1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Рассмотрим уравнение /В (х), х<п, (Р,„(х), я = и. Взяв нулевые начальные условия для этого уравнения у(О) = у'(О) = " = у<"-'>(О) = О, получаем единственное решение вида у(х) = х Я (х). Замечания. 1) Практически укаэанное в теореме решение всегда ищут методом неопределеннык коэффициентов, т.е. полагают 9(х) = хь(дохм+ ° ° . + )еэх и неизвестные коэффициенты до,..., О,„находят подстановкой у(х) в уравнение (4). В силу доказанной теоремы получающаяся линейная система для оо,...,дм однозначно разрешима.
2) Предположим, что все коэффициенты аы...,а„в уравнении (1) действительны н у (х) = е * [А(х) соэ Вх + В(х) э1п 13х), где А(х) н В(х) — многочлены с действительными коэффициентами и степень одного из них гп, а другого не больше гп, а и (3 — действительные числа. Из доказанной теоремы следует, что решение уравнения (1) в этом случае нужно искать в виде у(х) = хьеа* [С(х) сов)3х+ Р(х) з!п)3х[, где С(х) и Р(х) — многочлены степени пз с неопределенными коэффициентами, а х равно кратности корня а+ Ц уравнения Х(Л) = О, если число и+ 113 — корень Ь(Л) = О, и я = О, если число а+1)3 не являетсв корнем Р(Л) = О.
Это правило получжтся в силу того, что по формулам Эйлера Дх) можно представить в виде 1(х) = е1 +'З1хЕ(х) + е1 нй 'г (х) где Е(х) и г'(х) — многочлены. Из принципа суперпозиция и доказанной теоремы следует, что решение (1) можно искать в таком виде, есле и х э13 — не корни ЦЛ) = О. Если же их 113 — корни Б(Л) = 0 кратности 1 3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 69 й, то решение приобретает еще множитель х".
Далее остается вернуться к тригонометрическим функциям. 3) Термин «резонанс» возник в теории колебаний. Например, при изучении вынужденных колебаний гармонического осцнллятора без учета силы сопротивления среды под действием внешней гармонической силы приходят к необходимости решать уравнение й(1) + ыгх(1) = Г сов иа В этом уравнении х(с) — неизвестная функция, У = ф, ы ) О, и ) О, Г ~ О, 1 — время. Соответствующее линейное однородное уравнение х+ы х=О, квк известно (см. приыер 2 з 2), имеет общее решение х(г) = Ас«ж(юг+ э»), где А и ч« — произвольные постоянные.
Если найти какое-либо решение хв(1) исходного уравнения, то его общее решение имеет вид х(1) = Асов(ыг+ у) +хе(г). Для нахождения хе(1) удобно сначала найти частное решение уе(1) уравнения у + ы у = Геьэ . Тогда, очевидно, хв(г) = Веуо(8). Если и ~ ы, то согласно доказанной теореме ув(1) = Ае'"«. Чисцо А находится подстановкой уэ(г) в уравнение: А= ыг иг Реь« Итак, при и ф «и ус(1) = -„Щ-„т и, значит, хо(г) = уу==сг«. Если же и = ы, то согласно доказанной теореме ус(г) = Асс«»и«, где подстановка уе(1) в уравнение дает А = Е';;. Отсюда находим, что в этом случае хэ(1) = Цв1пый Из общего решенив исходного уравнения теперь ясно, что в случае и ~ ы все решения ограничены, а в случае и = «э все решения неограничены из-за вида хо(1), т.е, вынужденные колебания гармонического осцнллятора становятся неограниченными. Когда собственнан частота колебаний ы совпадает с частотой колебаний внешней силы и, то гаков явление в теории колебаний называют резонансом.
Явление резонанса широко используется в технике. 4) Наконец, отметим, что в том случае, когда 1(х) в уравнении (1) представляет собой конечную сумму квазимногочленов, частное решение (1) находят с помощью принципа суперпозиции и доказанной теоремы. Прн произвольной 1(х) в уравнении (1) частное решение (1) находят, Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения как правило, методом вариации постоянных. При и = 1 этот метод был изложен в главе 1, а при и ) 1 метод вариации постоянных будет изложен в главе Ч1.
Пример 1. Решить уравнение у(~ ~ — 2у"' — Зу" = 8зпх+1Охе*. В Найдем сначала общее решение линейного однородного уравнения у( 1 — 2уьт — Зуэ = О. Характеристическое уравнение Л вЂ” 2Л вЂ” ЗЛ = О имеет корни Л~ = з г Лз = О, Лз = — 1, Л» = 3.
В силу этого общее решение линейного однородного уравнения у = С~ + Сзх + Сзе™ + С»ез*, где Сы Сг, Сз, С» — произвольные постоянные. Правую часть исходного уравнения можно преобразовать к виду (!Ох+ 4)е* — 4е *. В силу доказанной в этом параграфе теоремы и принципа суперпозиции для исходного уравнения существует единственное решение уо(х) вида Ъо(х) = (уэх+В)е*+гхе *. Подставляя уо(х) в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и одинаковых экспонентах, находим коэффициенты дз, йм г.
