1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Методы решения дифференциальных уравнений Методом математической индукции нетрудно показать, что все решения уравнения ранг = дх), где у(х) — заданная непрерывная на (а,~9) функция, валяются формулой (х — х )" где СВ...,ф— произвольные постоянные. Пусть теперь задано уравнение вида Г(х,р ) = О. (5) Это уравнение будем решать методом введения параметра аналогично тому, как это делалось в предыдущем параграфе. Предположим, что уравнение г'(х,р) = О, где х,р — декартовы прямоугольные координаты.
задает кривую иа плоскости Л~~~,, для которой еир известно ее параметрическое представление х = Ег(г), р = р(г), г Е Х, причем ~р'(Г) и чт(Ф) — непрерывны на промежутке Х. Тогда уравнение (5) зквивалептно системе < г(х,р) = О, Ир' = р4х. Первое уравнение системы удовлетворяется тождественна на промежутке Х. Подставив параметрическое представление кривой во второе уравнение системы, получаем Ф' = Ф(г) . 4(г) ~н, откуда р' = ) г(г(г)~о'(~)~й+ Сг ш м(г,С1). Из етого равенства Ну = и'йх = м(г, С1) у'(1)~Й, откуда р = ) и(г, Сг)~р'(ь)оь + Сг ш и(ь, См Сг). Значит, функции х = у(г), р = ш(ь,СВСг), где й Е Х, С1 и Сг — произвольные постоянные, задают множество параметрических решений уравнения (5).
Пример 2. Решить уравнение х = — ~. ~/1 '-в" г Ь Положим ун = р. Тогда уравнение эквивалентно системе < х= — А —, ~~~- г ' Ыу' = рИх. Кривая х = — Ф вЂ” парамстризуется уравнениями х = зшг, р = сйг, ~~„~>2 где Ф Е (-уи, уи). ВыРазим У чеРез паРамстР а Из 2-го УРавпепнЯ системы имеем 4р' = Сйг совам = гйпгЖ. З 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка Отсюда у' = С~ — созе и, значит, Ыу = у'~Ы = (С~ — сов 1) соз Г ~11, 1 1 у = Сз+ С~ э!пг — -г — — зш2й 2 4 Параметрические решения исходного уравнения задаются формулами 1 1 х = сйпс у = — -г — -в1п21+ С~ зшФ+ Сз 2 4 Ф где С~ и Сз — произвольные постоянные и 1б ( — ~2, 2~).
Аналогичным образом метод введения параметра применяется и для решения уравнений Р(у,у") = О, Р(у',у") = О и т.п. Другим основным методом решения уравнений (4) является метод понижения порядка уравнения. Перейдем к рассмотрению основных типов уравнений (4), допускающих понижение порядка уравнения. После понижения порядка уравнения (4) получается уравнение первого порядка, к которому следует пытаться применить известные из предыдущих параграфов методы решения.
1. Пусть уравнение (4) ие содержит у, т.е. оио имеет вид Р(х,у',уа) = О. Тогда замена у' = х(х) дает уравнение первого порядка относительно новой неизвестной функции з(х): Г(х,з,з') = О. Если функция х = 1а(х, С~), С~ — параметр, задает его решения, то функция у = ~ у (х, Сдд + Сз, где Сз — произвольная постоянная, задает решения исходного уравнения. Нетрудно видеть, что в этом случае уравнение (4) эквивалентно системе < Р(х,з,х') = О, у' = з. Пример 3.
Решить уравнение т/'(еа + 1) + у' = О. Ь Положив у' = з(х), получим уравнение для з(х) з (е' + 1) + з = О, Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными легко интегрируется. Находим х(х) = С~(1+ е "). Отсюда у = С~(х — е *) + Сз, где С~ и Сг — произвольные постоянные. А 46 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений П. Пусть уравнение (4) не содержит х, т.е. оно имеет вид Р(у,у',уа) = О. Будем считать, что у = сопзг не является его решением. В таком случае примем у за новый аргумент и введем новую неизвестную функцию «(у) по формуле у' = «(р).
