1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Траектория с началом внутри (вне) цикла ( вся целиком расположена внутри (соответственно вне) (; поэтому зр(т) имеет знак т. Докажем, что функция тр — возрастаюи(ая. Для это- го предположим противное, что тр(т1) )ф(тз) для неко- % 64! эвикция последования торых чь те~(а, р), причем т~<ть Тогда из сказанного в предыдущем абзаце следует, что т1 и тз отличны от нуля и имеют одинаковый знак — для определенности, оба положительны. Из неравенств ф(0) <ф(тз), ф(т1) ) »ф(т~) и теоремы о промежуточном значении непрерывной функции следует, что существует значение таем ен(0, т,), для которого ф(тз) =ф(т,). Но чз<ть и мы, тем самым, приходим в противоречие с единственностью траектории, проведенной через точку а(ф(тз)) в направлении убывания 1. Это противоречие и доказывает наше утверждение о возрастании функции ф на отрезке [а, р).
Рассмотрим поведение траекторий с наружной (внешней) стороны цикла 1, причем сначала предположим, что в достаточно узкой его окрестности других циклов нет. Тогда, считая р достаточно малым, получаем, что уравнение ф(т) =т при 0<т(~ не имеет решений и поэтому либо ф(т) <т(0<т (р), либо ф(т) >т (0<т<~). Предположим, что имеет место первый случай. Выберем произвольно тася(0, р] и определим т1= =ф(та), тз=ф(тл),.... Из предположения о ф(т) вытекает, что последовательность т„ ть тм ... положительная и убывающая и потому она имеет предел т ) О. Переходя в равенстве т;+~=ф(т~) к пределу при 1-эоо и пользуясь непрерывностью функции ф, получаем равенство т =ф(т, ), из которого следует, что т =О.
Итак, в наших предположениях траектория, проходящая через точку а(та) (т. е. произвольную точку дуги трансверсали с концами ам а(р)), прн своем продолжении в направлении возрастания 1, пересекает Ь в точках а(т;), расстояния которых от ае стремятся к нулю при 1-+.оо. Теперь применим теорему о непрерывной зависимости решения от начальных данных к решениям системы (7.2), удовлетворяющим начальным условиям х(,=в=а(т;), на интервале 0~1ч'.6, где 0 — любое значение, большее периода цикла 1.
Из нее следует, что н вся траектория 1м,м стремится к 1 при 1-~-+ос (бесконечное число раз обходя вокруг 1), т. е. расстояние от точки х(1; а(то)) до 1 при 1-~+ос стремится к нулю. Говорят, что 1 мп при 1-~+со спиралееидно приближается к 1 или нйвивается на 1. Таким образом, в при- [гл. У[1 автои омныв систвмы веденных предположениях вся наружная полуокрестность 1 целиком, заполнена траекториями, навивающнмися на 1 прн 1-» +оо.
(При продолжении же в сторону убывания,1 все эти траектории покидают рассматриваемую полуокрестность.) В этом случае цикл 1 называется устойчивым снаружи. Мы считали, что»р(т)<т(0<я<О). Нетрудно проверить, что если [р(т)>г (0<т кр), то любая траектория 1о[»,> (0<[го<(3) навивается на 1 при 1-»- оо.
Тогда говорят, что цикл 1 неустойчив снаружи. Аналогично исследуется поведение траекторий с внутренней стороны 1, т. е. при а~т<О. Здесь возможна устойчивость изнутри илн неустойчивость изнутри; мы предоставляем читателю рассмотреть эти случаи. Цикл, устойчивый с обеих сторон (снаружи и изнутри)., назыо в в Рис. 80 вается устойчивым; неустойчивый с обеих сторон — неустойчивым; устойчивый с одной стороны н неустойчивый с другой — полуустойчивым, Эти трн случая схематически показаны иа рис. 30.
Напомним, что приведенная классификация относится к изолированным циклам, т. е. таким, в достаточно узкой окрестности которых иет других циклов. Скажем коротко о неизолироваиных циклах. Если цикл 1 не изолированный, то уравнение»р(т) =т (а~т~ < р) имеет бесконечное число корней в любой близости от т=О. Множество Е этих корней замкнуто, как множество нулей непрерывной функции ф(т) — т. Каждому те=Е отвечает цикл 1,[,1, проходящий через точку а(т). Поэтому, если ф(т) = — т, то у 1 имеется окрестность, целиком заполненная циклами.
Если же в любой близости от т=О имеются интервалы вида у<к<6, где [р(1) =Ъ»р(Ь) =6, Ч1(т)Фт (Т<т<Ь),' то каждому тако- эункцня послвдовлиия $ эч] му интервалу отвечает кольцо, ограниченное циклами )жв и (,!и и заполненное траекториями, которые при. продолжении в одну сторону спиралевидно приближаются к (,!0, а прн продолжении в другую . сторону — к Это утверждение получается из рассмотрения функции последования ф на интервале (у,.б), и его доказательство мы предоставляем читателю. задачи 1. Докажите, что если в системе (7.1) прв л 2 функции !1 н непрерывно диффереицируемы, то и функцвя пооледоваиия непрерывно днфференцируема, Указание.
Опирайтесь на теорему о дифференцируемости. решения ро начальным даняым н теорему о неявной' функция. 2. Докажите, что если з условиях задачи ! ф'(0)чь1, то цикл, для которого построена функция ф изолированный, причем устойчивый, если ф'(О) <1, и неустойчивый, если ф'(0)>1. 3. Докажите, что в услозяях- задачи 1 значение ф'(О) ие зависит от выбора точки аещ! и траисверсали !.; именно (! — исследуемый цикл). Значение ф'(О) назызаетсн мультипликатором цикла 1; оно характеризует скорость приближения к ! (в расчете на одни оборот) соседних траекторнй при г-~+из (6-» — со), если ф'(О) <1 (соответственна ф'(О) >1). 4. Покажите на примере, что устойчивый предельный цикл может быть иеустойчивыи по Ляпунову.
