1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Пусть правые части системы (4.4) определены и непрерывны всюду при х~(х<оо, 1у1ч,зо, зо)0, причем 1(х, О) ~0; Сформулируйте аналогичную теорему, обеспечивающую невозможность для интегральной линни, начинающейся при я=хо (х,(хо<со) вне начала координат пространства у, прийти при некотором конечном х в начало координат. (Тем самым, зта теорема дает достаточные условия для единственности решения, начинающегося в точкак оси х.) Попробуйте объединить обе теоремы — о неограняченнай продолжнмости и о единственности решения — в одну общую теорему о невозможности интегральной линии покинуть прн конечном х некоторую область пространства у.
$50. Один физический пример Пусть материальная точка массьг т>0 движется по оси Ох. Обозначим через х ее абсциссу. Пусть при этом на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости, н сила притягивающая ее к началу координат. Коэффициенты а н Ь постоянны, аъ0, Ь>0, Такое движение можно представить себе физически как движение материальной точки в сопротивляющейся среде, например в жндкостц или газе, под влиянием упругой силы пружины, действующей по закону Гука.
Этот закон состоит в том, что упругая сила действует в сторону положения равновесия точки и пропорциональна уклонению от положения равновесия. Допустим 'еще, что на рассматриваемую материальную точку действует направленная по оси Ох периодическая сила, в момент 1 равная А сок от), зе систвмы с постоянными козефицивнтьми [к.ш Изучим сначала случай, когда А=О, т. е. когда на движущуюся точку.
совсем не действует внешняя сила. Такие движений точки называются ее собствеииыаш ко= лебаннями. Общее решение однородного уравнения Ы'к ак ' и — +а — +Ьх=О аи Ф (6.37) при условии, что Л1ФЛт, дается формулой х = Стеьл + Сае" ', (6.38) где Л, и Лт — корни уравнения иЛк+аЛ+Ь = О, т. е. (6.39) а еаза~ Ь Л12= ~: 2 ь' 4м Если а>0, то действительные части Л, и Лт отрицатель- ны. Всякое решение уравнения (6.37) тогда стремится к нулю при Г-~-+оа. Точно так же всякое решение (х(1), д|(1) ) системы ак — =х,, й -. (6АО) дкк и — = — ах1 — Ьх, Ю соответствуюшей уравнению (6:37), также стремится при Г-ь+аа к решению х(1) О, х,(1)= — 0 этой системы.
Легко видеть, кроме того, что решение х(г) = — О, х1(г) =0 этой системы является асимптотически устойчивым. Если а=О, то всякое действительное решение уравнения (6.37) дается формулой х (г) = Ск в3Я У вЂ” к+С,соа У вЂ” г = Св1п ( У вЂ” г+ о, ( Гь /П т т где А и е — действительные постоянные (еэ>0). Тогда дифференциальное уравнение движения запишется в виде и —" +а — ' + Ьх = Асов ам'.
(6.36) Ф~ Ф $ 60! ОДИН ФИЗИЧВСКИИ ПРИМЕР где С = УС7+ С~~, С, С сова, С, ='С в1по. Отсюда х,(Е) = — =С вЂ” сов — Е+о . Следовательно, точка (х(Е), х1(Е)) на плоскости (х, х1) движется ио эллипсу, у которого направление главных осей совпадает с направлением координатных осей, а отцошеиие длин полуосей для всех решений одно и то же: оно равно у —.Начало координат для системы г ь (6.40) -является центром. Решение х(Е) имеет период — 2П, одинаковый для всех решений уравнения ь (6.37).
Изучим подробнее движение, когда и>0. Здесь возможны следующие случаи. С луч ай 1. а')4Ьгл. Оба корня характеристического уравнения (6:39) действительны и отрицательны. Начало координат для системы (6.40) является узлом (ср. $22, рнс. 13 и 14). Функция х(Е) чвО, определяемая формулой (6.38) (н ее производная), в случае действительных С, н Сз не более чем прн одном значении Е обращается в нуль. Следовательно, функция х(Е) имеет не больше одного максимума илн минимума.
Случай 2. а'=.4Ьт. Тогда общее решение уравнения (6.37) дается формулоф х = с 0'" (С, + СОЕ). Функции х(Е) ФО и х~(Е) ФО могут обратиться в нуль не больше чем при одном Е, Начало координат на плоскости (х, х,) является узлом (ср.
рис. 16) для системы (6.40) . С л у ч а й 3. а*<4Ьт. Корни характеристического уравнения (6.39) имеют не равную нулю мнимую часть. Пусть Хьз= — а-Р46; а)0, 13)0. $1а СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ге. Ч! (6.41) Действительная часть всякого решения этого уравнения будет удовлетворять уравнению (6.36), и обратно, всякое решение уравнения (6.36)' есть действительная часть некоторого решения уравнения (6.41).
