1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

2. Для доказательства же этого последнего утверждения мы применим принцип сжатых отображений. Именно, будем считать, что вектор-функция ф=(фь ... ..., ф ) определена на замкнутом интервале а~х<Ь (а<хо<Ь) так, что: 1) все функции фз непрерывны и 2) линии уз=фз(х), г=1, ..., а, а~х<Ь, не выходят из некоторой.

ограниченной замкнутой области гг', содержащейся в сг и содержащей (4.15) как внутреннюю точку. Тогда, очевидно, удовлетворяются первые два из условий применимости принципа сжатых отображений. Замкнутость сг' нужна для того, чтобы выполнялось условие 2. Положим далее А, фшу', + ~~г Ц, фт(~), ..., ф,($))б$, 1=1... а. (4.17) Покажем, что определенные таким образом операторы и См. сноску на с, 58. з> Возможность дифференцировании получается аналогично $14. [го. ««г ОВЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ удовлетворяют условию 3, если интервал (а, Ь) доста. точно мал. Пусть М есть верхняя грань значений 1)«(х, у«, ... ..., у ) ~, «=1, ..., и, в 6'.

Проведем через точку фо, уо ..., уо) 2и плоскостей у, — уо = ~ М (х — хо), 1 = 1..., и. (4.18) Построим далее две плоскости х=а и х=Ь (а<хо<Ь) так, чтобы эти плоскости вместе с плоскостями (4.18) образовывали две пирамиды Р«и Ро с вершиной в точке '(хо, уо,.„уо), целиком лежааие в 6'. Несколько поз. же нам придется предположить, что числа а и Ь достаточно близки к хо. Возьмем теперь совершенно произвольно и непрерывных на (а, Ь1 функций «р«,"«(х), .„«р«о«(х), (4.19) лишь бы только линия «р«=«р««о>(х), 1=1, ..., и, а~х~Ь, целиком лежала в 6'.

Подставим функции (4.19) в правые части уравнений (4.16), после чего этн правые части будут некоторыми вполне определенными непрерывными функциями от х на интервале а~х.сЬ. Положим , «п(х) уо 1 рг,(а «р«о~(о), «роз(о)),1о, «ф 1 = 1, ..., и. Ясно, что эти функции определены опять на интервале а~х~Ь и ,««>( ) уо Мы утверждаем далее, что линия у« =«р",~ (х), 1= 1, ..., и, а~х~Ь, не выходит из пирамид Р, и Ро н, следовательно, не вы- ходит из 6'. Действительно, 11«(х, (р«й(х), ..., <р(0) (х))! ~М, 4 зц пзнложвнна пзннцнпл.сжатых отоззхжання цв и потому (ф у(х) — р~~м! л4! — ! Покажем, наконеп, что если функции ~~ удовлетво.

ряют по уь ..., у условию Лнпшица н если интервал [а, Ь ! достаточно мал, то для определенного равенствами (4.17) оператора Аф выполняется н последнее, четвертое, условие применимости принципа сжатых отображений. Действительно, ~(Й+ ~К.(а.фГВ .,ф„-Ебк)— — (У7+ ~Р.(Б ф~(В) " ф.'(В)МБ) ~= х = ~ ~ Й (й, ф",(Р, " ф."(9)— к~ — Л (й ф;($). "., ф'.($))!й~< Л <~ ~К1!ф",($) — ф',Ф) (+" + (ф„"В) — ф'„Ф))б1~ < ~(К(Ь вЂ” а) ~~1~ шах !ф'," — ф",! = — ~~1~~ шах!ф," — ф',), ч ! у ! где т К(Ь вЂ” а) и. Следовательно, если Ь вЂ” а достаточно мало, то и<1.

Замечания 1 н 2 к $14 и теперь сохраняют силу. Аналогично замечанию 3 к 5 14 легко показать, что последовательность приближений равномерно сходится не только на выбранном выше интервале (а, Ь], но н на любом конечном интервале 1с, Н1, где все этн приближения существуют, если в пересечении области 6 с полосой с~х~д, — оо<у~<оо, 1 1,...,п, все функции ~~ удовлетворяют условию Лнпшнца по рь ..., у,. Мы не будем заниматься изучением особых точек, 14О овщхя таоэия линаиных систем [гк У ГЛАВА У ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕйй й 32.

