1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Но даже для простейших уравнений (1) начальное условис у(хе) = уе, как видно на примерах, не выделяет в общем случае единственное решение. Если взять, например, уравнение р'з = уз, то у' = ху и, значит, решениями р'з = уз будут и функции р = С1е*, и функции у = Сзе *, где С1 и Сз — произвольные постоянные. Начальное условие у(хо) = ро выделяет два решения р = усе* *«, р = уое (* *'1, т.е, не обладает свойством единственности. Начального условия вида р(хо) = уо недостаточно для получения определенного решения. Если в атом примере кроме у(хе) = уе задать еще либо у'(хо) = ре, либо у'(хе) = — уе, тогда начальное условие вида р(хе) = у'(хо) = ро выделяет единственное решение у = усе* *«, а начальное условие вида р(хо) = — у'(хо) = ус выделяет единственное решение у = усе*' *. Всякое же другое задание р'(хо) ~ хуо не дает существования решения при таких условиях, поскольку в силу уравнения у~(х) = рз(х) для всякой точки х.
Аналогичным образом задаются начальные условия и для общих уравнений (1). Берется тройка чисел (хо, уе, ре) б С, дли которой 40 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений Р(хс,ус,ро) = О. Начальными условиями для уравнения (1) называются условия у(хо) = уо у (хо) = ро. (8) Задачей Коши для уравнения (1) называют задачу нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям (8).
Таким образом, постановка задачи Коши для (1) требует согласования с уравнением (1) начальных данных хо уе ро. Достаточные условия однозначяой разрешимости задачи Коши (1), (8) будут приведены в главе 4. Сейчас жс ограничимся примером. Уравнение нз примера 3 при начальных условиях у(0) = — 2, у'(0) = 4 имеет единственное решение у = -х + 4х — 2. 2 Начальные условии (8) для уравненкя (1) внешне одинаковы с начальными условиями для уравнений второго порядка (см. з 4). Но различие в том, что в случае уравнения (1) начальные данные хс, ур, рс связаны условием Р(хо,ув,ро) = О. Геометрический смысл задачи Коши для уравнения (1) состоит в том, что ищется интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку (хо,ус) с заданным угловым коэффициентом касательной ро в этой точке. Таким образом, в одной н той же точке (хо, уо) возможно задание стольких различных начальных условий для уравнения (1), сколько различных действительных решений имеет уравнение Р(хв,уе,р) = 0 относительно р.
Если множество действительных решений уравнения Р(хо,уо,р) = 0 пустое, то в точке (хс,уо) нельзя задавать начальные условия для (1). Для уравнения у' = 1(х,у) задание точки (то,уо) уже сразу определяет значение у'(хо) = 1(хе уо). Из приведенных рассуждений видно принципиальное отличие постановки задачи Коши для уравнения (1) от постановки задачи Коши для уравнения у' = 1(х,у). В заключение отметим, что задача Коши (1), (8) интерпретируется как задача Коши для смешанной системы (2) следующим образом. Задана точка (хм ус,рв) б Я.
Требуется кайти интегральную кривую Ь системы (2), проходящую через точку (хс,уо,ро) б Я. Интегральная кривая 1 уравнения (1) является ортогональной проекцией параллельно осн р на плоскость х,у интегральной кривой Т, системы (2). Замечание. Обобщением уравнения (1) является уравнение первого порядка в дифференциалах (или уравнение в симметричной форме) следующего вида Р(х,у,8х, Ну) = О, где Р— заданная непрерывная функция своих аргументов.
41 $4, Дифференциальные уравнения высшего порядка З4. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие понятия и методы решения Общий вид дифференциального уравнения порцлка гг следующий Р(х,у,у',,у1л1) = б. Определение. Функция у = лг(х), заданная на некотором промежутке Х оси В', называется решением (1), если: 1) ~о(х) имеет непрерывную 1с1л1(х) на Х, 2) прн всех х с Х точка (х,у(х),уг'(х),...,1л<">(х)) лежит в области й, 3) Р (х,1о(х),1л'(х),с..,1с("1(х)] ш 0 длЯ всех х б Х. График решения уравнения (1) на плоскости В~ И называется интегральной кривой уравнения (1). Ясно, что интегральные кривые (1) лежат в проекции области й на плоскость й1, . По аналогии со случаем и = 1 для уравнения (1) можно ввести и более общее понятие параметрического решения (см.
3'3). Более простым для изучения является уравнение порядка и, разрешенное относительно старшей производной. Оно имеет вид у'"' =- У (х,у,у'," у'" "] (2) где Дх,у,ум...,ул 1) — заданная непрерывная функция в некоторой непустой области С (и+1)-мерного евклидова пространства с декартовыми прямоугольными координатами х, у, ум..., у„р Уравнение (2) называют еще уравнением порядка и в нормальной форме. Заданию уравнения второго порядка можно придать определенный геометрический смысл. Если у = 1л(х), х Е Х, задает иятегрвльную кривую уравнения у" = у(х, у, у'), то в каждой точке хо е Х определена кривизна интегральной кривой ] рл(хо)] ]у (хо.
