1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для доказательства этого утверждения надо воспользоваться теоремой Штурма„считая Вг(х) =Вг(х). ЗАДАЧИ 1. Сравнивая решение уравнения г'+ 1 — г=о 4преобразоваиное уравнение Бесселя) с решеннямн уравнения у +у О или уравнения у"+(!+ез)у О, покажите, что прн О~в< <1/2 расстояние между соседними нулями г(х)(чао) меньше м и жрн достаточно больших х как угодно близко к м. Как расположечпРиули г(х) при н)1/2? 2.
Покажите, что прн иеограиячеииом возрастании х последовательные пули всякого ненулевого решения уравнения у"+ху-О меограиичеиио сближаются. 3. Покажите для теоремы Штурма, что если хотя бы в одной точке интервала (хь хз) соотношение (5.18) выполняется со знаком ) и если гз(х~) О, то следующий за х, нуль гз[х) лежит левее хз. 4. Пусть имеет масто неравенство (5.18), причем г~(х~) =гз(х~) =О, г~(хг) Э~ гг(хг))О.Докажите, что тогда на интервале от х~ до первогь следующего за х~ нуля функции гз(х) выполнено не,равенство г,(х)~гз(х); если же такого пуля нет, то зто иеравенст.
во имеет место при всех рассматриваемых значениях х)хь Указание. предположите сначала, что г1(хг))гг(хг). 5. (Киезер.) Пусть в уравнении (5.17) функция В(х), определенная прн О(а(к<со, удовлетворяет неравенству 1 — +е 4 В(х) > 4 Ш! СИСтНМЛ ННОДНОГОДНЫХ ИГЛВНННИИ Ьге ПОРЯДКЛ !6! (а=сапа!)0). Докажите, что тогда любое решение этого уравнения имеет бесконечное число нулей. Если же В(х) <(4»')-', то любое нетривиальное решение имеет не более одного нуля.
(Прн доказательстве этого следует предварительно сделать замену х е'.] Отметим, что многие 'теоремы о колебаниях решеняя содержатсн в книге; Р. Б е л'л м а н. Теория устойчивости решений дяфференциальных уравнений. — Мл ИЛ, !954. 6. Рассмотрим уравнение у"+В(х, Л)у~о (а<х<Ь, Л*<Х<Л") с коэффициентом, зависящим от параметра Л. Пусть функция В(х, Х) непрерывна по совокупности х, Х, возрастает по,Х и для любого У)0 существует Х, для которого В(х, Х)<йг-г(а~х<Ь), и Х, для которого В(», Х))у (а1<х<ЬП а<а,<ьг<Ь; пг и Ьг фиксированы). Докажите, что тогда найдется такая последовательность Ль<Лг« ... Х„<, стремящаяся к Л'*, что при значениях Х=Хь Хз,... и только при них рассматриваемое уравнение имеет нетривиальное решение, равное нулю при х а и х-Ь; при этом для Х=Х это решение имеет между а н Ь ровно и — 1 нулей.
9 39. Система неоднородных линейных уравнений (-го порядка Т е о р е м а. Пусть вектор-функция ц (х) представляет собой одно какое-нибудь частное решение неоднородной системы (5.2). Тогда всякое решение этой системы можно, представить в виде у(х) = о (х) +р(х), где вектор-функция о (х) удовлетворяет однородной системе (5.4). Обратно, всякая вектор-функция у(х) такого вида удовлетворяет системе (5.2). Докажем прямое утверждение: — — А(х)о= — — А(х) у— ао лу а» г(» — ~ — — А(х) гр~ =Т(х) — ! (х) =О, лт что н требовалось доказать, Обратное предложение доказываетсн аналогично. С л е д с т в и е.
Всякое решение неоднородной линейной системы можно представить в виде у= р+ ~С,у(а>, 6 и. Г. Па»раве»ил $62 ОБШАЯ ТЕОРЕМА ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ пл, е где вектор-функции уоч образуют фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы, а Сь — некоторые однозначно определяемые для этого решения постоянные. Обратно, при произвольных Сь ..., С вектор-функция ~р + ~ Сауною удовлетворяет системе (5.2). Иначе то же самое можно несколько короче сказать так: общее решение.
