1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

2. Из определения следует, что промежуток Х необходимо лежит в проекции области С на ось Я~, Процесс нахождения решений уравнения (1) икогда называют интегрированием дифференциального уравнения (1). Кривая в области С, являющаяся графиком некоторого решения уравнения (1), называется интегральной кривой дифференциального уравнения (1). Далеко не всегда удается получить решение уравнения (1) в явном виде у = ~р(х), х б Х. Во многих случаях решение (1) определяется как неявная функция из уравнении Ф(х,у) = О. Решить уравнение (1) означает найти все решения уравнения (1). Рассмотрим геометрический смысл задания уравнения (1) и его решения. С этой целью сопоставим каждой точке (хо,ус) б С вектор с коордипатамн (1,1(хэ,уе)), отложенный от этой точки.

Множество всех полученных векторов будем называть полем направлений, соответствующим уравнению (1). Из определения решения уравнения (1) и геометрического смысла производной следует, что кривая в области С является интегральной кривой уравнения (1) в том и только том случае, когда она гладкая и направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля в этой точке. Таким образом, в каждой точке (х,у) б С угол а = гг(х,у) наклона касательной к интегральной кривой (1) определяется уравнением эйли = у(х,у) (рис. 1), Рнс.

1 Итак, задача интегрирования уравнения (1) геометрически эквивалентна нахождению всех гладких кривых в С, направление касательных к которым в каждой точке С совладает с вектором поля направлений в данной точке. Это соображение используется для приближеяного построения интегральных кривых, При практическом нахождении поля направлений для уравнения (1) удобно использовать так называемые изоклины. Изоклиной поля направлений уравнения (1) называют такую кривую Глава 1, Методы решения дифференциальных уравнений 14 в области С, во всех точках которой направления поля имеют одинаковый угловой коэффициент Л. Ясно, что изоклина задается уравнением у(к,у) = к. В простых случаях построение с помощью изоклин поля направлений позволяет сделать определенные выводы о поведении интегральных кривых уравнения (1).

Приведем пример. Пример 1. С помощью нзоклииы приближенно начертить интегральные кривые уравнения у' — у = з. Ь Изоклинами являются параллельные прямые я+у = )с. Пря /с = О получаем изоклнну я+у = О, которая делит плоскость на две полу- плоскости: в нижней полуплоскости интегральные кривые убывают, а в верхней полуплоскости они возрастают. При и = — 1 получаем изоклину к+у = — 1, которая одновременно является и интегральной кривой, в чем можно убедиться подстановкой у = — х — 1 в уравнение. Продифференцировав заданное уравнение, находим рл = у'+1 = я+ ут1. Законность дифференцирования будет ясна из З 2 главы 1.

Отсюда видно, что прямая я+у = — 1 делит плоскость на две части: в нижней части рл < О, в верхней части у" > О. Таким образом, интегральные кривые по разные стороны от прямой к+у = — 1 имеют различную выпуклость. Если учесть, кроме того, что интегральные кривые заданного уравнения ие могут пересекаться (см.

п. 3 з 2), то получаем в результате приближенную картину поведения интегральных кривых, изображенную на рнс. 2. Рис. 2 Как следует из примеров введения и вышеприведенных геометрических соображений, за редким исключением разрешимое дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений.

Таким исключением, например, является уравнение у' = ~/ — уз, которое имеет един- З 1. Основные понятия Лля днфференцнаэьмых уравнений ственное решение у = О. Поэтому в общем спучае для получения какого- нибудь конкретного решения уравнения (1), кроме самого уравнения (1), необходимы еще дополнительные условия, выделяющие это конкретное решение нз множества всех решений уравнения. Во многих случаях та ким дополнительным условием для уравнения (1) является начальное условие у(хо) = уэ, (хо,ус) б С. (2) Числа хэ,уо называются начальнымн данными, а задача отыскания решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется начальной задачей нли задачей Коши для уравнения (1).

Решить задачу Коши для уравнения (1) геометрически означает найти интегральную кривую уравненкя (1), проходящую через заданную точку (хо,уэ) б С (см. рис. 1). В главе 4 будут установлены достаточные условия на функцию 1(х, у), обеспечивающие существование и единственность решения задачи Коши (1)-(2). Именно там будет доказана следующая теорема. Теорема существования и единственности.

Пусть функции 1(х, у) и уэ-. непрерывны в области С и точка (хо,уо) лежит е С. Тозда: эг 1) Иайдетсл число б > О такое, что решение задачи Коши (1)-(2) существует при всех х б (хо — Б,хе + б). 2) Если у = 1ог(х), х б Хы и у = 1оз(х), х б Хз, — два решения задачи Коши (1), (2) (промежутки Х~ и Хз содержат точку хэ), то р~(х) м ~рз(х) длл всех х б Х О Хз.

Обсуждение условий сформулированной теоремы проведем в главе 4, а сейчас только отметим, что при заданной Дх,у) с указанными в теореме свойствамн гладкости интервал существования решения залечи Коши (1)-(2) и само решение задачи Коши (1)-(2) зависят от начальной точки (хе,ус) б С. Впрочем, этот факт очевиден из геометрической интерпретации решения уравнения (1) (см. рис. 1).