1с(хо) Ю'(хо)]1 ф1 ыьп*)' Здесь и — заданное натуральное число, х — аргумент, у = у(х) — неизвсстнвл функпия, г(х,у,ум...,у„) — заданная непрерывная функция в некоторой непустой области й (и+ 2)-мерного евклидова пространства с декартовыми прямоугольнымн координатами х,у,уы,.,,у„.
Итак, порядком уравнения (1) называется порядок старшей производной в (1). В дальнейшем будем считать и > 2, так как случай и = 1 уже был рассмотрен в предыдущих параграфах. Глаза 1. Метадм решения дифференциальных уравнений Уравнение уи = Дх,у,у') в любой точке области 0 задает некоторое значение уя и, значит, некоторое значение кривизны К = )1(х,у,у')( х (1 + угг)-з1г Отсюда ясно, что в каждой точке (х,у) из проекции области 0 на плоскость Луг,, зто уравнение эадаег связь между кривизной и углом (ял) наклона искомых интегральных кривых уравнения.
Крявая на плоскости 11г1, может быть интегральной кривой уравнения ув = 1(х,у,у') только Ся в! в том случае, когда в каждой ее точке кривизна кривой и угол наклона кривой связаны указанной формулой. Уже на простом примере уравнения (2) можно убедиться, что множество его решений в общем случае зависит от и параметров. Пример 1. Решить уравнение у("1 = 1. 11 Последовательно интегрируя и раз, получаем формулу всех решений: я у = Сг + Сгх + .. + Сяхи +— и! ' где См, ..,Ся — произвольные постоянные. Этот пример наводит на мысль, что и в общем случае уравнения (2) решение зависит ог и параметров и что для выделения какого-либо конкретного решения (2) требуются дополнительные условия. Как и в случае уравнений первого порядка у' = Дх,у) в качестве таких условий чаще всего высгупают начальные условия.
Как видно из примера уравнения второго порядка (5) введения, начальные условия для уравнений второго порядка представляют собой заданные в одной и той же точке значения неизвестной функции и ее производной, Для уравнения (2) начальными условиями называют условия вида (3) у(хе) = уе у (хе) = уг ° ° ° у (хо) = у -и где (хо,уе у1 "° уя-1) Е С. Числа хе, уе, уп...,у„г называют 'начальными данными.
Определение. Задача нахождения решения уравнения (2), удовлетворяющего начальным условиям (3), называется начальной задачей или задачей Коши для уравнения (2). Характерная особенность задачи Коши состоит в том, что условия на искомое решение у = у(х) задаются в одной и той же точке хе.
В случае н = 2 задача Коши (2), (3) имеет простой геометрический смысл. Требуется найти интегральную кривую (1), проходящую через точку (хе,уе) в заданном направлении с тангенсом угла наклона ее касательной, равным уп С другой точки зрения, как видно из формулы кривизны, задание при и = 2 начальных условий (3) означает заданке в точке хе кривизны и решение задачи Коши 43 $4. Дифференциальные уравнения высшею порядка (2), (3) в этом случае определяет интегральную кривую (2) с заданной кривизной в точке хе. В главе 4 будут установлены достаточные условия, гарантирующие существование и единственность решения задачи Коши (2), (3), Сейчас же бувут рассмотрены некоторые типы уравнений (1), для которых возможна разрешиьюсть в квадратурах, достигаемая либо прн помощи специальяых способов, либо при помощи предварительного понижения порядка.
Важяым частным случаем уравнения (1) является так называемое линейное дифференциальное уравнение порядка и. Оно имеет вид рйй+ в (х)р( 1+ .. +и (х)р = У( ), где ао(х),...,а„(х), г(х) — заданные непрерывные функции на некотором промежутке оси Ох. Однако теория линейных уравнений будет изложена отдельно не здесь, а в последующих главах. С целью упрощения выкладок рассмотрим только уравнення второго порвдка Р(х,р,у',у") = О, (4) где г'(х, у, рм уг) — заданная непрерывная функция в некоторой непустой области С евклидова пространства Во с декартовыми прямоугольными координатами х,у,умуг.
Всякое уравнение вида у' = у(х), где у(х) — заданная непрерывная на (со,)1) функция, легко интегрируется в квацратурах. Действительно, интегрируя один раз зто уравнение, находим, что р' = ~ ~Яда + См хо е (а,))), оо где С1 — произвольная постоянная. После повторного интегрирования имеем о ч у ш г~ИЧ / ~(~)о4~ + Сг(х — хе) <- Сг, оо *о где Сг — произвольная постоянная. Поменяв порядок интегрирования в повторном интеграле, что возможно в силу непрерывности у(х) на (ог,~З), окончательно получаем формулу решений у = /(х — ~Що,)о(~+С~(х — хе)+Сг. оо 44 Глава 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
