1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Уравнение (16) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая непрерывно дифференцируемая функция и(х,у) в области С, что ои н Р(х,у)Нх + О(х,у)Ну в области С. Пусть уравнение (16) является уравнением в полных дифференциалах. Если х = ~р(Ф), у = 4(Ф), Ф Е Х, задают некоторое параметрическое решение (16), то ои [~р(1), уэ(Э)] н Р [р(1), ЭЭ(1)] с1Ээ(1) + О [Ээ(1), ЭЭ(1)] шд(1) = О для всех э Е Х.
Значит, и[<р(1),ф(1)] = С для всех 1 й Х. Очевидно, что и наоборот, если и [у(1), 4(Г)] = С для всех 1 Е Х, то функции х = 1о(1), у = Э (1), 1 й Х, задают параметрическое решение (16). Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений 30 Р( у) = — ' с(х,у) = ди(х,у) ди(х,у) (17) в области С. Тогда ф = фф и ~~, — — ~~Д. Отсюда получаем необходи- мое условие для Р и Я: дР(х, у) дЯ(х, у) для всех (х,у) б С. ду дх (18) Если область С вЂ” односвязиа, то в анализе доказывается, что условие (18) является и достаточным, Функция и(х,у) находится из системы уравнений (17). Отметим, что адносвязность области С геометрически означает отсутствие дыр в области С.
Плоскость, круг, прямоугольник являются одиосвязными областями, а круговое кольцо дает пример неоциосвязной области. Замечание. 'Гот факт, что уравнение (16) является уравнением в полных дифференциалах, означает, что векторное поле (Р(х, у), Я(х, у)) является пагенциальиым в области С, а функция и(х,у) служит потенциалом поля. Функцию и(х,у) называют также потенциалом уравнения (16). Пример 10, Решить уравнение 2хуз(~+ 3(хзуо+ у' — 1)ду = О. Ь Здесь Р(х, у) = 2хуз, Я(х, у) = 3(хзуз+уз-1) — непрерывно дифференцируемые функции иа всей плоскости 7с~(х,у), являющейся одяосвязной областью. Следовательно, можно воспользоваться условием (18).
Имеем з дΠ— = бху ду дх ' Итак, уравнение и(х,у) = С, где С вЂ” произвольная постоянная, содержит все решения уравнения в полных диффереицкалах, Интегральная кривая уравнения в полных дифференциалах, проходящая через точку (хо,уо), единственным образам определяется уравнением и(х,у) (хо уо) Возникает вопрос: как по коэффициентам Р(х,у) и Я(х,у) установить, что уравнение (16) является уравнением н полных дифференциалах. Если функция и(х,у)-дважды непрерывно дифференцируема в С, то необходимое условие для Р и Я установить просто. Действительно, если (16)— уравнение в полных дифференциалах, то 31 $2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений Уравнение является уравнением в полных дифференциалах н поэтому его потенциал и(х,у) можно найти из переопределенной системы уравнений ди з дн — = 2ху, — = 3(х у + у — 1).
дх ' др Из первого уравнения находим, что и(х,р) = х у +~р(у), где у(у) — произвольная непрерывно днфференцируемал функция на оси у. Ее находим подстановкой найденного выражения для н(х,у) во второе уравнение. Имеем Зхзуз + у'(у) = 3(х у + у — 1), ~р'(у) = 3(у — 1), у(у) = уз — Зр — С Значит, все решения исходного уравнения определяются формулой хзуз + рз — Зу = С где С вЂ” произвольная постоянная. Т. Интегрирующий множитель. Замена переменных В предыдущем п. 6 было установлено, что всякое уравнение в полных дифференциалах интегрнруемо в квадратурах. Возникает естественный вопрос: нельзя ли произвольное уравнение в симметричной форме (16) свести к уравнению в полных дифференциалах путем домножения его на некоторую функцию ц(х,у). Пусть задано уравнение (16), для которого в области С дР д(~ — Ф вЂ”.
др дх' Определение. Непрерывно дифференцируемая в области С функция д(х,у) 21 0 называется интегрирующим множителем уравнения (16), если уравнение н(х,у)(Р(х,у)дх+ 1Е(х,у)г1у) = О является в области С уравнением в полных дифференциалах. Если интегрирующий множитель д(х, у) существует для уравнения (16), то он в силу (18) должен удовлетворять соотношению д( Р) д(н1~) др = д Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнения др дд /дР дЯ ~ 1~ — — Р— = — — — и дх ду (,др дх) (19) интегрирование которого в общем случае отнюдь не проще, чем интегрирование уравнения (16).
Однако нас янтересует лишь какое-либо одно его решение, которое иа практике может найтись из-за каких-нибудь особенностей коэффициентов Р и (~. Например, ищут только р = р(х) или д = д(у) и т. и. Тогда уравнение (19) для р(х,у) значительно упрощается. Пример 11. Решить уравнение 2(х — у4)ду = удх. Ь Здесь Р = у, Я = 2(уэ — х), $ = 1 ф ф = — 2.
