1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Глава 1. Методы решения дифферекцнальных уравнений 60 Пример 6. Решить задачу Коши (х > 0). хеуа — хуу'+ 2(у — х )у = О, у(1) = 6, у'(1) = 12. Ь Заменяя в уравнении х на гх, у на 1"у, у' на 1" 1у, уи на 1" «уи и приравнивая друг другу показатели степеней 1 в каждом слагаемом уравнения, получаем 2Й = и+2. Следовательно, заданное уравнение является обобщенно однородным и и = 2. Сделаем в уравнении замену переменных у = вез» х = е", Тогда из ранее полученных выражений у',у» через новые перемен- ные находим, что у' = н»+ Зв'+ 2ш у' = (о'+ 2о)е", Подставляя выражения длл х, у,у', у» в уравнение, после упрощений получаем уравнение и +(3 — и)о =О, в которое не входит аргумент и.
Согласно п. П объявляем и — новым аргументом, а о' = «(в) — новой искомой функцией. Так как ои = ««', то в переменных в,«получаем уравнение «'+ (3 — в)« = О. Из заданных начальных условий для у(х), используя замену пере. мениых, нетрудно найти, что «(6) = 0 — начальное условие для «(х). При таком начальном условии решение уравнения для «(о) принимает вид « = «н — Зш Из уравнения о = « = »и — Зв находим 1 2 1 2 е = 1+ Сез".
Заданные начальные условия дают и(0) = 6. Для такого начального условия С = 0 и, значит, о = 6. Тогда из замены переменных получаем решение исходной задачи Коши у = бхз. л1 В этом параграфе были приведены основные методы решения уравнений второю порядка общего вида. Аналогичные методы решения имеют место и для уравнений общего вида, порядок которых выше второго. Методы понижения порядка и интегрирование в квадратурах уравнения (1) получают полное объяснение с точки зрения теории групп. Более подробно об этом можно прочитать, например, в (18) и (34], 3 4.
Дифференциальные уравнения высшего порядка Ъ~пражненин к главе 1 61 1. Найти дифференциальное уравнение у' = 7'(х,у), которое описывает семейство окружностей с центром на прямой у = х, проходящих через точку (1,0), 2. Уравнение у' = Дх,у) называется кввзноднородным, если прн всех допустимых значениях параметра Ф н некоторых а ~ 0,,9 ф 0 7(1~~,1~~) = я Гл еу"(х,у). Показать, что заменой у = х х квэзиоднородное уравне. ние приводится к уравнению с разделяющимися переменными. 3. Пусть функции а(х), Ь(х) непрерывны при х > 0 и йп а(х) Ф~СО 1пп Ь(х) = 1.
Найти 1пп у(х) для тех решений уравнения Ф-ФОО Х-+СО у' = а(х)у+ Ь(х), для которых он существует и конечен. 4. Пусть в уравнении ху'+ау = 7'(х), где х > О, а = совет > О, 7'(х) — непрерывная функция, 1ппХ(х) = Ь. Показать, что только одно решение ече уравнении остается ограниченным при х -э О, и найти предел этого решения при х -э О. 5.
Показать, что уравнение Бернулли можно решить либо с помощью замены вида у(х) = и(х) о(х), либо, как и линейное уравнение, методом вариации постоянных. 6. Показать, что если семейство Ф(х,у,с) = О интегральных кривых уравнения г(х,у,у') = 0 имеет огибающую, то она определяет особое решеяие этого уравнения (см. з 6 гл.
4). 7. Сформулировать задачу Коши для уравнения (1) иэ З 4 при и > 2. Глава 2 Линейные дифференциальные уравнения порядка и с постоянными коэффициентами м В этой главе все функции, которые будут встречаться, могут принимать как действительные, так и комплексные значения. Рассматриваемые в главе 2 линейные уравнения важны, прежде всего, потому, что они часто встречаютси в различных вопросах физики и техники. Кроме того, это единственный большой класс уравнений высшего порядка, интегрируемых в квадратурах. 51.
Дифференциальные многочлены и общий метод решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами В этом параграфе приведены некоторые вспомогательные предложения, которые буаут использоваться на протяжении всей главы. Обозначим чорез С(гс~) множество всех комплекснозначных функций, заданных и непрерывных на всей числовой оси Я', а через Сь(В~~), Й Е Ф, — множество всех функций, й рвз иепрергявно диффереицируемых на всей оси й'.
