1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Доказательство. Будем изображать траектории на вспомогательной плоскости р, ф (рис. 33). (Такой переход переводит точку покоя в прямую и потому облегчает детальное исследование окрестности втой точки.) Будем считать для определенности, что рассматриваемая траектория 1, входит в точку покоя при 1-.«+со. $571 ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ. И 235 Тогда 1„начиная с некоторого момента, содержится в полосе 0<р<р*, где р* — любое заданное положительное число, Выберем произвольно малое е>0 и проведем прямые у= — яике, где й — любое пелое число.
1 2 Рассуждая, как прн анализе формулы (7.18), получаем, что если и* достаточно малб и траектория 1, при некотором 1 попадает в какой-либо нз незаштрихованных прямоугольников (рис. ЗЗ), то гя.г через конечный промежуток време- йя г ни она окажется в том из соседних й„е заштрихованных прямоугольников г 1 е<п П, на горизонтальных сторонах которого поле направлено внутрь П, и потому 1, при ббльших 1 уже ие 1 гьо сможет покинуть П. Таким образом, и, . в любом случае 1„ начиная с неко- г я торого 1, находится в одном из заштрихованных прямоугольников. ун-г Поскольку е можно взять как угод- е но малым, е7 при р-+О стремится з 1 -г г' р к одному из значений — йп, что 2 1 Я>а и требовалось доказать.
Тео рема 2. Предположим дополнительно, что функции 7(й в системе (7.11) непрерывно дифференцируемы. Тогда: если Л~Лг>0, то точка покоя (О, 0) для системы (7.19) представляет собой узел (устойчивый, если Л,<0, Лг<0, и неустойчивый, если Л~>0, Лг>0), причем в достаточно малой окрестности этой точки все траектории входят в нее, касаясь одной из осей координат, за исключением. двух траекторий, входящих по взаимно про; тивоположным направлениям, касаясь другой из осей; если Л,ЛЯ<0, то точка покоя (О, 0) для системы (7.!9) представляет собой седло, в которое входят две траектории при 1- +Ос по взаимно противоположным направлениям, касаясь одной из осей координат, и две— при 1-~ — Ос по взаимно противояол71жным направлениям, касаясь другой из осей.
Д оказ а тельство. Рассмотрим подробно случай, ьвтономныа системы [гь. чн язв когда ге<А!<О. Тогда в силу первого из уравнений (7.20) для всех достаточно малых р получаем ! ер — Х,! — — ч„— Хт, откуда р(1) <;р(0) е 2 р !я 2 — — 1~,!! ! =р(0)е з (1)0). (7.21) ' Возвращаясь к плоскости 4!, $з, видим, что все траектории, начинающиеся в любом достаточно малом круге К с центром в точке покоя, при увеличении 1 остаются в К и при т — !"+со входят в точку покоя, имев там.
з силу теоремы 1 направление одной из осей координат. Таким образом, точка покоя представляет собой устойчивый узел. Для более детального описания поведения. траекторий в рассматриваемом случае заметим, прежде всего, что, рассуждая как при доказательстве теоремы 1, по! лучаем, что для любого е~( О,— я) существует такое 2 р*>0, что все траектории, начинающиеся в секторе 0< <р<рь, ~ф — йя~ кз (й — любое целое, ио достаточно рассматривать я=О или 1), в дальнейшем не покидают его и входят в точку покоя с направлением ф=пя. Проверим теперь, что по каждому направлению ф= ! ='яп+-я в точку покоя входит ровно одна траектория; 2 для определенности примем я=О. Для этого проследим за траекториями, начинающимися на стороне АВ прямоугольника П!(0<р<р*, ~ф — я/2~ сз) в плоскости р, ф (рис.
33). На этой стороне (кроме концов) траектории входят в Пь а на горизонтальных сторонах они выходят из П!. Из теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных следует, что если какая- либо траектория 1 (а~П!) выходит из П, через верхнюю (нижнюю) сторону, то так же ведут себя н все траектории, выходящие нз достаточно малой окрестности точки и.
