1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В большинстве случаев не удастся установить формулу прямой зависимостя между собой различных характеристик рассматриваемого физического, биологического, химического, зкономяческого иля какого-нибудь другого динамического щюцесса. Однако часто удается составить определенную функциональную зависимость между неиэвестнымн характеристиками рассматриваемого процесса, скоростями их изменении и временем, т.е.
найти уравнения, содержащие производные неизвестных характеристик пропесса. В таком случае говорят, что математической моделью процесса является дифференциальное уравнение. Простейший пример дифференциаяьного уравнения дает, нзлрямер, задача о нахождении закона движения материальной точки по заданной скорости ее движения. Если Я(Ф) — неизвестный путь, пройденный точкой за время 1, н э(1) — ззщанная скорость ее движения в момент времени Ц то получаем дифференциальное уравнение — = п(1).
ЫЯ(1) <Кг Как следует из курса анализа, в случае, когда, например, е(с) — заданная непрерывная функции 1 > О, все решения уравнения (1) задаются формулой Я(1) = / в(г)й. +С, о (2) где С вЂ” произвольная действительная постоянная. Исследования разрушения биологических клеток под действием ультразвука высокой интенсивности приводят к дифференциальному уравнению вида ""(" = -ЯИ(1), й где à — время, 1У(Г) — концентрация живых клеток,  — постоянная, определяющая вероятность разрыва клетки в единицу времени. Нетрудно Введение проверить, что решениями уравнения (3) будут функции )Ч(1) Сс- нс (4) где С вЂ” произвольная постоянная.
Еще один пример дифференциального уравнения можно получить, рассмотрев, например, задачу о колебании шарика, подвешенного на пру- жине и выведенного из положения равновесяя. Если обозначить откло- нение шарика от положения равновесия в момент времени 1 через х($) и воспользоваться вторым законом Ньютона, то уравнение движения ша рика можно записать в виде — +ы х(с) = О, ызх(с) йз (5) где ы > Π— некоторое заданное число. Дифференциальное уравнение вида (5) называется уравнением гармо- нических колебаний или уравнением линейного осциллятора. Как будет в дальнейшем установлено, все решения уравнения (5) задаются формулой х(Г) = Асов(ыг+ у), (6) где А и у — произвольные постоянные.
Опыт показывает, что разные по содержанию задачи могут приводить к одинаковым дифференциальным уравнениям. Использование дифференциальных уравнений в качестве модели некоторого процесса в природе, как уже видно нз приведенных примеров, удобно в том смысле, что эти уравнения описывают эволюцию процесса во времени и характер возможных изменений процесса в зависимости от его первоначального состояния. Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией двух нли большего числа независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.
Считая х независимой переменной и у = р(х) — неизвестной фуякцией, обыкновенное дифференциальное уравнение в общем случае можно записать в виде соотношения г'(х,д,р',р",...,у1 1) = О, (7) где г' — заданная функция своих аргументов. Порядок старшей производной, входящей в уравнение (7), называется порядком обыкновенного дифференцяального уравнения (7). Таким образом, уравнение (7) имеет порядок и, уравненяя (1) и (3) имеют первый порядок, а уравнение (5) — это уравнение второго порццка. Если дифференциальное уравнение (7) разрешимо, то, как видно из уже приведенных примеров, оно имеет, как правило, бесчисленное мно- Введение 10 жество решений.
Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее некоторый процесс во времени, нельзя еще указать однозначно зависимость от времени характеристики процесса, удовлетворяющей этому уравнению. Нужны дополнительные условия. На практике чаще всего в качестве дополнительных условий выступают некоторые начальные условия. Так, например, однозначное решение уравнения (1) можно получить, задав начальное положение точки: о(0) = оэ. Тогда из формулы (2) находим С = Яэ и, значит, формула Я(Ф) = /и(т)с(т + Яо о однозначно определяет закон движения точки. Задав для уравнения (3) начальную концентрацию клеток в момент времени Фе л(се) = лв из формулы (4) находим С = Ксеням.
Следовательно, концентрация клеток в каждый момент Ф однозначно задается формулой Ж($) = Меелйо 0. Наконец, задав при 1 = 0 начальное отклонение и начальную скорость шарика х(0) = хэ, сЬ(0) Й = еэ из формулы (б) можно найти постоянные А, р и тем самым однозначно определить заданное колебание шарика. Возможны и другие типы дополнительных условий, выделяющих конкретное решение дифференциального уравнения. Например, это могут быть заданные значения решения з(1) уравнения (б) при двух фиксированных моментах времени сс, сз: к(1~) = хм х(сз) = хз, или условие периодичности для решения уравнения (3) И(0) = Дс(т), т > 0.
