1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 5
Текст из файла (страница 5)
5 схематически изображено возможное по. ведение интегральных кривых в атом случае. Через точку А будут, например, проходить интегральные линии АВ1СН АВ1ВтСт, АВ1ВаСм ... Все они касаются прямой у= и~х. ЗАДАЧИ 1. Представьте картину поведения внтегральиык кривых уравнений су — еу †, ду у х У вЂ” е ех, — =ел, — =(Š—. сх ' бх. ' Ех х 2.. Докажите, что если все интегральные' кривые некоторога дифференциального уравнения подобны между собой с 'центром подобия в начале координат, то это уравнение однородно. а. Пусть функция Г(в) непрерывна при Ои.:и~ли причем 1[0) О, Г(п)Фи (0(и(яч). Раабернте есе случаи расположения ви- линеиные Уравнения тегральвых линей уравневня (2.7) в секторе 0~ — < — (х) 0).
у ао х 2 Опвраясь нз это, проведите полное нсследозанве расположения внбу Р(з(пф, омф) тегральных линий уравнения — = ., где Р н Я вЂ”- с(т О(з(п м, ом ф) мвогочлены от двух аргументов, а ф — полярный угоа. 4. Нанболее общее однородное ураввенве, заданное на всеЬ плоскостн х, у (кроме начала коордвват), имеет ввд — = Р(ф) ау ах (') $7. Линейные уравнения Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида — = а(х) у+ Ь(х). пу бх (2.10) где Р(~р+2м) Р(ф). Пусть функция Р(ф) аадана для всех е ж «непрерывна, но может обращаться з бесконечность> з смысле, аналогнчвом 4 2 (уточннте это услозне().
В каком случае можно Ф 1(~) перейтн к уравненню — = —, где функцнн 1~ н 1з непрерыз1я(т) яы (з обычном смысле), перводнчны с периодом 2н н не обращаются одновременно з пульт 5. Уравневяе (о) аадачв 4 после перехода к полярным коордннатам прнобретает ввд ао — = Ф(ф)р пф где фуюшня Ф(~р) обладает свойствами, указанными в задаче 4. для фующнн Р(ф). Этот последвнй ввд навболее удобен для веследояання решевнй. Пусть, з частвоств,' фувкщю Ф(ф) всюду конечяа.
Выясннте поведение ввтегральвых враных ураввеввя (о) прв вх безграничном продолженвн в заввсвмостн от знака ввтевт трала ) Ф(ф)йр. Что будет, если атот ввтеграл равен нулю? о Ну / ах+ау+с 6. Найдвте общее решенне ураввення — =1~ 1в бх 1 атх+Ьзу+ст 1 прн соответствующих .предположенвях, а также выясните картвну поведення ннтегрзльных лвняй. За ПРОСТЕИШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !гл. П Т е о р е м а. Пусть функции а (х) .. и Ь (х) непрерывны в интервале а<х<Ь. Тогда через каасдую точку (хь,уь) полосьь, определенной неравенствами а<х<Ь, — ФР <у<со, проходит одна и только одна интегральная линия этого уравнения, определенная при всех х на интервале (а, Ь).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Разберем прежде всего более простой случай †. линейное однородное уравнение — = а(х)'у. ее ел Это уравнение получается из предыдущего при Ь(х) жО и является уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому, замечая, что ~ — расходится ч л при у-РО, заключаем, что уравнение (2.11) имеет единственное решение, проходящее через точку (хь, уь).
Легко видеть, что это решение дается формулой у(х) =у,ехр Ца(й) йц1 (ехра — е'), Вернемся теперь к уравнениго (2.10). Применим так называемый метод вариации постоянной. Будем искать решение этого уравнения в виде л у(х) =гехрЦ а($)йч, (2.12) ле где г есть некоторая функция от х. Несложными вычислениями можно показать, что для того, чтобы (2.12) было решением уравнения (2.10), необходимо и достаточно, чтобы функция г(х) была дифференцируема и удовлетворяла уравнению — = Ь (х) ехр ~ — ~ а ($) йй1. вг РХ Для выполнения условия у(хо)=ул, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы г(хь) также равнялось уг. ЛИНЕИНЫЕ УРАВНВННЯ Поэтому нв последнего уравнения находим к к г(х) = де+]'Ь(з) ехр [ — ~а($) о» ]г(в.
Следовательно, функция к к у = х(х) ехр[~п(й) г(й] = уеехр [ [а($) г(й] + + ) Ь (в) ехр [ ) а (ф) с(й] с(а является единственным решением уравнения (2.10), которое обращается в уе прн х=хо. ЗАДАЧИ 1. Покажите, что уравнение лу — = а(х)у+Ь(х)ук ох (уравненне Бернуллн), если лчь1, прн помошн подстановки х у"' где й соответственно подобрано, приводится к линейному уравненню относительно х. (Прн пепелом л считаем, что у>0). 2. (О. А.
