1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть характеристика Н, проведенная через А, пересекает 5 в точке Аб(х', уб). Допустим для определенности, что касательная в точке Аб к линии 5 не параллельна оси Оу (все наши последующие рассуждения сохраняют силу и в том случае, если вместо осн Оу взять ось Ох). Тогда кусок линии 5 вблизи точки Аб можно представить уравнением дб=Р(Х'), где функция Р имеет непрерывную производную. С другой стороны, так как функции <р((, хб, рб) и ф((, хб, рб) имеют непрерывные производные по г и по хб, рб ($29), лба УРАВнениЯ с частными пиоизводными (гл, Упг то функции = — а(<р(1 хо) ф(1, х')), — Ь(ф(«) Ф(г ")).
(8.11) Так как функции ф, «р, а и Ь имеют непрерывные частные производные по всем их аргументам, то правые части этих тождеств имеют непрерывные производные по ( и хо. Значит, и левые части имеют непрерывные производные по этим аргументам. Поэтому, дифференцируя обе части каждого из равенств (8.11) по (, хо и полагая д«р — дф — д«р д«р — =Роф', — =Р Ф, — =Р ф — =РФ.
д) д) . о да о ' дко г получим '1 ЮР ф «а да + — Р ф, дф дЬ + — Р,ф дф да — Рл «р д«р дЬ вЂ” Р «р др (р=О, 1). о Мы опираемся иа следующую теорему, доказываемую в курсах анализа. Пусть в области С иа плоскости (х, у) задана функция й имеющая непрерывные ~, )„и ),а. Тогда )~ всюду в С существует и равна 1„У (Г. М. Фихтеигольц. Курс диффереициальиого и иитегральиого исчисления. — Ма Наука, 1969.
Т. 1, с. 407). «р(1, хе, г (хо) ) =ф((, хо), ф(1, хо, г (хо)) — = ф(1, хо) имеют непрерывные производные по 1 и хо. Выберем ( и хо за новые координаты. Докажем, что якобиан системы функций х=ф((, хо), у=ф(1, хо) всегда отличен от нуля. Для этого заметим, что эти функции удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных упавнений (8.7). Подставим сюда вместо х функцию ф, а вместо'у — функцию ф. Тогда получим следующие тождества по 1, хо; полтлинвиныа техвнзния а бц да дз Здесь коэффициенты =... = не зависят от р. д~у д 1р Таким образом, мы находим, что функции Ору и Орфа удовлетворяют при р=О, 1 одной и той же системе линейных однородных уравнений, Поэтому, чтобы детерминант Вронского д~у д~р дао д1 д 1р д~~ дхо д1 был отличен от нуля на всей дуге Н, необходимо и достаточно, чтобы он был отличен от нуля в точке Ам где эта характеристика пересекается с линией 5.
Но в этой точке 1 др дГ др др др дГ дха д1 др дх" "дГ Последнее выражение равно косинусу угла между нормалью в точке А, к линии 5 и касательной к характеристике Н, проведенной в той же точке А,, умноженному на отличный от нуля сомножитель. (Почемуу) Этот косинус по условию отличен от нуля. Значит, якобиан (Р' всюду на Н отличен от нуля. Следовательно, по теореме о неявной функции мы найдем, что в окрестности Н система уравнений х=~р(1, х'), у=ф(1, х') может быть однозначно разрешена относительно 1, х'. Прп этом, так как функции ~р, ф имеют непрерывные производные по их аргументам, то величины г, х' будут также иметь непрерывные частные производные по х, у.
Отсюда, чтобы доказать, что построенная нами прежде на области Л, функция х имеет непрерывные частные производные по х, у, достаточно доказать, что если ее рассматривать в окрестности Н как функцию от 1, х~, то она имеет непрерывные частные производные по 1, ха. А для этого заметим следующее. 2ВО уиавнвния с частными пиоизводпымн ) . шп Подставляя в правую часть уравнения (8.10) вместо уа функцию Р(ха), мы найдем, что функция х удовлетворяет уравнению вида — = Х (1, г, ха), ду где функция )1 имеет непрерывные частные производные по всем ее аргументам.
