1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 5
Текст из файла (страница 5)
л В некоторых случаях уравнение (1) можно привести к однородному уравнению первого порядка с помощью замены у = х'". Приведем пример. Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений Пример 5. Решить уравнение ус(х+ х(2ху+ 1)с3у = О. Ь Ясно, что у = 0 и х = 0 — решения уравнения. Пусть далее ху ф О. Сделаем в уравнении замену у = х"'. Имеем г'ас3х + х(2хх~ + 1)глх'" 'с3х = О.
Это уравнение будет однородным лишь при га = 2та+ 1, т.е. при га = -1. В этом случае уравнение примет вид хг хт с3х — — сс1+ 2-) Ых = О. Замена х = ие приводит зто уравнение к виду хссн = 2н с3г, решения которого задаются формулой (С вЂ” произвольная постоянная) 1 — — = С+1пх . 2 и Отсюда для исходного уравнения получаем множество решений 1пу — — = С. ху х=О, 3. Линейные уравнении первого поридка Дифференциальное уравнение вида у'+ а(х)у = 1(х), у'+ а(х)у = 0 легко интегрируется.
Заметим, что у = 0 является решением уравнения (11). Если у ~ О, то уравнение (11) эквивалентно уравнению — = -а(х)с(х. 1у у где а(х) и с(х) — заданные непрерывные функции на некотором (а,)3), называется линейным уравнением первого порядка, Уравнение (10) является линейным относительно неизвестной функции у(х) и ее производной у'(х). Например, уравнение у. у' = 1 не является линейным уравнением. Если в уравнении (10) правая часть у(х) эь 0 на (а,)3), то уравнение (10) называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.
Если же с'(х) а 0 на (о,13), то уравнение (10) называется линейным однородным уравнеяяем первого порядка. Линейное однородное уравнение первого порядка 3 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений Это уравнение является уравнением с разделенными переменными и, сле- довательяо, его решения определяются формулой 1п]у] = — ~ а(~)И~ + 1пСм еа где хе,х б (а,13), а произвольная постоянная взята в ваде 1пС1 (С1— произвольная положительная постоянная) с целью упрощения формулы решения. Если положить А(х) = 1" а((')аь, С = С~ е1япу и считать, что С мосс жег обращаться в нуль, то все решения уравнения (11) записываются формулой Се — А(е) (12) где С вЂ” произвольная постоянная.
Для решения линейного неоднородного уравяеиия (10) применим так называемый метод вариации постоянной (метод Лагранжа). В уравнеяии (10) сделаем замену у = с(х)е "1*1, (13) где с(х) — новая неизвестная непрерывно дифференцируемая функция на (а„О). Подстановка (13) в уравнение (10) определяет функцию с(х). Имеем с(х)е 00+ с(х)е 1*1 [ — а(х)]+ а(х)с(х)е 00 = у(х), е с'(х) = е"(*1,((х), с(х) = ~ е ®1(т~)ф1 + Р, где хе,х б (а,~З) и Р— нроизнольная постоянная. Подставляя с(х) в (13), получаем формулу решений уравнения (10) при всех х б (а,13): у(х) = Ре А00+ е "(*1 / е "/(Ч)~19 (14) ео где Р— произвольная постоянная.
Из втой формулы находим, что реше- нием уравнении (10), удовлетворяющим начальному условию у(хе) = ус, где уе — любое заданное число, является у(х) = усе "(*1+с А1е) ~еА(е1дз)й~. ее 26 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений Непосредственная проверка показывает, что зта функция является единственным решением задачи Коши (10), (15).
Так как хо — произвольная фиксированная точка (сг,)у), то полученный результат означает, что формула (14) содержит в себе решения всех возможных задач Коши для уравнения (10). Это обстоятельство обосновывает следующее определение. Определение. Функция вида (14) называется общим решением уравнения (10), а функция у=Ве лбй называется общим решением уравнения (11). Если обозначить через у(х) второе слагаемое формулы (14), то непосредственно проверяется, что у(х) является частным решением уравнения (10), удовлетворяющим начальному условию у(хо) = О. Как видно нз формулы (14), общее решение уравнения (10) представляет собой сумму общего решения уравнения (11) и частного решения уравнеияя (10).
Таким образом, структура общего решения лянейного неоднородного уравнения (10) аналогична структуре общего решения линейных алгебраических систем уравнений. Как будет видно в дальнейшем, подобная структура общего решения имеет место для линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и для линейных систем дифференциальных уравнений. Замечание.
Если найдено какое-либо другое решение уо(х) уравнения (10), отличное от у(х), то функция у = ьге ~ 1+ уо(х), где ьг — произвольная постоянная, также называется общим решением (10), так как она удовлетворжт определению общего решения (10). Пример 6. Решить уравнение х х у+ гу= 1+х Л+ху и найти решение задачи Коши врн у(0) = О. сг Найдем сначала общее решение линейного однородного уравнения / х у + — у=О. 1+хг Заметим, что у = 0-его решение. Пусть у ф О.