Тогда 4р' Ну' Иу Ил уя= — = —.— = — «(у)=«« ох ~~у с~х с у и в этом случае получаем уравнение первого порядка г'(у,«,««) = О, так как « ~ О. Если у = сол«г, то нельзя брать р в качестве нового аргумента. Поэтому, принимая у за новый аргумент, всегда следует проверять, не теряем ли мы прн этом решений вида у = сопэп Пример 4. Решить задачу Коши: у + (2+ 4уг)р'з 2уугг 0 у(0) 1 у (0) О, Заметим, что у = сопзг не может быть решением задачи Коши. Пусть далее у гй сопзй Положим у' = «(у) Р О. Тогда уа = « .
«' и для функции «(у) получаем уравнение Бернулли «~+ (2+ 4уг)«з 2у«г 0 с начальным условием «(1) -'. Замена и = --,' зту задачу Коши сводит к следующей задаче Коши для линейного уравнения первого порядка: и'+ 2уи+ 2+ 4уг = О, и(1) = -2. Общее решение этого линейного уравнения и(у) = Се " — 2у. Из начальяого условия находим, что С = О.
Итак, и(у) = — 2у. Отсюда у' = « = — „— ' = ф, что дает уг = х+ С. Из начального условия у(0) = 1 следует С = 1. Учитывая, что у'(0) = ~~, находим, что у = ~Гх+ 1 является решением исходной задачи Коши. А П1. Функция Р(х, у, ум уг) называется однородной функцией степени пг относительно переменных у, ум уг, если для любой точки (х, у, ум рг) б с ' и любого такого значения параметра г, что (х,гу,гуг,гуг) й 6, выполнено условие Р(х,гу,гу1,йуг) = г™г(х,у,уму«). Здесь гп — некоторое фиксированное число.
Уравнение (4) называется однородным уравнением относительно переменных у, у', р", если Р(х,у,умуг) — однородная функция степени пь относительно переменных у, ум уг. З 4. Дифференциальные уравнения высшего поряака Если уравнение (4) является однородным относительно р,р',р", то его порядок понижается с помощью замены у' = у. х, где» = х(х) — новая неизвестная функция. Действительно, при такой замене получаем: р"=у' +у»'=ух +у» =у(»+г), 2 ! / 2 Р(х р у',у) = Р (х р ух у(х+ хг)) = у~Р(х 1х г+ х~) = О. Здесь мы воспользовались однородностью функции Р при г = у.
Если н! > О, то получаем решение у = О. Если же у ф О, то имеем длн функции г уравнение первого порядка Р(х,1,»,»У+ »2) = О, Если множеством его решений является х = ч!(х,С!), где С! — параметр, то формула у = Свекр [( р(х,С!)ох1, где Сз — произвольная постоянная, дает множество решеннй уравнения (4).
Пример 5. Решить задачу Коши уу" + уу'Сйх = (1 — вшх)(у')г, у(0) = 1, у'(О) = — 2. Ь Нетрудно убедиться в однородности уравнения по у,р',у". При рекомендованной замене р' = ух, у" = у(х'+ х~) получаем уравнение первого порццка ~т(х' +»г) + ргх гя х = (1 — в!и х)р~х~, Функция у = 0 — реп!ение уравнения, но не решенне задачи Коши. Если у ~ О, то получаем уравнение Бернулли »~+ вснх = -х в!пх с начальным условием г(0) = -2. Замена и = —, дает линейное урав! пение о — игйх = в!пх с начальным условием и(0) = -у. Нетрудно найти, что и =,—— ! с -совх — общее решение уравнения и что из начального условия сле! дует С = О.
Значит, и = -х совх и поэтому е- = — —. Отсюда ! 3 у сов г 1 — в1пх у=С 1+ьйпх Из начального условия у(0) = 1 следует С = О. В силу этого функция 1 — в!пх у= 1+ в!пх является решением исходной задачи Коши. Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений 1Ч. Пусть существует такая непрерывно дифферепцируемая функция Ф(х,у,у'), что для всех х,у,у',ув справедливо тождество Р(х, у, у', ув) = — Ф(х у, у'). Тогда уравнение (4) называется ураннением в точных производных. В таком случае, очевидно, уравнение (4) эквивалентно уравнению первого порядка Ф(х,у,у') = С.