Прн каких дополнительных. условиях устойчивость по Ляпунову.все же будет иметь место! б. Докажите, что если система (7.2) имеет устойчивый (неустойчивый) предельный цикл 1, то для любого е>0 существует такое б>0, что если правые частя системы (7.2) изменятся меньше чем на б, то в е-окрестности цикла ! существует по крайней мере один цикл измененной системы. Если таких цяклоз конечное число, то число устойчивых на единицу больше (меньше) чясла неустойчивых. Полуустойчнзый предельный цикл может пропасть, при как угодно малом иэмеиенви правых частей системы.
6. Рассмотрите структуру достаточной узкой окрестности ве. изолированного цикла. Докажвте; что в случае аналитических правых чаетей системы эта окрестность целиком заяолиена циклами или их частямн. 7. Определяте цоиятяе функцви последования на гладкой (л — 1)-мерной поверхности без контакта, если автономная система (7.2) задана в л-мерном простраистэц и установите связь втой АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ !гл, ЧН чйункции с циклами. Допустив, что отображеннц определяющее функцию последования, имеет в окрестности неподвижной точки главную линейную часть, сформулируйте достаточные, условия устойчивости соответствующего цикла. 8. Покажите, что в л-мерном пространстве при п)~3 (но не прн л=2!) траектория может иметь как в качестве ю-цредельного множества, так и в качестве, а-предельного множества один и тот же цикл.
Траекторнн, обладающие этим свойством, называются гоиоклияическнлл. $55. Теорема Бендиксона Для разыскания предельных. циклов при п=2 полезной оказывается следующая теорема И. Бендиксона, которую мы приведем здесь в несколько ослабленной форме (см. задачу 1). Теор ем а. Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области 6 нет точек покоя заданной системы (7.2).
Пусть все траектории, начинаюи(неся при 1=0 в 6, остаются там и при 1>0. Тогда в 6 имеется по крайней мере один цикл. -Доказательство. Выберем произвольно точку аен6; тогда по условию и вся положительная полутраекгория 1,+, т. е. линия х=х(1; а) (0(1<со), содержится в 6. Значит, го-предельное множество го1, траектории 1, непусто и содержится в 6; возьмем какую-либо точку Ьенго(,.
Если 1ь цикл, то получаем утверждение теоремы. Предположим теперь, что траектория 1ь незамкнутая, и приведем это предположение к противоречию. Для этого возьмем какую-либо го-предельную точку с траектории 1ь и проведем через с трансверсаль Л; тогда '1ь должна бесконечное число раз пересекать Е (почем)гу). Возьмем две последовательные точки пересечения й и е. Дуга ае траектории 1ь и дуга ед транс- версали Б вместе ограничивают некоторую область Н («мешок Бендиксона», заштрихованный на рис. 31), причем траектории, проходящие через точки дуги еа' трансверсали, либо- все входят в Н, либо все выходят из Н.
' Если траектории через дугу еа' входят в Н, как на рис. 31, то никакая траектория, попавшая при каком-то значении 1 в Н, не может при возрастании 1.покинуть Н. Так как точка е, как и каждая точка 1», го-предельная для 1„ то траектория 1„ начиная с некоторого 1, $ 65( ТЕОРЕМА БЕНДИКСОНА принадлежит Н. Но тогда, взяв на 1ь какую-либо точку Ае, предшествующую с( (рис. 31) и потому не принадлежащую Н, мы получаем, что д не может быть оз-предельной для 1„попреки свойству 2' из $53. Случай, когдй через дугу ес( трансверсали Ь траектории выходят из Н, мы'предлагаем читателю привести к противоречию самостоятельно с помощью рис. 32.
Та. Рис. Зх Рис. 81 ким образом, предположение, что траектория 1ь незамкнутая, приводит к противоречию, что и завершает доказательство теоремы. Приведенное доказательство существенно опиралось на то, что замкнутая линия на плоскости делит эту плоскость на две части. Оказывается, что при п~3 в условиях доказанной теоремы область 6 может не содержать ни одного цикла. ЗАДАЧИ 1. Докажите теорему Вендиксоиа и более' полной формулнроике: в услоаняк теоремы етого параграфа для любой точки аенй полутраектория 1+ либо представляет собой цикл, лабо спиралевидно приближается к некоторому цяклу. З.
Докажите, что система ~й~1 Охе б( = Хе+ ХŠ— ~1, = — Х1+ ХŠ— Хз У имеет по крайней мере. одян предельный цикл. Обобпгнте этот результат на системы аида Е(Х1 С'.Хе — = хе+ 1ре (хй, — = — х, + 1ре (хе1. Ш ' ек АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. Ч11 У к а з а н н е. Рассмотрите производную от функцян х[ + ха 2 по ! в силу заданной системы.
3. Докажите, что если прн л-2 некоторая траекторяя содер» жнт по крайней мере одну свою а- или а-предельную точку, то эта траектория замкнутая нли представляет собой точку покоя. Покажите на примере, что прн л~З это угверждеяне яесправедлнво. У к а з а и и е. При я=2 используйте «мешок Беядиксона». 4. (Тув Цзнньчжу.) Рассмотрите автономную систему прн л=2 дх» =й(хю ха), =)з(хю х»), (7.7) д[ ' ' б[ правые части которой представлшог собон многочлеиы не выше второй степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