Олейнпк.) Пусть на отрезпе а(~х(~Ь даны непрерывные функция р(х), д(х) н г(х), причем р(а)=р(Ь)=0, р(х)>0 (аСхк Ь), д(х) >0 (а <х < Ь), ь а+к г оу — = ) — =-+со (ОСес:Ь вЂ” а). р(х) .3 р(х) к Ь вЂ” е Тогда все решепня уравнення еу р(х) — + ц(х)у=г(х), пх г(Ь) существующие на ннтервале а(х<Ь, стремятся к — прн х-г Ь. у(Ь) г(а) Средн втвх решеннй одно стремится к — прн х -+ а; другне же прв у(а) х - а стремятся к + оо нлн к — оо.
ля пРостеишие диььеРенцилльные уРАВнения 1гл. и в 8. Уравнения в полных дифференциалах Мы уже говорили (5 2), что часто бывает удобно записывать дифференциальные уравнения в следующей форме: М(х, у)с(х+)т(х, у)с(у=О (2.13) (1т' в этом уравнении и У в уравнении (1.3) обратны по знаку). Может случиться, что левая'часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции переменных х и у.
В таком случае дифференциальное уравнение (2.13) называется уравнением .в полных дифференциалах. Предположим, что функции М(х,у) и М(х,у) непре- дМ ду рывны н имеют непрерывные производные — и —. ау ах ' 'Тогда, как известно из 'курса анализа, необходимым и .достаточным условием, 'чтобы левая часть уравнения (2.13) была полным дифференциалом, является условие дМ дя! ду дх если только область б, в которой заданы М и )т, одно- .связка; это означает, что все точки, лежащие внутри любой замкнутой; не имеющей самопересечений лома.ной, расположенной в О, также должны принадлежать б. Для таких уравнений имеет место следующая Теорема. Пусть в прямоугольнике 1„1! а< к<Ь, с<у<И, функции М(х,у) и )т'(х;у) непрерывны вместе с их дМ дн частными производными — и —, причем всюду в Я ду дх ' .выполняется условие (2.14) и )т'(х, у) не обращается .в нуль.
Тогда через каждую точку' (хе,уе) прямоугольйика 1г проходит одна и только одна интегральная лиман уравнения (2.13) '1. '! Тек кек не уревненнн (2.13) следует, ето ерн сделанных от- в в) УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. зз Доказательство. Как было только что указано, в прямоугольнике (,) существует функция х(х, у), полный дифференциал которой равен левой части (2.13) (неизменность знака )т' при этом несущественна).' Но так как ))(ФО, то уравнение (2.13) можно переписать в эквивалентном виде: гу)(х, у) +гт'(х, у)у'=О, дг дг или с учетом равенств М ж —, )т'= — так: дх ду 4г(х, у(х)) г)х Поэтому функция у(х) является решением уравнения (2.13) тогда и только тогда, когда е(х, у(х))=С (С=сонэ().
Этому уравнению, если СФЕ(хо, у,), не может удовлетворять линия, проходящая .через точку (ха,уа). (Почему?) Если же Се к(ха,уа), то из теоремы о неявной функции следует, что уравнение (2.15) определяет линию, проходящую через точку (ха, уа), и притом только одну. Итак. теорема доказана. Заодно мы показали, что искомое решение определяется при помощи формулы Е(Х,-У) =Е(ха, Уа) ° (2.16) Разыскание функции х(х,у) сводится, как известно из курса анализа, к выполнению двух квадратур. Пример. Пусть поле направлений задано уравнением г( ~ — ) ~ хгтх + уг(у = О / хв+уа г в области 6, ограниченной сторонами двух квадратов, у которых центром служит начало координат, стороны параллельны координатным осям и имеют длину соот- дх носительно М н гт' предположениях — никогда не обращается в ду нуль в прямоугольнике О, то все проходящие внутри О интегральные линия уравнения (2.13) должны быть графиками фуинпий от х.
2 л. г. петровский З4 простиишие дна вигинциальныи ьиавнения ( и, и ветственно 2 и 4. Только что доказанную теорему нельзя применить сразу ко всей области 6 потому, что Ф(х, д) = — у обращается в нуль на оси Ох. Но эту теорему можно применять отдельно к прямоугольникам; — 2<х<2, 1<у<2, Щ: — 2<х<2, — 2<у< — 1, (га: 1-<х<2, †2<у, 4гч. — '2<х< — 1, — 2<у<2. В последних двух случаях надо применять предыдущую теорему, поменяв в ее формулировке роли х и у. Тогда, соединяя вместе результаты, полученные отдельно в каждом случае, мы докажем, что через каждую точку области 6 проходит одна и только одна интегральная кривая нашего уравнения.
Такой кривой будет проходящая через эту точку окружность с центром. в начале коо динат нли часть этой окружности. огда тождество' (2.14) не выполнено, иногда удается сравнительно легко привести дифференциальное уравнение (2.13) к виду уравнения в полных дифференциалах. Это -приведение выполняется с помощью интегрирдницего множителя )е(х, д) — такой функции от х и д, после умножения на которую левая часть уравнения (2.13) обращается в полный дифференциал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
