1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Найдите условия, при котормх зиалогнчиме утверждения справедливы для линейных систем с переменными коэффициентами. Большое количество подобных результатов содержится в укаааниой в $38 княге Р. Белльгана. ПРИВВДВНИВ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ нм э и1 $48. Приведение уравнения— Ыу Нх Уравнение ~ к каноническому виду ах+ Ьу сх+ еу еу ах+ау (6.18) ех сх+ву эквивалентно системе ех =сх+ду, —" =ах+Ьу, (6.19) ег где 1 — некоторое вспомогательное переменное.
Коэффи. циенты а, Ь, с и д мы будем считать теперь действитель- ными. В зависимости от элементарных делителей Х-мат- рицы (6.20) которое приводит систему (6.19) к виду Н х Ф ° Д у — = Х,х', — = Х,у". ю ег (6.22) Если )„~о, (6.23) то ни оДно из чисел Ач и Ае не Равно ИУлю и УРавне. ние (6.18) после совершения преобразования (6.21) прн. водится к виду 0у* Хау* ЕХ' АхХ* при приведении системы (6.19) к каноническому виду могут быть следующие случаи. 1-й слу ч а й. Элементарные делители первой степени действительны. Тогда из доказательства теоремы о при. ведении к каноническому виду следует, что существует такое линейное неособое преобразование с действительными коэффициентами: х"=Ьих+Ьиу, у*=йих+Ьмр, зва системы с постоянными коэеэнцнантлми ! .
и 2-й с л у ч а й. Элементарные делители (Л вЂ” Л~) и (Л вЂ” Ле) матрицы (6.20) комнлекснм. Если считать а, Ь, с и д действительнымн, как это мы теперь делаем, то Л~ и Ле будут взаимно сопряженными. Тогда преобразование (6.21) также приводит систему (6.19) к виду (6.22). Коэффициенты 1Ъ и йм можно считать при этом сопряженными соответственно с йн и йм.
Действительно, так как Хе=Х» то х* удовлетворяет тогда уравнению = Лзу » ез» »и и мы можем принять у* =х~. Пусть * » йи=й1+Й1 и Им=Ьз+Фз» Положим й=й;х+й;у, Ч = й","х+ й"у, Л1=о+16 (рФО). Тогда система (6.22) после разделения действительной и мнимой частей дает следующее: -~- = аз — рч — = рь + аЧ еч »я»и Отсюда ей РВ+ад ез $ — рч Заметим, что линейное преобразование, переводящее х и у в з и ц, неособое, так как иначе было бы 11 13 0 З-й с луч ай.
Матрица (6.20) имеет один элементарный делитель (Л вЂ” )ч)з. Тогда существует (ср. $44) такое неособое линейное преобразование (6.21) с действительными коэффициентами, которое переводит систему (6,19) в систему — = Л,х', —" = ех'. + Л,у'. (6.24) ет чт Е 491 устОичнВОсть Рншннни ' пО ляпунОВу 197 Если детерминант (6.23) отличен от нуля, то- )ггФО. Так как а, Ь, с и с( действительны, то )сг также действительно. Здесь е — какое-нибудь отличное от нуля число; если его считать действительным, то коэффициенты Ап можно считать действительными, как это следует из рассмотрений $42. Положим, например, е=дь Тогда из уравнений (6.24) получаем с(р» Ьгхи+)ссре Хи+Ус с(хв Агх* х ° ЗАДАЧИ 1.
Пусть начало координат для уравнения (6.18) является фокусом. Выясните, прн каких соотношениях между коэффициентами спирали входят в особую точку, закручиваясь против часожгй стрелки, прн каких соотношениях — .закруепшаясь по часовой стрелке. Решите аналогичный вопрос для узла (типа, изображенного на рнс. 16). 2. Пусть начало координат- для уравнения (6.18) является седлом нли узлом, Выясните, по каким направлениям интегральные линни входит в начало (а в случае узла — н по какому направлению входит бесконечцое количество линий).
Есвн начало каордннат является цептром, выясните, как расположены главные осн зллнпсов н какая нз иях больше.. $49. Устойчивость решений по Ляпунову Мы-будем применять векторную запись и для нелинейных систем уравнений и, таким образом, систему — М =~1(к,ую...,уи), 1=1,;,а, (4.4) будем записывать более коротко в виде где у — вектор-функция, составленная из искомых функций уь а 1 — вектор-функция, составленная из правых частей (ь Евклидову норму вектора будем обоу и. Г.
Петровский 19В системы с постоянными коэеоицнентдми [ . чт зиачать вертикальными черточками: Пусть начальные данные задаются. прн х=хв. Решение у=у'(х) (6.25) системы (4.4) называется устойчивым по Ляпунову при х-~+со, если для каждого е)0 можно указать такое т1(е)>0, что при хала для любого решения у(х) этой системы (у(х) — у'(х) (<е, (У(хв) — Ув(хв) ~ <т1 (е). Если, кроме того, Впз (у(х) — у'(х)) = О, «-++аа при достаточно малых (у(хв) — у'(хв) (, то решение (6.26) называется асимптотически устойчивым при х — з.+со. (В дальнейшем для краткости вместо «решение устойчи- во по Ляпунову при хз.+со» будем говорить «решение устойчиво».), При этом мы считаем, естественно, что функция у'(х) определена для всех хатха, а система (4.4) определена в некоторой окрестности линии у=уз(х) вида (у — у'(х) ~ <М, хатха.