(Почему?) Если оба корня уравнения (6.39) отличны от ега, общее решение уравнения (6.41) дается формулой л '"' г = СТЕК '+ СЬЕА е + т(гаг) е+а(гта)+Ь если )МФ)а, и формулой лчи г= С,е"'+С,(е"е+ т(гт)1+а(аа)+Ь если Х1=)а=е.. Первые двач()лена в этих формулах дают общее решение однородного уравнения (6.37). Это решение при любых С1, Са ограничено при Т>1т Последнее слагаемое дает частное решение уравнения (6.41), найденное по правилу, указанному в конце 3 47. Если а>0, первые два слагаемых в этих формулах стремятся к нулю прн (-е-+оо и решение уравнения (6.41) приближается к АЕгаЕ т(гаг) 1+а(гт)+Ь Тогда начало координат на плоскости (х, х~) для системы (6.40) является фокусом. Действительные решения уравнения (6.37) даются формулой х=е- '(С, ейп рг+Са сов рг) =Се- г з(п(ре+О).
Точка х совершает периодические затухающие колебания по оси Ох с неизменным периодом —, одинако- 2Д вым для"всех решений уравнения (6.37), и затухающей амплитудой Се-т. Разберем теперь случай, когда в уравнении (6.36) Аз~О. Нам будет удобнее вместо уравнения (6.36) рассматривать уравнение а ее ~(е ла — + а — + Ьр = Ае'"'.
ИР - гя ОДИН ФИЗИЧЕСКИИ ПРИМЕР 21У При неизменном А модуль этой функции будет тем больше, чем меньше модуль нт((аз)з+а(йо)+Ь. Если пз(ио)з+а(!ш)+Ь=О, что может быть только при а=О, то общим решением уравнения (6.41) будет Асс|о~ г = С,еьи + Све-си1 + 2ш((ы) Первые два члена этой суммы, дающие общее решение. однородного уравнения (6.37), остаются всегда ограниченными, а последнее слагаемое„дающее частное решение уравнения (6.41)„найденное согласно $ 47, бесконечно растет по модулю при г-ь.+со. Функцня х(1), дающая решение уравнения (6.36), в этом случае колеблется, и,амплитуда ее колебаний бесконечно растет.
Это явление называется в физике резонансон между собственными колебаниями рассматриваемой материальной точки. и внешней силой. Как видно из предыдущего, он наступает, если периоды собственных колебаний материальной точки и внешней силы совпадут. В физической действительности в случае наступления резонанса размахи, делаемые материальной точкой, часто становятся в определенный момент настолько большими, что система разрушается. Поэтому бывает важно предусмотреть возможность наступления резонанса. ЗАДАЧИ 1.
Разбернте подробно случай о<0 — колебаний с «отрицательным треннемэ, которое осуществляется в целом ряде фнзнческнх схем пря подаче энергии нзвне. 2. Докажите устойчивость нулевого решення он«темы (6.40) прн помощн изучения пронзводной по времени от так называемого ннтеграла энергия, равного — ( — ) + — хз. 'ты. чп лвтономныв систвмы '2! а .ГЛАВА П! . -.АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ й 51. Общие понятия Если в правые части системы (4.4) не входит неза- висимая переменная х, то такая система называется ав- тономной.
В теории автономных систем принято истол- ковывать независимую переменную как время; поэтому будем записывать такую систему в виде — '=~,(хт,хы ...,х„), 1=1,...,л, (7.1) й.~ или, в более короткой векторной записи, ах — = 7(х), йг кде х, хэ Впрочем, под х' можно понимать н точку с координатами (хь хь,х ). Для простоты будем считать, что правые части си,стемы (7.1) определены во всем пространстве х и удовлетворяют условию Лнпшица по 'всем своим аргументам в каждой ограниченной части пространства. Тогда при начальном условии, х(0) =х' существует решение х=х(1; х') системы (7.1) (или, что все равно, (7.2)), определенное в некоторой окрестности значения 1=0.
Это решение можно рассматривать как закон движения точки в пространстве х, т. е. закон изменения во времени координат этой точки; при этом движении точка х описывает некоторую траекторию 1„., зависящую от выбора начальной точки хо (не следует путать эту траекторию с интегральной линией системы (7.1), так как.интегральная линия расположена в и+1-мерном' пространстве х, 1). ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ $»И Так.как при законе движения х=х(!) вектор скорости выражается по формуле и = —, то автономная си- Н» «т стема (7.2) задает поле скоростей в пространстве х, т.
е. в каждой точке х задается вектор о=)(х). Решением же служит такой закон движения точки, при котором эта точка в процессе движения имеет в каждом положении заданную скорость! Специфика автономной системы (7.2), у которой в правые части не входит 1, со! стоит в том, что заданное поле скоростей не меняется с течением времени или, как говорят, является стационарным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