Определения. Следствия из общей теории систем дифференциальных уравнений Линейной системой дифференциальных уравнений называется система таких уравнений, в которые некз. вестные функции и их производные входят линейно. В $ 27 было показано, что всякая система дифферен. циальных уравнений эквивалентна .некоторой системе, содержащей только производные 1-го порядка; поэтому мы будем заниматься главным образом системами уравнений 1-го порядка, причем ограничимся случаем, когда эти системы разрешены относительно производных. Общий вид такой системы следующий: — = '[)~аа(х) у[+ ~,(х), ! =1, ..., и.

(5.1) !М ![г ! Эта запись становится значительно проще, если воспользоваться матричными обозначениями. Введем квадратную, порядка и матрицу коэффициентов А(х) =1!а![(х)!! и вектор-функции, которые мы будем в дальнейшем записывать в виде матриц-столбцов 6(х) ~ ~.() 1 у, (х) [(х) = у(х) =, линий, поверхностей' для систем дифференциальных уравнений, как это делалось для одною уравнения в первой части курса, а перейдем к изучению систем линейных уравнений. опгвделения Такие матрицы подчиняются естественным правилам действий, известным из курса линейной алгебры, правилам предельного перехода и дифференцирования. В частности, отметим, что при дифференцировании матрицы надо йросто продифференцировать'все ее элементы. Поэтому систему (5.1) можно переписать в виде уравнения' — =А(х)у+ г(х) ее (5.2) где е — как угодно малое положительное число, а М— как угодно большое положительное число.

А отсюда уже эта теорема следует и для всей полосы а<х<Ь. Каждое решение системы (5.1) можно продолжить на весь интервал (а„Ь). Действительно, если коэффициенты ам(х) и неоднородные члены 1;(х) непрерывны йа отрезке [аь Ь|), то существование решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, на всем этом интервале следует из рассуждения, приведенного в предпоследнем абзаце з 31.

Если же коэффициенты и неоднородные члены непрерывны в открытом интервале (а, Ь), то только что доказанное утверждение можно применить к любому от- (проверьте это„ раскрыв правую часть по правилу произведения матриц). В дальнейшем мы всюду будем предполагать, что ам(х) .и );(х) непрерывны на некотором интервале а<х<Ь.

Может оказаться, что этот интервал не ограничен с одной какой-нибудь стороны или с обеих сторон. Правые части таких систем имеют ограниченные производные по всем у; и потому удовлетворяют условию Липшица на всяком отрезке [аь Ь~~, целиком лежащем внутри (а, Ь). Поэтому из доказанной в $ 31 теоремы следует, что через каждую точку (хы у~',..., у ') в полосе а<х<Ь пространства (х, уь ..., у ) проходит одна и только одна интегральная линия системы (5.1). Действительно, при любых конечных а и Ь эту теорему можно непосредственно применить ко всякому параллелепипеду: а+е~хкЬ вЂ” е, — М ау<аМ, 1=1, .„, п, 142 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ !гл.

У резку ~[аь Ьв|, лежащему внутри (а, Ь). Таким образом, функции уг(х), ..., у„(х), составляющие решение системы (5.1), могут стать неограниченными, только если х-ьа илн х-+Ь. Если все ~~(х)=О, то мы будем называть систему (5.1) однородной (в этом случае в уравнении (5.2) имеем 1(х) = — 0), в противном случае — неоднородной. здддчи 1. Назовем нормой квадратной нлн прямоугольной матрицы сумму абсолютных велячнн всех ее элементов; норму матрицы А обозиачнм !!А1!.