При условиях теоремы гарантируется, что через точку (хо,уэ) 6 С проходит единственная интегральная кривая уравнения (1) (рис. 3). Рис. 3 Условия приведенной теоремы выполнены, если, например, у (х, у) являегсн многочленом от х,у. 1В Глава 1 Методы решения дифференциальных уравнений Обобщением дифференциального уравнения в нормальной форме (1) является так называемое уравнение первого поридка в дифференциалах (или уравнение первого порядка в симметричной форме): Р(г,,у)бх+ 9(х,у)бу = О. (3) Здесь будем предполагать, что Р(х,у), О(х,у) — заданные непрерывные функции в области С и что [Р(хо уе)[+ 19(хо уо)] > О для каждой точки (хе,уе) б С.

Уравнение (1) является частным случаем уравнения (3), когда Р(х, у) ш у'(х, у), Я(х, у) ш — 1. Уравнение (3) удобнее уравнения (1) в том смысле, что переменные х,у в нем участвуют равноправно. Для уравнения (3) можно дать определение решения ананогично определению решения для уравнения (1).

Однако более целесообразно расширить понятие решения, рассмотрев так называемые параметрические решения. Определение. Вектор-функция х = у(С), у = ф(С) на некотором промежутке Х числовой оси Н,' называется параметрическим решением уравнения (3), если: 1) функции ~р(С), ф(С) — непрерывно дифференцируемые и [~о'(С)] + [ту(С)] > О для всех С б Х, 2) (у(С),фС)) б С для всех С б Х, 3) РЬе(С) 4(С)]Ф'(С)+ Се[1в(С),4(С)] Ф'(С) ье О на всем промежутке Х Кривая в области С, являющаяся непрерывным образом промежутка Х при отображении (со(С),ф(С)), называется (параметрнческой) интегральной кривой уравнении (3).

Из определения решения немедленно следует, что интегральная кривая уравнения (3) является гладкой кривой. если ~р'(се) зс О для некоторого се б х, то найдется интервал (Сс — б,Се+ б), б > О, на котором х = 1г(С) имеет обратную функцию С = ~р '(х), и тогда кусок интегральной кривой, соответствующий изменению С в интервале (Се — б, Се+ б), определяется уравнением у = м(х) = 9 [у с(х)). если же ф(сс) сс О для некоторого сс б х, то найдется интервал (сс — бмсс+бс), бс > О, на котором у = ф(с) имеет обратную функцию С = 4 '(у), и тогда кусок интегральной кривой, соответствующий С б (Сс — бмСс+бс), опРеДелЯегсл УРавнением х = и(У) щ х[ЕС ~(У)]. Отсюда следует, что интегральная кривая уравнения (3), в отличие от интегральной кривой уравнения (1), в общем случае представляет собой гладкую кривую, отдельные куски которой задаются или функцией вида у = м(х) или функцией вида х = ы(СС).

Соответственно этому уравнение (3) допускает как решения вида у = м(х), так и решения вида х = ы(у), заданных явно, неявно или параметрячески. В частности, из определения параметрического решения уравнения (3) при х = С получаем решение вида у = ф(х), а при у = С получаем решение вида х = 1е(у) з 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений Замечание, Иногда уравнение (3) может быть задано не только в области С, но и на ее границе.

Тогда всякая граничная точка относится к так называемым особым точкам (см. далее) уравнения (3). Поведение интегральных кривых (3) в окрестности границы С требует отдельного рассмотрения. В каждой точке (х,у) б С уравнение (3) определяет вектор с компонентвмн (-Я(х,у),Р(х,у)). Этн вектора задают поле направлений в области С, порождаемого уравнением (3). Как и в случае уравнения (Ц, гладкая кривая в С будет интегральной кривой уравнения (3) тогда и только тогда, когда направление касательной в каждой ее точке совпадает с вектором поля в данной точке.

Поле направлений уравнения (3) богаче поля направлений уравнения (1), так как, например, оно может содержать вертикальные направления, что запрещено для поля направлений уравнения (1). Как уже отмечалось ранее, структура интегральных кривых уравнения (3) может быть более сложной, чем для уравнения (1). Например, интегральные кривые уравнения (3) могут иметь вертикальные касательные, быть замкнутыми кривыми.

В силу условий на коэффициенты Р и Я уравнения (3) из рассмотрения исключены те точки (хэ,рэ) б С, в которых Р(хе, уэ) = Я(хэ,уо) = б. Такие точки называют особыми точками уравнения (3). В них уравнение (3) не определяет нэлравлений. Поведение интегральных кривых уравнения (3) в окрестности изолированных особых точек будет изучено в главе 7. В силу непрерывности Р и О множество особых точек уравнения (3) всегда замкнуто, однако особые точки (3) не обязаны всегда быть изолированными. Они могут заполнить целую линию, называемую особой линией (например, прямэл у = з — особая линия уравнения (у — х)(хИх+ уИу) = 0) или образовывать множество более сложной структуры.

Характеристики

Список файлов книги