неоднородной линейной системы есть-сумма частного решения этой системы и общего решения- соответствующей однородной системы, Значит, задача нахождения общего решения неоднородной линейной системы'сводится к нахождению одного частного решения этой системы, если фундаментальная система решений соответствующей однородной системы нам известив. Лля решения этой задачи применим,.как и в случае одного линейного уравнения 1-го порядка (ср.
$7), метод вариации постоянных. Метод вариации постоянных. Пусть вектор-функции уоч(х) (к=1; ..., и) образуют фундаментальную систему решений системы (ЬА). Попытаемся удовлетворить системе. (5.2), положив л У (х) = Я Сь (х) У~ь> (х), (5.21) ц ! где СА(х) не обязательно постоянны, как было прежде, а какие-то дифференцируемые функции от х. Подставляя это выражение у в (5.2), найдем, что должно выполняться следующее равенство: ~~~~~СА(х) 'уоь(х) +'„~)," С (х) у(ья (х) — Я А(х) СА(х) у<" (х) = = ЯСьу~ц(х) +'~' С,(х) (у®' — А(х) уоч(х)3 = = ~,"Сьу(ь~ =1(х). Записывая это векторное равенство для компонент, получим ~) Сь (х) у("'(х) = ~~(х), 1 = 1, ..., и (5.22) Ч Ю1 СИСТЕМА НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИИ 1-се ПОРЯДКА 163 т.
е. линейную неоднородную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных С»(х). Детерминант, составленный из коэффициентов при этих неизеестйых, является детермииантом Вронского для вектор-функций у1»1(х) и потому отличен от нуля. Значит, из системы (5.22) можно единственным образом определить С„'(х). Пусть С» (х) = чр» (х), й = 1, ..., а. Отсюда интегрированием получаем С»(х) =)'чр»(х)с(х=Ч"»(х)+С», (5.22) где С» — произвольные постоянные.
Так как нам достаточно найти только одно частное решеийе системы (5.1), то эти постоянные можно считать, например, нулями. Тогда получим для искомого частного решения выра« жение у (х) = Ч~~~ зх» (х) у1 "> (х). Если же оставить С» произвольными, то после подстановки (5.23) в (5.21) получим общее решение системы (5.1). ЗАДАЧИ 1. (Теорема Коши.) Пусть функции у~1М (х, $), 1, » = 1, .... а, прн всяком фиксированном» удовлетворяют по х системе (5.4), а при х $ удовлетворяют следующим условиям: р)" а.и= ~~' Требуется доказать, что функции. ш(х) = ~ Я 1»(1)у11 1 (х, 1) ле х, » 164 ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [гл.
П удовлетворяют системе (5.1) н нулевому начальному условию у(хл)=0: здесь хг — любое значение х нз того янтервала, где мы рассматриваем паши уравнении (5.1). С помощью фундаментальной матрицы У(х) (см. задачу 1 к $33) зто решение можно предста.
вить в выде у(х) = ~ У(х)[У(В)) 1Е(%)4. хг 2 До сих пор мы выделяли частное решение нз обп[его с помощью задании начальных условий, т. е. с помощью задания всех искомых Функций, составляющих решение, при одном каком-то значении независимого переменного х. Однако применяются н более общие дополнительные условия к системе дифференциальных уравнений (например, можно задавать различные искомые функцян при различных значениях х, можно задавать комбинации значений искомых функций прн различных х н т. д.).
Рассмотрим общие линейные дополнительные условия к системе (5.2), которые мы коротко запишем' в виде Еь[у)=аа, А=[,...,л, где аь — заданные числа, а Еь — заданные комбинации значений искомого решения у(х) при фиксированных значениях х, удовлетворяющие условию линейности: еь [с1у~11+ сгу[11) с1еь [у111) + +С1Е1[ум[]. Докажите, что в зависямостн от матрицы козффициеитов А(х) и от вида функционалов Еь МОГУТ быть два случая: основной, когда поставленная задача имеет ровно одно решение при любой (непрерывной) вектор-функции Е(х) и прп любых значениях чисел ах, и особый.