Докажите, что 1)А+ В !1 » (1(А 11+ 1(В1, 11сА11=(с(!!А1 (с — число), !1АВ1! (!!А 1ИВ1. Покажите также, что если элементы матрацы А зависят от х н имеют правую (левую) производную, то н 11А(х)11 имеет правую (левую) производную, причем (Рэр!!А (х) 111~<!!РаРА (х) 11. 2. используя предыдущую задачу. оцените 1Ркзйу(х)11, где р(х) — решение уравнения (5.2); используя полученный результат и задачу 7 $12, оцените скорость возможного возрастаниа решения при «-ва нлн х-в-Ь! например, при хв(х(Ь х х х (у(х)!! < 11 р(хз))(ехр ) !! А(5)11 г!5+ 11((з)!!схр Ц (А(й)1 гвй ~ в(з. зв 3. Докажите, что если все ао(х) и (в(х) разлагаютса в ряды Маклорена с радиусом сходнмости, не'меньшим )Г)0, то и всякое решение системы (5.1) Разлзгаетси в ряд Маклорена с радиусом сходнмостн, не меньшим и.

Это утверждение доказывается так же, кзк аналогичное утверждение доказывалось в замечании к $17. Для всех аи(х) н Гв(х) выберите одну н ту же мажорирующую функцию. й 33. Основные теоремы для однородных систем 1-го порядка Пусть мы имеем пг решений однородной линейной сис- темы $ И! ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ 143 у<'> (х) у«~ (х) УСН (х) фм(х) = уов (х) Ую () у(юй) (х) у(ю) (х) (5.3) уем (х) У () Их линейной комбинацией мы будем называть вектор-функцию Сь у<В (х), ь 1 где Сь Св ..., С, —, некоторые постоянные. В частности, если все СЕ=1, мы будем говорить о сумме решений; если Сг= 1, СЕ= †и т=2, будем говорить о разности решений уй1(х) и у~м(х). Теорема 1.

Линейная комбинация решений одно- родной линейной системы является также- решением этой системы. Доказательство. Пусть мы имеем гл реше- ний (5.3) однородной линейной системы — — А(х)у =О, аг (5.4) т. е. — — ~~ ~ а» (х) у; = О, ( = 1,:, а. (5.4') с=~ Подставим в нее ~~" С„уна(х) вместо у., Тогда получим в левой части — лт ' С„уач (х) — А (х) ~~) ~ Се фм (х) = )тм Ч 144 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ 1~~ (' л ) л л С 1 " ( > — А(х)У1")(х)). Так как функции (5.3), по предположению, удовлетворяют системе (5.4), то при всяком к 12) — А (х) У12)(х) = О, лх а следовательно, — т'. САУ12) (х) — А(х) ~~~~ С,у!А) (х) т О, зл йГ 2=1 л =1 ~~ СА У1 "> (х) ж 0,(а ( х ( Ь).

А=! Определитель У1'>(х) у1)2)(Х) ... У1">(х) ( ) У!1) (Х) У12) (Х) ... у!л) (Х) у!2>(х) ... У1")(х) У1') (х) называется Определителем Вронского для системы век тор-функ)4ий у!'> (х) у!'>(х) у!2) (х) У1'> (х) у!'>(х) = у)а(х) = У„'2) (х) у!'> (х) что и требовалось доказать. О и р е д е л е н и е. Вектор-функции (5.3) называются линейно зависимыми на интервале (а, Ь), если существуют такие постоянные С), ..., С, среди которых есть по крайней мере одна отличная'от нуля, что имеет место следующее тождество: з ы> ОснОВные теоэемы для ОднОРОдных систем яв у>"> (х) у~">(х) (5.5) уья (х) ( л > ( «) Теорем а 2. Если вектор-функции (5.5) линейно зависимы, то их определитель Вронского тождественно равен нулю.

Эта теорема является непосредственным следствием известной теоремы алгебры. Теорема 3.'Если определитель Вронского 1Р(х) для системы вектор-функций (5.5), являющихся решениями системы (5.4), равен нулю хотя бы в одной точке х=хо, а(хо<(>, то эти вектор-функции линейно зависимы.

Характеристики

Список файлов книги