Но тогда, взяв верхнюю грань С точек отрезка АВ, через крторые проходят траектории, выходящие из П, через нижнюю сторону, получаем, что траектория, проходящая через С, вообще не может выйти из в 67! ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ. П аат П! (Почему?). Из (7.21~ следует, что эта траектория входит в точку покоя, причем в силу теоремы 1, по ! направлению «р = — и. Итак, существование искомой траектории доказано. Докажем, наконец, что такая траектория только одна. Для этого заметим, что после перехода к переменным $«, $в система (7.11) примет. внд — =) в«+й' (5«, $») (1=1,2), ~В« где функции д«непрерывно днффереицируемы и д«($1, $в) =о(!в! ~+~в»() при Ц«!+4»)- О, а потому их производные при 31=,~=0 равны нулю.
Перейдя к полярным координатам, получим р «««р (Ав — Хв)с«о «рв!п«р+сав«р.ав(рсав«р, рв!п~р)— ««р р, сов«а+ А в!пв«р) р+сов«р И«(рс«пп, рв!п«р)+ в«п«Р ' И«(Р сов«Р ° Р$3п«Р) — У (р ) (7 22) + в)п «р ав ( р сав е, р в! и а! ) Непосредственное вычисление, которое мы предоставляем читателю, показывает, что функция У имеет в П, при р)0 непрерывную производную по «р, как угодно близкую к (х! — хв)!А«, если в и ра достаточно малы. 1 Допустим, что по направлению «р = — и в точку по- 2 коя входят две траектории.
Подставим их уравнения «р=«р«(р) и «р=«рв(р) в (7.22), вычтем почленио одно нз полученных равенств из другого и заметим, что в силу леммы Адамара (7(р, р,) — и(р, р,) ( р, — р,)Г(,, ро р,), где, как видно из 5 20, функция г непрерывна при ОСр~р*, ~«р« — — п~ ~з(1=1,2) и 1 2 р(р рп рв)- ()!» — )!»)Р 1 при р- О, «р,— — и («' =1,2). 2 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ 1гл. ЧН Мы приходим к равенству р ~' ~ =(Ъа — ф1)р(р,ф (р), фа(р))ем йр А(р) (р,— р,) (О<р<р), (7.2З) где функция А(р) непрерывна и стремится к ()ы — Ля)/, ~/)4<0 при р-ьО.
Интегрируя (7.23) как линейное однородное уравнение, получим 1ра(р) — 1р1(р) =Сеехр~ ~ — ч(г~ = Г Г А(т) о" о' = С ехр ~~ ( — ) ~ й 1. о Однако прн р-~-О последний интеграл стремится к +со, и значит, чтобы левая часть оставалась конечной, должно быть Со=0, т. е: чр1(р)= — Тра(р), что н требовалось доказать. Итак, случай )ья<Х,<0 полностью разобран. Случай 0<ли<ел сводится к разобранному заменой 1 на †(.
Мы предоставляем читателю по образцу приведенных здесь рассуждений рассмотреть случай ),1Ат<0 и тем самым завершить доказательство теоремы 2. рассмотрим теперь более 'тонкий случай системы (7.11), для которой выполнено условие (7.12) н (й — а)я+4сЬ=О, (7.24) т.'а характеристическое уравнение матрицы коэффициентов при ! линейных членах имеет кратный корень А1 = — (а+й). 2 Т е о р е и а 3. Луста корню А, соответствует элементарный делитель второй степени и фч(х1, хя) 0((х1)ч+(хя(ч) (при (х1)+(хь(-~О); '1= 1, 2; Ч>1.
Тогда точка покоя (О,О) является углом с единственной ларой взаимно противоположных направлений входа трамсторий. Докааательство. Иа 5 48 следует, что в рассматриваемых предположениях систему (7.11) можно привести к виду — =Х,й,+О((2,) +)2,.)ч), й$1 йг Э 3?1 ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ. 11 239 — =айт+1ХДз+0()кг)" +) $в)ч)* гй где а — любое не равное нулю чнсло; мы положим а=11. Перейдя к полярным координатам в плоскостн $ь $з с помощью формул (7.13) — (7.14), получим бр l 1 — = Хг ~1+ — ип2ф) р+0(р"), бт '1 2 (7.25) — = Х,ажз у+0(рч ).
