1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 13
Текст из файла (страница 13)
На рис. 12 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [га. и! Ф! ограничено линией 1!. По условию 4 диаметр Ф! не больше тг(. Применим теперь оператор А к «точкам» множества Ф!, Получим множество Фз, целнком заключенное в Ф„потому что уже прн действии этого оператора на Ф получаются только «точки» Ф!, прн действии же А на Ф!, т.
е. на часть Ф, конечно, не может получиться ничего, кроме «точек» нз Ф,. По условию 4 диаметр Фз не больше чем тзг(. На рнс. 12 Фз ограничено линней 1з. Продолжая этот процесс, получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств Ф, Ф[, Фз, Фз, ..., диаметры которых стремятся к нулю. Поэтому общая часть всех этих множеств будет состоять только нз одной точки, которая, очевидно, будет оставаться неподвижной прн действии оператора А. Двух «точек», которые оставались бы неподвижнымн прн действии оператора А; быть не может, потому что тогда «расстояние» между ними оставалось бы нензменным н положительным после операции А, а это протнворечнт условию 4.
ЗАДАЧИ 1. Пусть Р— замкнутая ограниченная часть л-мерного пространства отображается в себя посредством оператора А так, что всегда прн равд р[А (р], А (л)] <р[р, о]. (е] Здесь р[р, д] -расстояные между точками р ы о. Докажите, что прв этом только одна точка остается неподвижной. Верно ли это Ллн незамкнутых ограниченных множеств? Для замкнутых неограниченных множеств? 2. Докажите, что если неравенство (Е) заменить неравенством р[А(р), А(д)]~лгр[р, я] (О«,.гл<1), то теорема о существовании неподвижной точки верна для любых замкнутых множеств (даже неограниченных).
Верна лн она для незамкнутых ограннчеыных множеств? 3. Пусть неравенство (е) заменено ыеравенством р[А(р), 'А(ч)]<р[р, 4] (ие) Докажите, что тогда теорема о существовании неподвижной точки верна для случая, когда г" — отрезок прямой иля контур равнобед- ТЕОРЕМА КОШИ З !т1 ренного прямоугольного треугольника, н неверна, если г — окружность. Если р означает наименьшее расстояние. измеренное по контуру, то теорема не будет верна н для контура прямоугольного равнобедренного треугольника. Теорема прн предположении (зе) верна также для любого выпуклого замкнутого ограниченного множества (для доказательства надо рассмотреть вспомогательное преобразование подобия).
Приведите пример замкнутого ограниченного множества, для которого возможно отображение, удовлетворяющее неравенству (ез), не имеющее неподвижных точек н не сводящееся к движению; может лн быть таким множеством окружиостьг 4. Пусть ф(х) — непрерывная функция, заданная иа отрезке а: х~Ь, причем а~о(х)(Ь. Докажите, что тогда найдется значение хе.(ач~хе<Ь), дли которого ф(хе)=хе Эта теорема может быть выражена так: при непрерывном отображении отрезка в себя существует по крайней мере одна иеподвшкнаи точка.
Отметим, что аналогичная теорема справедлива н для п-мерного шара (см. $59) . б. (О. А. Олейник) Пусть функция /(х, у) ( — со<х<сс, — се<у<со) иепрерывяа, удовлетворяет условию Лнпшвща по у, причем 1(х+Т, у)ив((х, у) для некоторого положительного Т н 1(х, уД((х, уз)<0 ( — сс<хчйез) для некоторых у, н уз. используя задачу 4, докажите, что тогда уравнение (3.2) выест по крайней мере одно перводическое решение с периодом Т, Примените зту теорему к уравненвю у' а(х)у+Ь(х), если а(х) н Ь(х) — непрерывные 'периодические функции с периодом Т, причем а(х)~0.
$17. Теорема Коши о дифференциальном уравнении у'=1(х, у) с голоморфной правой частью Если функция )'(х, у) голоморфна в окрестности точки (хо, уо), то существует, и притом только одно, решение дифференциального уравнения — = Т(х, у), (3.18) голоморфное в окрестности точки хс и удовлетворяющее условию у(хо) =ус. Функция Е(хь ..., х ) называется голоморфной по всем своим аргументам в окрестности )хг — хг ~<г (1=1, ..., и) точки (х1, ..., х„), если в этой окрестности она разлао о Рвется в степенной ряд по (х1 — х1), ..., (х,— х,'). о о, овщая-тногия г авнении Как ее аргументы, так и сама функция могут принимать при этом не только действительные значения, но и комплексные, Производной от голоморфной функции Р(хь ..., х ) по комплексному аргументу ха называется функция, представляемая рядом, который получается почлеиным дифференцированием ряда, представляющего Р(хь ..;, х„).
