1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть го б Т и пусть хо — некоторый комплексный и-мерный вектор. Рассмотрим начальное условие х(го) = хо. (3) Задача Коши для системы (2). Найти решение системы (2), удовле- творяющее начальному условию (3). В 3 4 настоящей главы будет установлено, что задача Коши (2), (3) всегда однозначно разрешима.
Пусть Š— единичная матрица порядка и. Введем в рассмотрение (см. 3 1 главы 2) оператор дифференцирования;Р, действующий из множества Сг(Т) всех непрерывно дифференцируемых функций на Т во множество ь.(Т) всех непрерывных Функций на Т, и определитель !(е1(ЕР— А) ш ЦР), представляющий собой дифференциальный много- член степени и. Метод исключения для системы (2) основан на следующем утверждении.
Теорема. Пусть вектор-функция ДФ) (и — 1) раз непрерывно дифференцируема на промежутке Т и пусть т = !р(1) — решение системы (2) на променад!яке Т. Тогда необходи.мо коокдая компоненп!а рь(Г), к = Т, и, решения (1) удовлетворяегл на Т линейному дифференциальному уравнению порядка и с постоянннми коэффициентами вида Ь(Р)~рь(1) = дь(!), к = 1,п, (4) где кос!сдал функция дь(г) предстпавляет собой некоторую линейную комбинацию у!($), °,У (1), У! (Г) ~д ($). О Обозначим через Ьы(Р) алгебраическое дополнение элемента с номером г,й определителя Ь(Р),г,к = 1,п.
Алгебраические дополнения 1!ь(Р) представляют соГюй дифференциальнь|е миогочлены порядка ие более чем (и — 1). Так как х = Зг(1) — решение (2), то на промежутке Т имеем и тождеств: н [БВР— ау)р,(С) ж Л(1), ! = 1,п, ьы "11. Нормальные линейные системы с постояияыии коэффициентами 75 где б; — символ Кронекера. Дифференцируя зти тождества (и — 1) рвз, что возможно в силу условий иа Я8), убеждаемся в том, что все агу(Г) и рзз непрерывно дифференцируемы.
Как известно, правила умножения дифференциальных миогочленов такие же, как и правила умножения обычных многочленов. Следовательно, можно умножить слева 1-е тождество на 5~,(Р) и просуммировать по всем 1 = 1,и. Получаем ~~(АР— й)ьш(Р)ру(С) = ~ьсь(Р)У;(Г).
Воспользуемся тем свойством определителя, что сумма произведений всех элементов некоторого столбца определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другого столбца либо равна самому определителю в случае совпадения столбцов, либо равна нулю в случае несовпадения столбцов. В результате находим, что Метод исключения для решения линейной системы (2) состоит в том, что ищут сначала решения ~рь(с) каждого из уравнений (5) г=1 предполагая, что ЯГ), 1 = 1,п, имеют достаточное число производных. Пусть хь(1) = Су,Ф~($) + - + С»ьй»(1) + ась(С) — решение (5), где чч(г),,4,(1) — базис пространства решений линейного однородного уравнения Ь(Р)з(1) = О, а убавь(Ф) — некоторое частное решение (5) при я = 1,и.
Поскольку компоненты яь(С) связаны системой (2), то постоянные не являются независимыми, т.е. набор найденных т~(г),...,х»(г) еще не дает решения линейной системы (2). Для получения решения (2) необходимо найденный набор х~(Г),...,х»(С) подставить в систему (2) и определить связь между постоянными Сы,...,С»ы я = 1,п. Заметим, что, как установлено в главе 2, базис ф~(г),...,ф»($) строится в зависимости от корней характеристического многочлена Е(Л) = беС(ЛŠ— А) для дифференциального многочлена Б(Р). На практяке метод исключения неизвестных удобно применять для простых линейных систем (2), прежде всего для линейных систем второго порядка. Для них уравнение (5) для одной из неизвестных функций получается путем дифференцирования одного из уравнений линейной системы н исключения второй неизвестной функции.