Это примеры так называемых граничных условий для уравнений (5) и (3). Но для них не всегда можно гарантировать единственность решения. Для практических приложений дифференциальных уравнений очень важен вопрос о характере зависимости решения дифференциального уравнения (7) от функции г и от дополнительных условий (начальных или граничных) при их малом изменении. Ведь в прикладных задачах и само дифференциальное уравнение и дополнительные условия неязбехсно определяются с некоторой погрешностью, твк как при их составлении всегда приходится пренебрегать несущественными для рассматриваемого Введение процесса факторами.
Для практики целесообразны только такие дифференциальные уравнения и дополнительные условия, при малом изменении которых мало изменяется определяемое ими решение. Другими словами, должна быть непрерывнзл зависимость решения рассматриваемой задачи от исходных данных. Из сказанного ясно, что одними из главных вопросов теории дифференциальных уравнений являются вопросы существования, единственности и непрерывной зависимости от исходных данных решения дифференциального уравнения при заданных дополнительных условиях.
Кроме этих вопросов, теория дифференциальных уравнений изучает качественные свойства и методы решения дифференциальных уравнений различных типов и некоторые другие вопросы. Отметим, что лишь для сравнительно небольшого числа дифференциальных уравнений решение можно записать в виде некоторой формулы. Поэтому, наряду с методами нахождения точных решений, в теории дифференциальных уравнений важное значение имеют методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений: численные методы решения и всимптотические методы решения. Численным и асимптотическим методам решения уравнений в настоящей книге из-за недостатка места уделяется мало внимания.
Более подробно о них можно прочитать, например, в [43[, [45[, [1Ц. Теория дифференциальных уравнений является важной для практических приложений и самостоятельной ветвью математического анализа, которая продолжает успешно развиваться. Знание основных положений этой теории абсолютно необходимо при использовании математических методов в различных областях человеческой деятельности. Кроме основных фактов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в настоящую книгу включены основы теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка и основы вариационного исчисления.
Примеры из практики, приведенные, например, в [43[ и (26], покезывают, что уравнения в частных производных первого порядка встречаются в различных областях зяаний. Методы решения таких уравнений тесно связаны с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений. Этим объясняется включение в книгу уравнений в частных производных первого порядка. Некоторые задачи вариационного исчисления приводят к соответствующим задачам теории дифференциальных уравнений и наоборот. Поэтому существует тесная связь между вариационным исчислением и теорией дифференциальных уравнений.
С другой стороны, варнационное исчисление является самостоятельной и успешно развивающейся ветвью математического анализа. О примерах вариационных задач и о значении вариационного исчислекяя для практических приложений рассказано во введении к главе 9. Г~~в~» 1 Методы решения некоторых дифференциальных уравнений Предполагается, что все функции, рассматриваемые в этой главе, принямают только действительные значения и что произвольные постоянные являются действительными.
З 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений первого порядка Обозначим через В(~ „) евклидову плоскость с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат х,у. Пусть С вЂ” непустая область, лежащая в В(з „и пусть у(х,у) — некоторая заданная непрерывная функция в области С. Изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений начнем с дифференциального уравнеяия первого порядха, разрешенного относительно произвцд|юй у = Дх,у). Здесь х — независимзл переменная (аргумент), а у = у(х) — неизвестная функпия, Уравнение (1) принята еще называть дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме. Определим понятие решения дифференциального уравнения (1). Пусть Х обозначает некоторый промежуток числовой прямой В1 с декартовой координатой х. Промежуток Х может представлять собой либо отрезок оси Ве~, либо (ограниченный или неограниченный) интервал оси В,'., либо (ограниченный или неограниченный) полуинтервал оси Ве.
Определение. Функция у = х(х), определенная на промежутке Х, на- зывается решением дифференциального уравнения (1), если 1) х(х) имеет непрерывную производную ~р'(х) на промежутке Х, 2) (х,у(х)) е С при всех х Е Х, 3) |р'(х) гв у [х,у(х)) на промежутке Х. э 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений Замечания. 1. Если промежуток Х содержит левый или правый конец, то определение 1 требует существования непрерывной соответствующей односторонней производной 1г(х) в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