Говорят, что задан оператор дифференцирования Р, действующий из С'(Н') в С(В,'), если каждой функции у(з) Е С'(В') оператор Р ставит в соответствие функцию у'(з) Е С(й,') по формуле Ру(х) = у'(х). Аналогично, й-я степень оператора дифференцирования Р", А Е Аг, является оператором, действующим из множества Сь(Л') во множество С(Я~.) по чюрмуле Рву(х) = у(")(х). Наконец, дифференциальным многочлепом степени и Е Ф (или многочленом степени и от оператора дифференцирования Р) Р(Р) = Р~ + а|Р" 1+ +а„,Р+а„, где аь...,а„— заданные числа (действительные или комплексные), называют оператор, действующий из множества Сч(В~~) во множество С(Л') по формуле Ь(Р)у(х) = у~") + а1у(" Л + + а„у. г 1. Диффереяцивльиые многочлены и общий метод решения Лемма 1. Дифференциальный многочлен степени и является линейным опвраторолг, т. е.
для любых функций у) (х),уг(х) 6 С" (Вв1) и любмх чисел см сг вмполнено равенство й(Р) (с)у)(х) + сгуг(х)] = с1Ъ(Р)у1(х) + сгЦР)уг(х). О Требуемое утверждение пояучается из определения дифференциального многочлена и свойства линейности для производных. Действительно, ЦР)(с)р1 +сгуг) = (с)р) + сарг)(")+а)(с)))) +сгрг)(" ') +" + (и) (и-! ) + а (с1у1+сгуг) = с1(у) +а1р1 + + (п) (и-1) +апу))+сг(уг +а)уг +'''+апрг) = = с)Ь(Р)у) + сто(Р)рг. Для дифференциальных многочленов вводятся операции сложения и умножения. Пусть, кроме многочлепа Ь(Р) степени п задан еще много- член степени т где ))),...,Ь„, — зацвлные числа, т б Лг.
Тогда суммой называют дифференциальный многочлен, действующий па любую функцию р(х) е С'(В~) (счятаем, для определенности, что п ) т) по формуле [Ь(Р) + М(Р)) р(х) = Р(Р)р(х) + М(Р)у(х). В ятом случае А(Р) + М(Р) — многочлсн степени и. Произведением называют дифференциальный многочлен степени п.т, когорый на каж,пую функцию у(х) б С"'"(г(в) дейгтвует по формуле (Р(Р) М(Р))у(х) = ЦР) (М(Р)у(х)).
Можно доказать, что введенные операции сложения и умножения для дифференциальных многочленов обладают в точности теми же свойствами, что н операции сложения и умножения для обычных многочлепов. Речь идет о свойствах коммутативности, ассоциативности и дистрибутив- ности для этих операций.
Отсюда, в частности, следует, что дифференцнальные многочлены можно разлагать на множители. Заметим, что для любого комплексного числа Л ЦР)(е~*) = Е(Л) е~*, где Ь(Л) = Л" +агЛп г+.. +а„— многочлен от комплексной переменной Л. Многочлен ЦЛ) называется характеристическим многочленом (или символом) дифференциального многочлена Р(Р). Если Л),...,˄— корни характеристического многочлена (среди них возможны и кратные), то, как известно, Ь(Л) = (Л Лг)(Л вЂ” Лг) ..
(Л Лп). Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения Согласно определению, можно записать ь(Р) = (Р— Л»)(™ — Лз)... (Р— Лн). Приведем еще один вспомогательный результат. Лемм» 2. Если Л вЂ” комплексное число, то длл любой у(х) б С'(г1»») спра- ведлива так называемая формула сдвига ЦР) [екг у(х)~ = еш Б(Р+ Л)у(х).