Очевидно, мы всегда можем свести исследование к случаю у'(х) О, взяв вместо у(х) за новую неизвестную вектор-функцию у (х) — ув (х). Функции (ь все у; н х мы считаем действительнымн. Фундаментальные исследования устойчивости реше- ний дифференциальных уравнений принадлежат знаме- нитому русскому математику А. М. Ляпунову'>. О Сии А. М. Л я ну нов.
Общая задача об устойчивости двимв. ния.— Ми ОНТИ, 1950. е ее! устОичиВОсть Решении пО ляпунОВу 199 Лемм а Ляпунова. Пусть для некоторого ее>0 правые части системы (4.4) определены и непрерывны при хе~к(оо, (у~ аее, и ! (х, 0) =О. Пусть при ~у( сеь существует непрерывно дифференцируемая. «функция Ляпуноваь у'(у) ЪО, равная нулю лишь в начале координат, и притом такал, что ~~~ — !!-ч. О ду! г=! Тогда нулевое решение у(х) О системы (4.4) устойчиво. Если, кроме того, при (у( аее Š— г! < — ~'(у) дУ (6.27) де! у=! где (т" (у).>0 — некоторая непрерывная функция, равная нулю лишь в начале координат,' то нулевое решение асимптотически устойчиво. Д О к а з а т е л ь с т в о.
ПУсть 0(в ~ге. Обозначим через К, сферу ~у~ =е и пусть У, = !и!ПУ; ясно, что У,>0. е Выберем теперь ц>0, ц(е столь малым, чтобы на К„н всюду внутри К, было У(у.. Такое ц существует,. потому что функция у' непрерывна и обращается в нуль в начале координат. Тогда нетрудно проверить, что все интегральные линни, начинающиеся при х=хе внутри К никогда при увеличении х не могут достичь К„откуда и вытекает устойчивость. Для проверки этого свойства интегральных линий заметим, что вдоль каждой такой линии величина у' становится сложной функцией х и в силу уравнений (4.4) получаем л л / ! ! ! и условие (6.26) означает; что вдоль любой интегральной линии значение у' не возрастает. Если такая линия, ;мэ систзмы с постоянными коээеицивптлмн 0, ш начавшаяся при х=х«внутри Кь при увеличении х в первый раз достигнет К, при некотором х=хь то вдоль этой линии У~ =„(У«<У! —,.
и мы приходим в противоречие с невозрастаннем У. Пусть теперь выполнено ' более сильное условие (6.27). Выберем ц по е так же, как это было сделано выше. Тогда, как было показано, все интегральные линии, начинающиеся при х« внутри К„, при увеличении х остаются внутри К,. Покажем, что любая такая интегральная линия ! при увеличении х стремится к началу координат.
Мы доказали, У'что при возрастании х значение У вдоль ! не возрастает. Достаточно проверить, что это значение стремится к нулю (так как легко доРис. «7 казать, что если У-+О, то и )у1-~ -+О). Пусть это не так, и значение У ' вдоль 1 превосходит некоторое положительное постоянное.
Тогда 1 целиком расположена вне некоторого шара К«с достаточно малым б>0 и из (6.27) получаем, что вдоль 1 — < — Яг< — ас. О, ««' Н« тэк как вне К«функция %'~а>0 (а=сонэ(). Интегрируя это неравенство, получаем У (х) ~ У(х,) — а (х — х«) — — оо, . «-ь+е« что противоречит определению У. Лемма доказана. Эта лемма имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим частный случай. Пусть а=2, и пусть линии У=С (С=сонэ() — замкнутые линии, содержащие начало координат, причем линия с меньшим значением С лежит внутри линии.с большим значением С (рис. 27)'.
Тогда условие (6.26), означает, что интегральные линии, имеющие общую точку с линией У,=С, не выходят из области, ограниченной этой линией, откуда и следует устойчивость нулевого решения у1= 0, уз= — О. ! ен тстоичивость евашвнии по ляптновт яв! При выполнении более снльного условия (6.27) нн. тегральные липин пересекают линию т = С снаружи внутрь, так как кроме того, доказано, что 1пп т' — — О. Следовательно, чем все интегральные лнннн стремявся прн х-ь+оо к началу координат, что означает аснмптотическую устойчивость нулевого решения. Замечание. Подчеркнем, что, как видно из доказательства леммы, левая часть неравенств (6.26) илн еу (6.27) представляет собой' производную — от функции ех 'т', взятую вдоль интегральных лнний системы (4.4) (как иначе говорят, производную, взятую в силу системы (4.4)).
Теорем а. Решение у(х) =О системы (4.4) "асимптотически устойчиво, если 7(х, у) =Ау+Р(х, у), где матрица А постоянна, действительные части всея корней Л уравнения )ЛŠ— А~ О (6.28) отрицательны и при всех хъхе и ~у~ достаточно малом ~Р(х, у) ) кМ~у('+, (628) функции Р; (1=1, ..., и) непрерывны по совокупности аргументов, а а и М вЂ” положительные постоянные. В частности, условия этой теоремы удовлетворяются, если функцйн )ь стоящие в правых частях системы (4.4), не зависят от х, обращаются в нуль прн у=О и в некоторой окрестности начала координат имеют непрерывные производные до 2-го порядка включительно, а дей. ствительные части всех корней уравнения (6.28)' отрицательны. В самом деле, тогда к этим функциям можно Заа СИСТНМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИВНТАМИ [сл, Ч1 применить формулу Тейлора, и мы получим )(х, у) =Ау+0(~у~а) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