Кроме того, начальные значения функции х при 1=0 (на линии 5), по предположению, имеют непрерывную- производную по хо. Поэтому, применяя известную теорему ($21), мы найдем, что в окрестности Н построенная нами функция х действительно имеет непрерывные частные производные по Г хо 3 а м е чя н и е !. Пусть поверхность 5 и функция 1 на ней удовлетворяют условиям теоремы существования. Тогда легко проверить, что окрестность )(а, удовлетворяющая условиям этой теоремы, существует. Для этого надо принять 1(е составленной из достаточно малых дуг характеристик, проходящих через точки 5.
Таким образом, можно гарантировать существование решения задали Коши в достаточно «тонкой» окрестности 5. 3 а меч ание 2. Если не предполагать, что функции аа и Ь, входящие в левую часть уравнения (8.1), имеют непрерывные производные, то это уравнение может не иметь ни одного решения с непрерывными частными производнымн. Таким примером (Н. М. Гюнтер>) может служить уравнение д2 д2 — + — =- Ь(х — у), дх ду где Ь(ш) — непрерывная функция Вейерштрасса, нигде не имеющая производной по щ. Чтобы доказать это, введем вместо х и .у новые независимые переменные о и ш, положив х+у=о и х — у=си, г(х, у) =и(о, гу), Допустим, что в некоторой области на плоскости (х, У) существует решение х(х, у) и уравнения (8,12), имею- ч Решением уравнения (ВЛ2) мы называем фуиипию 2(х, у), которая имеет всюду в рассматриваемой области частные производные по х и.у, удовлетворяющие атому уравиеивю.
$61! ПОЛУЛИНЕИНЫВ УРАВНЕНИЯ щее непрерывные производные по х и д. Тогда, выразив по обычным формулам производные от а по х и д череъ производные от и по о и гс, получим ди 1 — = — Ь (гс). до 2 Все решения этого уравнения даются формулой и (с, гв) = — Ь (гс) о + с (гв), 1 2 где с(гв) — любая функция от гв.
Значит, з (х, д) = — (х + д) Ь (х — д) + с (х — д). (8, Щ 1 2 Но легко показать, что нет такой области на плоскости (х,д), где даваемая этой формулой функция х имеет производные по х и д. Для этого заметим следующее: если бы эти производные существовали в точках (х, д) и (х+е, д+е), то существовали бы также. производные в точке (х, д) у функции х(х+е, д+е) — г(х, д) =ЕЬ(х — д), что невозможно. Значит, функция а(х, д) не может удовлетворять уравнению (8.12), и наше первоначальное предположение было неверно.
Можно показать|>, что всякое непрерывное решение. уравнения (8.12) имеет вид (8.13), если даже не тре.бовать, чтобы это решение имело непрерывные производные. Тогда мы придем к выводу, что уравнение (8.12) нн в какой области не имеет непрерывного решения. ЗАДАЧИ 1. Докажите, что еслв начальные данине задаются иа характеристике, то уравнение (8.6) или ие имеет ии одиого решения или имеет бескоиечио много решений, Когда имеет место перамйслучай и когда второй? и Ва1ге.
Бог 1ез !опснопз дв тапаыез гее!ез. — Аппа!! Й1 гоа!Пеша!!са (3), !. 3 (1899), 101 — 121. 282 ундвивиия с члстиыми производными (га,чггг 2. Покажите, что если а=2 и область С односвязна, то решение линейного уравнения можно продолжить на любую область. состоящую из точек характеристик, проведенных через 5. Если область не односвязна, то это не всегда возможно (постройте при. мер). Заметим, что прв а>2 это не всегда возможно и для одно- связной области. 3.
