференциальное уравнение, должно быть С',+ С,'=1. (8.66) Поэтому г=21+ Сз Чтобы при 1=0 линия х= 2С11+ Сз, у=2СЗ1+С„ г=21+Сз проходила через точку, определяемую параметром о на окружности (8.64), надо, чтобы было Сз=з)п и, 233 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ' ПРОИЗВОДНЫМИ 1гл. Ч111 НЕЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ Сг=соз о, С,=б. Тогда уравнение интегральной поверхности уравнения (8.63), проходящей через окружность (8.64), запишется в виде х=2С,1+е(по, у 2Сг1+соео, г=21, гда 1 и а— параметры.
Чтобы прн 1=0 выполнялось соотношение дг дг ' ду =Р +у дО дО дг надо, чтобы О=Рсоа о — д ЕЛп о илн Сг сое о=Сг з(п о. Принимая во внимание (8.66), находим отсюда С1=ез(по, Сг=есозо, где е=+1. Из соображений непрерывности следует, что е постоянно вдоль всей кривой. Следовательно, окончательно мы поЛучаем такие параметрические уравнения интегральной поверхности: х= (21е+ 1)е(п о; у= =(2(е+1)соео; г=21..Исключая отсюда 1 н о, найдем х'+у'= (1-~г)' Таким образом, мы нашли две интегральные поверхности уравнения (8.63), проходящие через окружность (8.64).
Это два круглых конуса в пространстве (х, у,'г), у которых в основании лежит окружность (8.64) н общая ось совпадает с осью Ог, 3 а м е ч а н н е. Из рассмотренного примера видно, что сделанная нами на с. 284 — 285 оговорка о том, что детерминант (8.58) отличен от нуля только вблизи лн-~ нии 5, вызывается существом дела. Нельзя думать, что проходящие через линию 8 (сохраняя обозначения ф 63) проекции х=х(1, х' у') у=у(г, х', у'), г=г(1, х', уе) траекторий системы (8.51) — (8.53) на пространство (х„у, г) образуют гладкую поверхность при как угодно больших значениях параметра й Несмотря на то что траектории системы (8.65) определяются этой системой прн как угодно больших 1, нельзя как угодно далеко продолжать интегральные поверхности уравнения (8.63), 290 УРАВНВНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл.
Ч[Н проходящие через окружность (8.64), не попадая на особые точки. Такими особыми точками являются вершины конусов (8.67). Для квазилинейных уравнений особенностей такого типа не может быть, так как для таких уравнений характеристики в пространстве х[, ..., х„, и не пересекаются. ЗАДАЧИ 1. Выясните связь характеристик, введенных в этом параграфе, с характеристиками, введеннвгмн в $61 н 63. 2. Характеристику можно представить себе как линию в пространстве хь ..., к„, и, через каждую точку которой проходит плоскость с угловыми коэффициентами р!,, р; докажите, что в каждой точке линии эта плоскость касается самой линии. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