Так полученный ряд имеет по крайней мере такой же радиус сходимости, как и ряд, которым представляется Р(хь ..., х,) (см., например, Г. М. Ф ихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969, т. 2, с. 450). Если Р(хь ..., х„) и хь ..., х принимают только действительные значения, то определенная так производная совпадает с обычной. Все обычные правила дифференцирования суммы, произведения, функции от функции и т. д.
при этом сохраняются. Во всех рассуждениях настоящего параграфа совершенно безразлично, принимают ли рассматриваемые величины только действительные значения нли они принимают также и комплексные значения. Исторически доказательство теоремы Коши было первым доказательством существования и единственности решения, принимающего при х=ха заданное значение дм для дифференциального уравнения довольно общего вида.
Ограничиться только этим доказательством нельзя было потому, что требование голоморфности рассматриваемых функций часто бывает весьма искусственным. Очень многие вопросы физики приводят к дифференциальным уравнениям, правые части которых пеголоморфны. Доказательство теоремы Коши. Предварительно заметим, что без ограничения общности можно считать хз=да — — О, так как общий случай можно привести к этому, полагая х — хз=х' и д — дз=д'. Допустим сначала, что данное уравнение имеет голоморфное решение, обращающееся в нуль при х=О. Пусть оно представляется рядом д = Са+ С~х+ С~ха+ ... Тогда, очевидно, должно быть Сз=д(О) =О. Подставляя этот ряд в уравнение (3.18) вместо д, дифференцируя полученное тождество по х один, два, три и т.
д. раз теОРемА кОши $171 и сравнивая значения обеих частей полученных тождеств при х=у=О, замечаем, что коэффициенты С~ будут последовательно, вычисляться следующим образом. с,=д'(о) =у(о,о), \ 2Св = у" (0) = ~„' (О, 0) + 7' (О, 0) у'(0) = = У,'(0,0)+ У„'(0,0) С,,' 2 3 Са — — у'*'(0) = Д,(0,0)+2~„'„(0,0) у'(0) + + Г„„(о,о) р'(о) + Р;(о,о) р" (о) = = Уеа(0,0)+27" (О, 0) С,+7 (О, 0) С',+У' (0,0)2С, > (3.19) о Здесь мм попьауемся теоремой о вазможности подстановки ряда в ряд (см., например, Г. М. Фихтенгольц.
Там же, с. 485— 487) . и т. д. Отсюда видно, что коэффициенты С~ определяются однозначно и, следовательно, голоморфных решений нашего уравнения, обращающихся в нуль при х=О, не может быть больше одного. Кроме того, для дальнейшего важно отметить, что коэффициент С; разложения в ряд по степеням х решения р(х) выражается через коэффициенты разложения в ряд по степеням х и у функции 1(х, у) и С» Сь ..., С; » и притом только при помощи действий сложения и умножения.
Чтобы доказать существование решения уравнения (3.18), составим формально ряд по степеням х с коэффициентами С» определяемыми равенствами (3.19). Если этот ряд, который мы будем обозначать римской цифрой 1, сходится, то он и будет, очевидно, представлять требуемое решение.
Действительно, тогда при подстановке вместо у в уравнение (3.18) 'этого ряда при разложении правой части в степенной ряд по хп коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях будут одинаковымн; Для доказательства сходнмости составим вспомогательное уравнение — = г" (х,г), (3.20) ох овщая таогия уРАВненин 1гл. И1 правая часть которого также голоморфна в окрестности (О, 0), причем все коэффициенты разложения Р(х, х)' неотрнцательны н не меньше по абсолютной величине соответствующих коэффициентов в разложении 1(х, у). Уравнение (3.20) называется мажорирующим для уравнения (3.18), а функция Р.(х, х) называется мажорирующей (илн мажорангой) для ((х, у)'. Если 1(х, у) голоморфна в окрестности (О, 0)' ! х! <г Ь! <г можно, например, положить где 0<г'<г, а М вЂ” некоторое положительное постоянное (см., например, Г. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