Теория существенно упрощается, если рассматривать обобщенные решения уравнения (8.!), под которыми здесь следует понимать непрерывные функции, удовлетворнющие вдаль каждой характеристики уравнению (8.3). Рассмотрите обобщенные решедг ния уравнения — = 0 в некоторой области С плоскости х, у, если дх условие Коши задано на некоторой кусочно-гладкой линии 5, лежащей в С. Найдите условия существования (обобщенного) решения задачи Коши, условия существованкя единственного решения.
Найдите условие того, что нулевым данным Коши отвечает лишь тождественно нулевое решение. (В чем отличие этого требования от предыдущего?) Всегда ли из единственности решения задачи Коши в большей области ?? следует единственность в меньшей области, содержащейся в первой? Попробуйте перенести какие-либо из этих результатов на уравнение дг дг а(х, у) — -(-Ь(х, у) — =0 (аз+ Ьэ)0) (*) дх ' ду с непрерывяо дифференцируемыми функциями а и Ь. Приведите пример такого уравнении в некоторой области ??, все решения которого обязательно постоянны. 4. Рассмотрите примеры, в которых через некоторые точки проходит более одной характеристики. Пусть уравнение (*) рассматривается в полуплоскости х)~0, а условие Коши задается на осн х=О с непрерывной начальной функцией, причем коэффициенты а и Ь считаются непрерывными, аФО и для простоты зцр(Ь!а(<оо. Докажите, что (обобщенное) решение, если существует, то обязательяо единственна.
Если характеристики продолжаются в сторону убывания х однозначно, то решение существуег, в 'противном случае может и не существовать. Каково необходимое н достаточное условие существования, решения задачи Коши? Какие новые моменты появятся, если не требовать ограниченности Ь)а? ф 62. Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений Из предыдущего изложения следует, что автономная система, состоящая нз обыкновенных дифференциальных уравнений (8.2) н уравнения — -)- Ь =О, дг % ез) пвнвыа ннтвгрллы снствмы ллвнпннп 26ж определяет в пространстве (х, и) семейство траекторий, нз которых состоят интегральные поверхности и=и(х), т.
е. графики решений уравнения (8.1) (1 рассматривается как параметр). Запишем этн обыкновенные днфференцнальные уравнения в симметрической форме так: — — — — (8.14Ь длг уха дла !Ь аз а, о„— Ь Иногда бывает легко найти не равные нн в какой области тождественно постоянному функции «р(х, и)ь которые сохраняют постоянные значения на всякой интегральной линии системы (8.14). Такие функции называются первыми интегралами этой системы. Приведенное определение, очевидно, равносильно такому: прн любом постоянном С множество ~р=С не содержит внутренннх точек н целиком состоит нз интегральных линий системы (8.14). (Последнее свойство выражают словами: множество у=С есть интегральное многообразие. снстемы (8.14).) Рассмотрим вновь уравнение (8.6) с двумя незавнснмымн переменными.
Для этого уравнения ннтегральныс линии, нз которых состоят интегральные поверхности, определяются системой Ф Ф дз (8.15) о Ь вЂ” с Пусть.каким-то образом мы нашли два') таких первых интеграла системы (8.15) $(х у г) т(х1 у~ г) ~ что в каждой точке рассматриваемой области 6, пространства (х, у, г) по крайней мере один нз миноров 2-го порядка матрицы д<р д~р д<р дк ду дз дзР д$ дзР дк ду дз о В случае системы (8.14) для получения результатов, 'аналогичных приведенным ниже, требуется знание о первых интегралов; рассмотрение итого случая мы предоставляем читателю. нее эгхвнания с члстными пгоизэодными нл.
юп отличен от нуля. Тогда система уравнений «р(х у г) «р(хо уо го) (8.16) ф(х, у, г) =«р(хо, уо, го) определяет в области О, некоторую линию Е, так как в окрестности каждой точки, в которой оба уравнения удовлетворяются, эта система по теореме о неявной функции определяет две какие-то координаты как функции третьей координаты. Эта лнния, вообще говоря, может состоять из нескольких кусков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