О Пря любом и б Ж по формуле Лейбница получаем к Р~[е~* у) = (елв.у)(~) = ~~ Скг(е~*)(г) у1» гд = г=о = е»е ~~ С»УЛ'Р" 'у = ек*(Р + Л)"у. В силу этого, Е(Р)(ек»у) = екв(Р+ Л)"у+ а»е~(Р+ Л)" ~у+ +а„с у = = е Е(Р+ Л)у, Рассмотрим теперь линейное дифференциальное уравнение порядка и с постоянными коэффициентами у~"1(х) + а»у~" П(х) + ° + ан»у'(х) + а„у(х) = Дх), (1) где ам...,а„— заданные комплексные числа, а )(х) — заданная функция из С(В~). С помощью дифференциального многочлена степени и 1 (Р) = .Рв + а»Р" ' + ° + а„»Р + а„.
это уравнение кратко записывается так: ЦР)у(х) = У(х). Под решением этого уравнения понимается комплекснозначная функция у(х) б С(В~~), удовлетворяющая уравнению (1) на всей оси А»». Метод разложения многочлена ЦР) на множители является общим методом решения уравнения (1) и задачи Коши для него. Если Лп...,˄— корни (среди ннх могут быть кратные) характеристического многочлена ЦЛ), то Е(Л) = (Л вЂ” Л,)(Л вЂ” Л )... (Л вЂ” Л„). 'Гогда Ь(Р) = (Р— Л»)(Р Лз) .. ° (Р Ле).
и, значит, уравнение (1) записывается в виде (Р— Л»)(Р— Лг) .. (Р— Лв)у = )(х). г 1. Днффереяциальяые ииогочлены и общий метод решения Если положить М(О) =(П-Лг)...(В-Л„) и обозначить М(11)у(х) = г(х), то уравнение (1) эквивалентно системе (П вЂ” Л1) =У(х), М(11)у = з. (2) Уравнение (11 — Л1)г =,г'(х) представляет собой линейное уравнение первого порядка г' — Л1з = г'(х) с комплексными Л и /(х). Его решение находится с помощью следующей леммы.
Лемма 3. Все решения уравнения г' — Лз = г'(х), где Л вЂ” комплексное число и 1" (х) — заданная комплекснозначная функция из С(В.' ), задаются форму- лоя *м -" <с ° /.-"'лог), зс (3) где С вЂ” произвольная комплексная посгпоянная. О Ищем решение уравнения в виде г(х) = с(х)е~г. После подстановки г(х) в уравнение н упрощений получаем с'(х) = е * ° 1(х). Отсюда что и дает формулу (3). В силу леммы 3 Прн известной з(х) второе уравнение (2) представляет уже собой линейное уравнеяяе порядка (и — 1) с постоянными коэффициентами. Опять разлагаем М(11) на множители и сводим решение М(11)у = г к решению линейного уравнения порядка (п-2) и т.д. Ясно, что после п таких шагов придем к решению уравнения (1) в квадратурах. Рассмотрим теперь для уравнения (1) начальные условия у(хе) = уо у'(ха) = ум",у(" И(хо) = у„п где хе,уг ум...,у„1 — заданные числа.
Покажем, что решение задачи Коши (1), (4) всегда существует н единственно на всей осн Вг1. Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения Действительно, в силу (2) приходим к задаче Коши: ( — Лг)х = У(х), е(хо) = [М(В)у(х)], ш хо. Из формулы (3) следует, что решение втой задачи Коши имеет вид Зная х(х) и разлагая М(В) на множители, сведем решение задачи Коши для М(Р)у = х(х) к решению некоторой вспомогательной задачи Коши и т.д. После и таких шагов придем к решению задачи Коши вида ( — Л)у = д(х), у(хо) = уо, где д(х) — заданная непрерывная функция на В'.. Это решение с помощью (3) находится единственным образом. Оно и будет единственным решением задачи Коши (1), (4).
Пример. Решить уравнение у" — Зу'+2у = ео'. Ь С помощью дифференциального мпогочлена уравнение запишется в виде Вг ЗР + 2)у = ео'. Характеристический многочлец В(Л) = Лг — ЗЛ+2 имеет корни Л1 = 1, Лг = 2. В силу этого, исходное уравнение записывается в виде (  — 1)( — 2)у = е~*. Положим ( — 2)у = х(х). Тогда уравнение эквивалентно системе е ( — 1)х = с~я, (Р— 2)у = х. Первое уравнение х' — х = еах решаем с помощью леммы 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