Заметим, что у = 0 — решение. Пусть далее у Э1 О. Найдем интегрирующий множитель вида и = д(у). Из уравнения (19) имеем -уф = Зр. Решением этого уравнения служит, например, функция р = -~э. После умножеэ ния исходного уравнения на -~~ получаем уравнение в полных диф- ференциалах / — Ых + 2 ( у — — ) Ыу = О. уг ( „э) Отсюда ~~ = 4, ~~ = 2(у — -*~1). Следовательно, из первого урану ~ э пения и(х,у) = 4г+ ы(у). Подставляя и(х,у) во второе уравнение, получим, что ~р(у) = уэ — С. Итак, все решения заданного уравнения задаются формулами р=О, у —,+р'=С где С вЂ” произвольная постоянная.
Другой метод решения произвольных уравнений (16) основан на подыскании такой замены переменных х,у, которая приводит уравнение (16) к эквивалентному одному из уже изученных в пп. 1-6 типов уравнений, интегрируемых в квадратурах. Для нахождения нужной замены переменных часто используется метод выделения полных дифференции лов. Приведем примеры. Пример 12. Решить уравнение у(2удх — яду) + х (удх+ 2хду) = О. 11 Нетрудно проверить, что точка (0,0) — особая точка уравнения и что полуоси оси Оу и полуоси оси Ох являются решениями урав- Это равенство дает уравнение в частных производных первого порядка для д(х,у): г 2.
методы решения простейших дифференциальных уравнений пения. Пусть далее ху ф О. Разделив уравнение на хуг, получаем эквивалентное уравненяе 2с(х йу хг ) Ых 2Ир~ + ( + — ) О, х у р1х р) которое можно записать так: хе~ хг ~((1п — ) + — с((1п [/х!рг)) = О, Ы) у Сделаем замену переменных Я вЂ” = е", )х(у = е". Тогда при р > О получаем уравнение 4и -1- еМо = О, а при р < 0— уравнение Ии — е»с(н = О. Из первого уравнения находим н — е "= С, а из второго уравнения получим и+ е "= С, где С вЂ” произвольная постоянная.
Отсюда при р > 0 имеем формулу решений исходного УРавнениЯ вида 1п((х(Уг) — ~ту = С, а пРи У < Π— фоРмУлУ Решений вида 1п Ох!уг) + Д = С. А Пример 13, Решить уравнение х(х + у )Ну+ у(р~(х — хс(р) = О. Ь Как и в предыдущем примере, для этого уравнения (0,0) — особая точка, н все полуоси осей Ох и Оу являются решеннямн. Пусть теперь ху ф О. Уравнение запишем так: х(хг+рг),! + г,1[ ~ ) =О, ~р/ Разделив уравнение на уг и положив и = н, получаем уравнение у~ (иг + и)йр + Ыи = О. Отснда /! и ду+ ~ — — — Ми=О, 1.!. иг ) что дает у+1п = С, где С вЂ” произвольная постоянная.
Значит, ъ г+». формула р+!и !ху) =С э+ уз дает решения исходного уравнения. Как уже следует из г 2 и как будет видно в дальнейшем, замена переменных играет важную роль при решении различных типов дифференциальных уравнений и при изучении свойств решений дифференциальных уравнений. г гне 34 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений З 3, згравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
Метод введения параметра и задача Коши Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной, следующий: Р(х,у,р) = О. (1) Здесь: Е(х,у,р) — заданная непрерывная функция в некоторой непустой области С евклидова пространства В1з „И с декартовымн прямоугольными координатами х, у, р; х — аргумент; у = у(х) — неизвестная функция.
Определение. Вектор-функция х = р(1), у = фс), где 1 принадлежит промежутку Х оси В,' и р(1), ф(1) — непрерывно дифференцируемые на Х, причем у'($) ф О, П Е Х, называется параметрическим решением уравнения (1), если при подстановке х = м(Г), у = Ч'(1) в уравнение (1) получаем тождество Р у (1), Ф(1), —,, ~ =- О, Ус Е Х.
вт (1) 1 ' э'(г)~ Из этого определения при х = 1 следует определение явного решения у = у1(х), х Е Х, уравнения (1). Таким образом, понятие параметрического решения (1) расширяет понятие явного решения (1), так как параме. трическое решение в окрестности каждой точки го Е Х допускает явное представление у = ш(х), но для всех 1 Е Т такого явного представления у = ю(х) параметрическое решение (1) может и не иметь. Интегральной кривой уравненяя (1) называется кривая на плоскости 11( вр описываемая точкой (~р(Г), 4(1)), когда 8 пробегает промежуток Т, Из определения параметрического решения следует, что интегральная кривая (1) является гладкой кривой. Для решения уравнения (1) можно попытаться разрешить (1) относительно у'.
В случае удачи получается одно иля несколько уравнений вцца у' = 1(х,й), к которым следует применить методы решения, изложенные в з 2. Пример 1. Решить уравнение у~ — (2х+ у)у'+ 2ху = О. Ь Решая заданное уравнение как квадратное уравнение относительно у', находим, у' = 2х. Первое уравнение имеет решения у = С1е*, а второе уравнение — решения у = х +Сз, где С| и Сз — произвольные постоянные. Каждая нз найденных функций является решением исходного уравнения. Однако эти функции не исчерпывают всего мнолсества решений задан- й 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