В результате вычислений получаем уэ = -1, 1 ф= — —, г=1. 2' В итоге общее решение исходного уравнения задается формулой у = С~ + Сзх + Сзе ~ + С»езх — (х + — е + хе ~. 2/ Пример 2. Решить уравнение у< > — 2уьэ+2у" = 10сов х+5(хе* — 1). Ь Найдем общее решение линейного однородного уравнения П~) — 2ум + 2уэ = О.
Характеристическое уравнение Л" — 2Лз+ 2Лз = О имеет корень Л = О кратности два и корни Л = 1 ж (. Тогда общее действительное решение линейного однородного уравнения имеет вид у = С~ + Сзх+ Сзе' созх+ С»е*ьбпх, где Сп Сы Сз, С» — произвольные (действительные) постоянные. ЭЗ. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами Т1 Правую часть исходяого уравнения преобразуем к виду 5сов2х+ 5хе*. В силу принципа суперпозиции и п.
2 замечаний после доказанной в этом параграфе теоремы частное решение уо(х) исходного уравнения необходимо искать в виде уе(х) = а сов 2х + 6 в1п 2х + (Н1 х + Нг)е*. После подстановки уе(г:) в исходное уравнение получаем, что а = 5, 1 6 = 4 а1 = 5, Иг = — 10. Следовательно, общее (действительное) решение исходного уравнения задастгл формулой 1 1 у = С1+ Сгх+ Сэе совх+ Спе" э!пх+ — соэ2х+ — эш2х+ (5х — 10)е*. 1 8 4 В заключение отметим, что решение уравнения (1) при любом начальном условии 9(хо) = Уо, У (хс) = Ум ° ° ° У (хе) = 9 -т (и-1) (6) где хе Е Х, а уе,уы...,уп 1 — произвольные числа, всегда существует и единственно в том случае, когда все корни Лм...,Л„характеристического уравнения т'(Л) = 0 попарно различны.
Докажем это. Из формулы (3) получаем, что общее решение уравнения (1) в рассматриваемом случае имеет вид У=Сте ' +'''+Спе" +У(х) где Сы..., ф— произвольные постоянные, а у(х) — частное решение уравнения (1). Подставив общее решение в начальные условия (6), находим линейную алгебраическую систему для определения См...,С„.
Она имеет внд: Сте~'пп + ' + Спе""*' = уе — у(хо) С1Л1еыпо .1.. + СпЛчел па ут у~(хе) С1Л" ~с~'пп+ . +СпЛп 'е~"'и = у„— 91п 11(х ) Определитель этой системы равен е1"'+"'+" 1пп 'гу(Лн..., Л„), где )У(Лн...,Л„) — определитель Вандермонда, который, как известно, всегда отличен от нуля при попарно различных Лм...,Л„. Следовательно, линейная система допускает единственное решение для Сн...,С„. Значит, при заданных условиях на корня Ь(Л) = О задача Коши (1), (6) всегда однозначно разрешима.
Глава 2, Лииейиые дифферевцяальвые уравиевяя ьгпражнеиня к главе 2 1. Найти все действительные решения уравнения: а) у'и+ 2у" + бу' 2х — 1?з!п2х, б) у"' — Зу" +10у' = 13созх+ 10х, в) уш+ ум — 2у" = Зев+ 32езь г) уг~ — Зу" — 4у = 24 сов 2х + 20ез*, д) у~~+2у" +у = 1Зз1п х+ Ззш2х+ ха.
2. При каких действительиых а все решения уравнения у'+у = совах ограиичеиы при х Е ( — оо, +со)? 3. Найти едиистве~шое периодическое с периодом з— " решение уравнения у" + 2ау' + Ьзу = соз ых, где ы > О, 0 < 2а < 6. При каком а амплитуда етого решения макси- мальиа? Глава 3 Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами В этой главе будем считать, что все встречающиеся функции могут при- нимать комплексные значения. В 1.
Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами. Общие понятия и метод исключения Нормальной лннейной системой с постоянными коэффициентами порядка п > 2 называют систему линейных дифференциальных уравнений вида э й!($) = ~а!ухг(1) + Х!(1), ! = 1,п. (1) т=1 Здесь: ! — аргумент; я!(1),..., з„(Ф) — неизвестные функции; ау — заданные комплексные или действительные числа, называемые коэффициентами системы, !)у = 1,гь; ЯГ),...,у„(г) — заданные комплекснозначные функции, называемые свободными членами системы; й;(1) = ф, ! = 1,п. В дальнейшем всегда будем считать, что функции у!(1),...,Д,(1) — за данные непрерывные функции на некотором промежутке Т числовой оси В!. Заметим, что число уравнений системы (1) равно числу неизвестных функций. Запись нормальной линейной системы (1) становится значительно проще, если воспользоваться матричными обозначениями. Пусть матрица А= ~(а!!(), в,б =1,и, Тогда нормальная линейная система (1) записывается в виде одного уравнения й(1) = Ат(1) + у(г).
(2) ! 4 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений Линейная система (2) называется линейной однородной системой, если ДС) гв 0 яа промежутке Т. В противном случае система (2) называется линейной неоднородной снстелюй. Решением нормальной линейной системы (2) будем называть всякую вектор-функцию х = !о(1) с и комплекснозначными непрерывно дифференцируемыми на промежутке Т компонентами 1о!($),...,ч!„($), если !о(1) ш Аьг(1) + Д!) на промежутке Т. Для нормальной линейной системы (2) можно ставить задачу Коши, т.е. задачу с начальным условием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