Уравнение (4) в точных производных является, очевидно, обобщеинеьт уравнения в полных дифференциалах иа случай уравнений второго порядка. Действительно, если уравнение Р(х,у)~Ы + С(х,у)ду = О является уравнением в полных дифференциалах, то для некоторой не- прерывно дифференцируемой функции Ф(х,у) имеем тождество Р(х, у) Йх + Я(х, у) Ыу = ИФ(х, у).
Отсюда Р(х,у,у') ж Р(х,у) + С(х,у)у' = ' = О. НФ(х, у) пх Как и в случае уравнения в полных дифференциалах, для уравнения (4) можно указать критерий тою, что уравнение (4) является уравнением в точных производных, и метод построения функция Ф(х,у,у'). Однако мы не будем касаться здесь этого вопроса. Иногда уравнение (4) становится уравнением в точных производных лишь после его умножения на некоторую функцию д(х,у,у'). В таком случае функция д(х,у,у') называется интегрирующим множителелт уравнения (4). Мы не будем касаться метода нахождения интегрирующего множителя д(х,у,у') для уравнения (4) в общем виде, а ограничимся рассмотрением примеров. Пример 6.
Решить уравнение уув — у~ = у'. Ь Заметим, что у = С вЂ” решение. Пусть далее у ~ О. Разделив обе части уравнения па у~, получим уравнение в точных производных Отсюда у- = — -'+ Ст или у' = С1у — 1. Если Ст = О, то имеем к и у = -х+ Сз, а если С1 ть О, то имеем линейное уравнение первого порядка, решениями которого будут функции у = Сзещт+ ~~, где С1 э~ О и Сз — произвольные постоянные. А г 4. Дифференциальные уравяеиия высшего порядка Пример 7. Решить задачу Коши ху» = у'+ 2хгуу', у(1) = 2, у'(1) = 4. Ь Уравнение запишем так: хуе — у' г — 2уу илн ~'— ) =(у).
хг 1х) Отсюда у' = ху + С1х. Из начальных условий следует, что С~ = О. вг Следовательно, — „- = — *+ С. Из начального условия находим, что г С = -1. Значит, — = 1 — *— является решением исходной задачи 1 г Коши. А Ч. Функция Р называется обобщенно-одпородной степени гп, если существует такое число /с, что для любой точки (х,у,умуг) б С и длл любого значения параметра 1, для которого (гх,гау,г" 'ум 1~ гуг) б С, выполнено условие Р (сх~ » Уг г уг ~ Уг) — с Р(х~у У1 рг) Уравнение (4) называется обобщенно-однородным, если функция Р(х, у, ум уг) является обобщенно-однородной.
Покажем, что если уравнение (4) является обобщенно-однородным и в области 6' х > О, то его порядок понижается на единицу с помощью замены переменных х=е", у=ее", где и — новый аргумент, в = в(и) — новая искомая функция. Если же х < О, то полагаем х = — е". Действительно, найдем сначала выражения у', у" через новые пере- менные. Имеем: У' = — = — .
— = (и е + йие ")е " = (е'+ йо)е йу ~1у г1и ь к — <ь- О, Их ди ~(х %-!'»1 у = — = —. — — — '(и +йс)е' — 1»',-» йх Ыи с(х Ии 1 = (е ~ + (2)с — 1)е + Ь(й — 1)э] е1ь-г)» Подставив выражения х,у,у',у" в новых переменных и,е в уравнение (4) и воспользовавшись определением обобщенной однородности уравне- ния при Г = е", получаем О = р(х, у,~/,уе) = Р(е»,ось», (е~+ йе)е1ь [и»+ (2)г — 1)е'+ )г(й — 1)и! е(е г)") = = е "Р (1,е,е'+ йэ,ее+ (2Й вЂ” 1)»'+ к(lг — 1)и) . Отсюда получим уравнение, не содержащее аргумента и, которое соглас- но п. П допускает понижение порядка на единицу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