Для нахождения же второй неизвестной функции уравнение (5) уже не требуется, так как она сразу находится из заданной системы. 76 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений Пример. Методом исключения решить линейную систему с х = 4х — Зу+з<п<, у = 2х — у — 2 сов с <.) Продифференцируем первое уравнение и подставим выражение для у из второго уравнения. Имеем х = 4х — Зу + соя< = 4х — 3(2х — у — 2 соя 1) + гли < = = 4х — бх+ Зу+ 7созь Подставив сюда выражение для Зр из первого уравнения, получаем уравнение для х(Г): х — Зх+ 2х = з<п<+ 7соза Общим решением этого уравнения является х(<) = Сге'+Сге '+соя< — 2з<пг, где Сп Сг — произвольные постоянные. Из первого уравнения систе.
мы находим, что уЯ = Сге + — Сге + 2 созе — 2шпФ. с 2 и 3 Вектор-функция с компонентами х(<), у(1) дает все решения исходной системы уравнений, й В 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы с постоянными коэффициентами Рассмотрим нормальную линейную однородную систему х(<) = Ах(<), (1) где г Е Я~, А — квадратная комплексная матрица порядка и, х(г) — неизвестная вектор-функция с и компонентами. Слевующее предложение носит название принципа суперпозиции для линейных однородных систем. Лемма 1.
Если х<~>(~), х<~)(г) — решения сисглеми (1), а Сь Сг — произвольные квмплексиие числа, то вектор-Яункиил х(<) = С~х<')(О+ Сгх<г)(1) также решение системы (1). О Имеем в силу условий леммы, что х(<) — Ах(<) = С~ к<')(1) + Сгх< >(1) — А [Сгх<г>(1) + Сгх<~)(1)] = = С~ [х<') — Ат<')] + Сг [х<г) — Ат<г)] = О.
77 З 2. Общее решение нормальной линейкой однородной системы Будем считать в дальнейшем, что матрица А является матрнцей неко- торого линейного преобразования А в комплексном унитарном и-мерном пространстве В" столбцов с и компонентами в ортоиормнроваином базисе ег,ег,...,е„. При заданном базисе можно отождествить преобразование А и его матрицу А.
Очевидно, что система (1) имеет тривиальное решение х = О. Бу- дем искать нетривиальные решения (1) в виде х(1) = емИ> где И ф 0— числовой и-мерный вектор. Подставляя х(1) в систему (1), получим ЛелгИ АемИ или АИ = ЛИ. Напомним, что собственный вектор И преобразования А для собствен- ного значения Л определяется условием АИ=ЛИ, Иф0, и что все собствекные значения Л преобразования А являются корнями уРавнения бес(А — ЛБ) = 0, где Š— единичная матрица порядка и. Таким образом, установлено сле- дующее утверждение.
Лемма 2. Дяя того, чтобы вектор-функция х(1) = еь'И было нетривиальным решением линейной однородной системы (1), необходимо и достаточно, чтобы Л было собственным значением, а И вЂ” соответствукндшн ему собственным вектором преобразования А. Теперь можно установить следующий результат. Теорема 1. Пусть суигествует базис Чл из собственных векторов Иг,...,И„линейного преобразования А и пусть Лг,...,˄— соответствующие им собсглвенные значения (среди них могут быть одинаковые) Тогда: а) вектор-функция х(1) вида х(1) = С~с""Иг+ . +Спеа"'И„, (2) где Сы..., ф— щюизвольные комплексные постоянные, является решением системы (1); б) если х(1) — какое-либо решение системы (1), то эщйдуглся такие значения постоянных Сг,., С„, при копюрых х(1) задается формулой (2).
О П. а) утверждения теоремы 1 непосредственно следует из лемм 1 и 2. Докажем п. 6). Пусть х(1) — какое-либо решение (1). Так как Иы..., Ȅ— базис Ал, то для аг Е В,' х(1) = И1)И~+ "+~„(1)И„. Подставим х(е) в систему (1). Имеем ~~(Г)И~ + + ~ (1)И = (г(1)АИ~ + . + ~»(Г)АЬ = Л,~,(1)И, + "+ Л„~„(1)И„. 78 Глава 3.
Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений Так как Ьм...,܄— линейно независимые векторы, то отсюда ~,(1) = Л,И1),...,~(1) = Л„~„(1). из этих уравнений находим, что ~г(1) = с~ел",...,~„(Ф) = с„е~"г. псе~- становка найденных ~~(С),...,~„(С) в формулу для х(Ф) дает (2). ° Замечание. Для каждого решения х(1) в теореме 1 можно установить единственность набора См . Са в (2) При условиях теоремы 1 вектор-функцию х(1) вида (2) будем называть общим комплексным решением линейной однородной системы (1). Как известно из курса алгебры, базис пространства Я" из собственных векторов преобразования А существует, например, тогда, когда все собственные значения Лм,,Л„преобразования А попарно различны илн когда преобразование А является нормальным (незавнсимо от кратности Л), в частности, симметрическим. Пример 1.
Найти общее комплексное решение системы й = -2р+ 2х у=я †д й = д — г. Ь Напишем матрицу А системы А= 1 — 1 1 Найдем собственныо значения матрицы А из уравнения -Л вЂ” 2 2 бе1(А — ЛЕ) = 1 -1 — Л 1 = — Л(Л +2Л+2) =О. О 1 — 1 — Л Отсюда Лг = О, Лз,з = — 1+О Найдем какие-либо собственные векторы Ьм Ью Ьз соответственно для Лм Ле, Лз. Имеем Ь!= 1, Ьз 1 Ьз= 1 Так как Лм Лз, Лз — попарно различны, то Ьм Ьз, Ьз образуют базис в комплексном линейном пространстве В~.
По теореме 1 векто1» функция д(Ф) = С~ 1 +Се — 1 е1 ~+О'+ Сее~ ' О' 1 г 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы где См Сг, Сг — пронзвольные комплексные постоянные, является общим решением исходной системы. ж Пример 2. Решить систему уравнений х4 4х — у — х, у= х+2у — г, й= х — у+2г. Ь Выпишем матрицу А заданной системы А= 1 2 — 1 Решая уравнение бег(А — ЛЕ) = О, найдем собственные значения А. 4 — Л -1 -1 бег(А — ЛЕ) = 1 2 — Л -1 = (3 — Л)(Лг — 5Л+ 6) = О.
1 -1 2 — Л Отсюда Л1 = 2, Лг = Лз = 3. Вектор =й является собственным для Лы а векторы лг = 1 , лг = О являются линейно независимыми собственными векторами для Лг. Векторы лм Иг, Ьг образуют базис Яг. Общим решением заданной системы является вектор-функция у(г) = Сген 1 + Сгег' 1 + Сзег' 0 где Сн Сг, Сг — произвольные постоянные. В том случае, когда несимметрическое преобразование А имеет собственное значение Л кратности /с, то, вообще говоря, линейно независимых собственных векторов А, соответствующих зтому значению Л, оказывается меньше Лг Таким образом, в таком случае нельзя построить базис й" из собственных векторов преобразования А.
Оказывается, однако, что всегда можно построить так называемый жорданов базис пространства В". Чтобы сформулировать соотвегсгвующую теорему нз курса алгебры, введем понятия присоединенного вектора и жордановой цепочки. 80 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений Определение. Пусть Ло — собственное значение преобразования А и пусть векторы ймйз,...,йь таковы, что Айз = ЛоЬм Ь1 р 0 Айз = Лойя + Ьм (3) Айь = Лойе+ Ьг-м Тогда Ь1 — собственный вектор преобразования А, а векторы Ьз,...,йг называют присоединенными векторами к вектору йз.
Сястема векторов Ьз,.,.,йь называется жордановой цепочкой для собственного значения Ло, а число Й называется длиной жордановой цепочки. Если собственное значение Ло — простое и Ьз — соответствующий ему собственный вектор, то присоединенных векторов к йз в этом случае не существует. Если же Ло — кратное собственное значение, то для него может существовать несколько жордановых цепочек, ссдержыцие линейно независимые собственные векторы преобразования. Теорема 2зьордаиа. Каково бм ни было линейное преобразование А в комплексном пространстве В», всегда срщестлвует базис Я», состпавленний из жорданових цепочек длл всех собсгпвеннмх значений Эта теорема доказывается в курсе алгебры. Мы же только отметим, что в базисе, составленном из жордановых цепочек (в дальнейшем такой базис будет коротко нззыватьгл жордановым базисом Н»), число разлнч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