бф 1 б( Допустим, что 1~<О. Тогда нз первого уравнения (7.25) следа дует, что еслн рч достаточно мало, то — ч. 0 прн 0(р(р', причем р(1)-ьО прн 1-ь+аз для любой траекторнн нз этой полосы. Из второго уравнения (7.25), рассуждая аналогично тому, как при доказательстве теоремы 1, получаем, что для любой та- 1 кой траекторнн прн 1 -+ез либо ф(1)-ь — к+йн (т. е. эта тра- 2 енторня в плоскости $Ь $1 входит в точку покоя, касаясь осн Вз), либо ф(1)-ь — ае (т. е эта траекторня входит в точку покоя как спнраль). Прн этом нз невозможностн пересечения разлнчкых траекторий следует„что либо для всех траекторий имеет место первый случай, лнбо для всех — второй. 1 Докажем, что по каждому направлению ф = — н+ йп в точку 2 покоя входит бесконечное число траекторнй, откуда в салу только что сказанного н вытекает утвержденне теоремы прн )ч(0.
Для определенности положим *=0 н рассмотрим направление поля на граннце «криволинейного треугольннка> 1 1 АВС ~0 < Р < р*, — и+ р" < ф < — м 4- р а) 2 2 (рнс. 34) прн р>0, где й>О будет вскоре указано, а р' достаточно мало. Через сторону ВС (кроме, быть может, точки С), очевндяо, траекторнн входят внутрь туеугольнвка. В точках же стороны АС, пря р>0, наклон траектории в плоскостн р, ф'определен формулой Х,соР ф+0(рч 1) ) ( —, бф 1 р ~Х, (1+ — з!пйф~+0(ря ')) — — Х соз' — и+р~) +0(рч )~ 0(1) = = 0 (раэ ') + 0 (рч ) й ЗТ1 ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ.
П 241 6' вть, чтэ функцня г' нмеет ограниченную пронзводную по «р. оэтому утвержденне теоремы 4 вытекает нз теоремы в 14 о существования и едныственнастн решения, примененной к уравненню (7.26) с начальным условием «р(0)=«р„где фэ — любое заданное число. Теорема доказана. ЗАДАЧИ 1. Рассмотрите систему общего вида, прнведенного в задаче 3 в 56, еслц введенная там фуыкцня )7(ф) нмеет нулн. Докажите, что: а) если какая-лнбо траекторня входит в точку покоя р О (пры 1-ь+ао нлн прн 1-» †) с определенного направления «р, то 1«(ф) =0; б) если )1(ф) прнннмает значення обоих знаков, то любая траектория, входящая в точку покоя, ямеет там определенное направленые; в) .еслн г«(ф) О,' (4(ф) чьО н прн переходе «р через ф функцня 1«(ф) меняет зыак, то в точку покоя по направлению «р ф входнт по крайней мере одна траекторнн; прн этом, еслы 1«(ф)«4(ф) меннет знак с — нэ +, то по направленню «р входят все траектории нз некоторого сектора 0(рэ-рч, (ф — ф)-=е: г) еслн )1(ф) =О, )«'(ф)«„«(ф) (О н функцны ф« нмеют непрерывные пронзводные первого порядка, равные о(р -') при р- О, то по направлению «р в точку покоя входнт только одна траекторня; л) если Ю(ф)ФО, )7(ф) =О, «с(ф) чьО, прн переходе «р через «р функцыя А»(ф) не меняет знака н ф,=О(рч) («= 1, 2; Ч>т), то по направлению «р в точку покоя входит бесконечное»множество траекторий; е) если )7(ф) О, й(ф) ~0 н фуыкцыя «р« можно представить в виде суммы однородных многочленов степенн гл+ ! н члеыов высшего порянкз малостн, то по каждому направлению «р, для которого «О(ф)чьО, з точку покоя входнт по крайней мере одна траектории; еслн дополнительно дано, что функции ф« имеют непрерывные пронзводные первого порядка, равные о(р"') прн р-»0, то по направлению «р входнт только олна траекторня; ж) еслн функцнн ф«ранам о()х«1'"+(хз)'") прн )х«(+)хз)-ьО н аналятнчны, то длв ннх выполняются все добавочные предположения, прнведенные в втой задаче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