В особом случае при произвольном выборе Е(х) и ал поставленная задача, как правило, не имеет ни одного решения; если же такое решение имеется, то их бесконечное множество. Чтобы имел место основной случай, необходимо и достаточно, чтобы соответствущая однородная задача (прп Е(х) — О и всех аь О) имела только тождественно нулевое решение. Для системы (5.2) с начальными условиямн всегда имеет место основной случай. Приведите примеры иа особый'случай. Покажите на примерах, что аналогичная задача для нелинейных систем может также иметь любое конечное или счетное число решений.
в 40. Следствие для линейного неоднородного уравнения а-го порядка Неоднородное линейное уравнение 1[л у Лл-1 у лл-з у — = ал 1 (Х) + а, З (Х) + Ллл Ллл-1 пхл-з .. + а,(х) уу + а,(х)у+ Е(х) (5.24) 4 40) СЛЕДСТВИЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ заа эквивалентно линейной системе нул У), У«-1 — = а, (х) у, + а (х) у, + аз (х) уз + ... + а, 1(х) у, 1+ ~ (х). Система (5.22) обращается в систему С((х)у('>(х) + Сз(х)у(з>(х) + ... + С„(х)у(л>(х) =О, «(1), «(П, у (л) С) (х) — + Сз (х) — ~„— + ... + Сл (х) — = О. лл-а „(1), лл-1 (з), «л-1 99 С)(х) «„лю + Сз(х) л-1 + ... + Сл (х) л т = ~(х).
Иа функций у( теперь, очевидно, представляет интерес только уе(х) = — у(х), н потому найденные С((х) надо подставлять только в равенство у,(х) = Я Са(х) у('>(х). ЗАДАЧИ 1. Сформулируйте условие и докажите утверждения задачи 2 й 39 применительно к уравиенюо (5.24). разберихе, в частности, так называемую краевую задачу у"+у ((х) (а<х(Ь), у(о)=аь у(Ь) аз, а также аналогичную задачу, в которой уравнеляе имеет вид у"-у-)(х).
2. (Аналог задачи 1 $39.) Покажате, что решение уравнения (5.24) прн нулевом начальном условии у(х«) у'(хл) 158 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [га. Ч! =у~ -0(х,) 0 (здесь и в задаче 3 верхний иадепс в скобках означает порядок производиой) имеет вид ьт у(х) = ~ Пй)0(х, Цж. х, где функция -6(х, $) при каждом фиксироваииом 5 удовлетворяет по х соответствующему одиородиому уравиеиию (5.8) и иачальиым условиям у(5)=у'(5) = ... =ум а1(5) =О, у(" ц(5) 1. 3. Опираясь иа результат задачи 2, докажите следующую обобщеииую теорему С. А. Чаплыгииа.
Для любого хь.иа иитервале иепрерывиости коэффициеитов уравиеиия (5.24) иайдутся положитель. иые числа йь йь...,й ь зависящие лишь от ха и от коэффициектов ач(х), а~(х),...,а ~(х) и обладающие следующим свойствоы: если дано решеиие у(х) уравиеиия (5.24)„причем 1(х) >О, У(ха)= =у'(хе) ... Ф"-з'(ха)=0, у'" о(ха)~~0, то у~ь?(х) -'0 (хо~<я~хо+ +йь, й О, 1,.„,'л — 1); если же дополпительио дано, что 1(х)>0 (хо<хь,:ха+аз), то у)М(х) >О (хо<я: ха+аз). укажите верхнюю грань для возможиых зиачеиий чисел й» в термииах свойств функции 6 задачи 2.
(Можио ли положить й .и?) Рассмотрите в качестве примера неравенство у"+У~О при условиях у(0) =О, у'(0)вО. На каком интервале гарантируется положительиость его решеиий? Положительиость производиой от его решеиий? Докажите, что если задаиа оценка )аа(х)(, (л~(х)(,...,(а ~(х)( сверху, то можио получать оцеику всех йъ снизу положительным .числом, Приведите, опираясь иа Лемму Адамара, достаточиые условяя справедливости теоремы Чаплыгина для иелииейиых уравнений. ГЛАВА И ЛИНЕИНЫЕ СИСТЕМЫ с постоянными коэффициентдми $41, Преобразование системы В настоящей главе мы будем рассматривать линей- ные системы дифференциальных уравнений, у которых неизвестные функции, свободные члены и коэффициенты комплексны; независимое же переменное будем считать действительным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