Заменяя в уравнении у' отношением Д и разделяя переменные, получаем 1+ г 12. Методы решения простейших дифференциальных уравнений Отсюда находим, что 1п~у~ =--1 (1+х')+)пс,, 1 2 где С~ — лроизвальнэл положительная постоянная. Избавляясь от логарифмов и полагая С = С1э1япу, приходим к общему решению линейного однородного уравнения С "= Л+ху' С вЂ” произвольная постоянная. Для решения исходного уравнения применим метод вариации постоянной. Положив у = (-) и подставив у в исходное уравнение, ч ~+х найдем уравнение для с(х): с'(х) = х. Найдя отсюда с(х), получаем общее решение заданного уравнения Р хз у + ~/1 + хз 2Л + ху где Р— произвольная постоянная.
При у(0) = О из этой формулы получаем Р = О. Значит, у = — ф-~у — решение задачи Коши. А Пример Т. Решить уравнение (х — 2ху — ут)с(у + узс(х = О, Ь Заметим, что у = О является решением. Пусть теперь у те О. Тогда уравнение можно записать в виде х'(у)+, *(у) =1. 1 — 2у Это уравнение является линейным неоднородным относительно переменной х = х(у). Решаем линейное однородное уравнение 1 — 2у х'+ х=О. у ! Его решением будет х = Сутей, где С вЂ” произвольная постоянная. Ищем решение линейного неоднородного уравнения в виде х 1 с(у)узею После подстановки этой функции в уравнение получаем, з что с'(у) = )ге У, откуда находим с(у) = е в + Р, где Р— произв вольная постоянная.
Таким образом, все решения исходного уравнения имеют вид з ь х=Ру ев+у~, у=о, где Р— произвольная постоянная. 28 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений 4. Уравнение Бернулли Так называют нелинейное уравнение первого порядка вида у + а(х)у = Ь(х)у"', где а(х) и Ь(х) — заданные непрерывные функции на (а,41), а гп — некоторое число, отличное от нуля и единицы. Заметим, что у = Π— решение уравнения Бернулли при гп > О. Если у 46 О, то, разделив уравнение на у~ и вводя новую неизвестную функцию з = у' '", относительно функции з получаем линейное уравнение з' + (1 — пг)а(х)х = (1 — гл)Ь(х). Пример 8.
Решить уравнение (хе-у4)йу = Зхзудх и найти интегральную кривую уравнения, проходящую через точку (1,1). 61 Заметим сначала, что у = О является решением, а х = О решением ие является. При у ~ О уравнение можно записать в виде бу Зу Зхз т,е. уравнение является уравнением Бернулли относительно х. Сделав в этом уравнении замену з = хе, получаем для з линейное уравнение 4 2х 3 з = — — 2у. у Линейное однородное уравнение з' = э— ' имеет общее решение в з = Суз. Частное решение линейного неоднородного уравнения ищем в виде эе(у) = Аус.
Подстановка зо(у) в уравнение дает А = — 1, а = 4. Тогда (см. замечание перед примером б) общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид з Суэ у4 Следовательно, формулы у = О, х = Суэ — у4, где С вЂ” произвольная постоянная, задают все решения исходного уравнения. Подставляя во вторую формулу х = у = 1, получаем С = 2. Поэтому интегральная кривая, проходягцая через точку (1,1), задается формулой х =2у — у. 6 Э 4 б. Об уравнениях Риккати Уравнением Риккати называется нелинейное уравнение первого порядка вида у' = а(х)уз + Ь(х)у+ с(х), 12. Методы решения простейших дифференциальных уравнений где о(х), 6(х), с(х) — заданные непрерывные функция на (о,)э). В отличие от ранее рассмотренных в этом параграфе уравнений, уравнение Ряккатя разрешимо в квадратурах лишь в исключительных случаях.
Например, как показал Лнувнлль в 1841 году, специальное уравнение Риккати г А э+В~а где А ф О, Б ~ О, а — заданные числа, разрешимо в квадратурах лишь в том случае, когда ~+ — целое число. Однако, если яэвестно какоелнбо решение ус(х) уравнения Риккати, го замена неизвестной функции у(х) = э(х) + уэ(х) для э(х) уже дает уравнение Бернулли аида х' = [2а(х)уэ(х) + 6(х)! х+ а(х)х~, которое разрешимо в квадратурах. Следовательно, в этом случае и уравнение Риккати разрешимо в квадратурах. Пример 9. Решить уравнение Риккати у' = у — 2е*у + еэ* + е*. Ь Подстановкой в уравнение убеждаемся в том, что уе(х) = е'— решение уравнения.
Тогда замена у = э+ ев приводит к уравнению э' = ээ, которое имеет решения э = О, э = -(х+ С) 1, где С— произвольная постоянная. Итак, (С вЂ” произвольная постоянная) все решения исходного уравненкя: у = е*, у = -(х + С) 1 + е*. й 6. Уравнения в полных дифференциалах Рассмотрим уравнение первого порядка в симметричной форме Р(х,у)~Ь+ С(х,у)ду = О, (16) где Р(х,у), С(х,у), $ и ф — непрерывны в некоторой области С плоскости 111э „) и область С не содержит особых точек уравнения (16). Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
