1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Уравнения первого порядка, не рюреше»п»ые относительно производной Зб ного уравнения. Возможны еще и твк называемые составные реше- ния, получаемые «склейкой» найденных функций в тех точках, где совпадают значения функций н нх производных. Легко проверить, что, например, функция ха+1, х <1, 2е«-) х '» ! ~ ~ ~ е 2 ~ ~ ~ х также является решением (составным) исходного уравнения. И зто не единственное составное решение заданного уравнеяия. ж В общем случае для решения уравнения (1) применяется так называемый мегод введения параметра, который позволяет свести решение уравнения (1) к решеяию некоторого уравнения первого порядка в симметричной форме.
А для таких уравнений уже можно пытаться приме. нить ранее изученные методы решения. Положим у' = р н рассмотрим смешанную систему уравнений Р(х,у,р) = О, (2) ййу = рдх. Покажем, что уравнение (1) зквнвалентно системе (2), т.е. каждое решенле уравнения (1) определяет решение системы (2) и наоборот. Действительно, если х = З»(й), у = »р(й), й Е Х, является парамегрическнм решением (1), то р = р(й) ш»р'(й) [~р'(й)] ш у' (й).
Отсюда ф(й) м р(й)Их(й) н г [йз(й), »р(й) р(й)] ш О на Т., т.е. функции ~р(й), »р(й), р(й) удовлегворяюг системе (2) при всех й Е Х. Обратно, если «»(й), ф(й), р(й) удовлетворяют прн й Е Х системе (2), то х = ~р(й), у = »р(й) при й Е Х определяют параметрическое решение (1), так как нз второго уравнения (2) находим, что р(й) = — Я, а нз первого уравнения (2) следует, что Р [у(й),»)»(й), Я] щ О на Х. Итак, уравнение (1) эквивалентно системе (2). Дальнейшие выкладка будем проводить прн следующем условии.
Предположение. Уравнение Р(х,у,р) = О определяет в Я~~ „1 такую гладкую поверхность Я, для которой известно также и параметрическое представление. Это значит, что существуют такие непрерывно дифференцируемые функции х = З»(и, е), у = »р(и,е), р = м(и, и), в некоторой области Й плоскости с декартовыми прямоугольнымн координатамн и,и, для которых положительна сумма квадратов якобнанов: н Е[~р(и,с), »р(и,и), м(и»и)] щ О для всех (и»и) е Й. При таком предположении перейдем в системе (2) от переменных х,у,р к переменным и»е по заданным формулам. Первое уравнение (2) Глава 1.
Методы решения дифференциальных уравнений удовлетворяется тождественно в области П. Второе уравнение (2) дает уравнение вида — Й~+ — Ыс ж х(и,н) ~ — Ии+ — Ин дФ д4' ~др д~р д д ' [д д. — — м — до + — — и — Ие = О. (3) Переход от уравнения (1) к уравнению (3) называется общим методом введения параметров. Получилось уравнение первого порядка в симметричной форме, некоторые методы решения которого изложены в предыдущем параграфе.
Если, например, множество решений уравнения (3) задается формулой е = д(и, С), где С вЂ” произвольная постоянная, то функции х = р [и, д(и, С)], у = Ф [и, д(и С)], р = м [и д(и С)] удовлетворяют системе (2). Следовательно, в силу эквинэлентности уравнения (1) и системы (2), функции х = ~р[и,д(и,С)], у = 4>[и,д(и,С)] задают параметрические решения уравнения (1). Наиболее важными для практики случаями являются те случаи уравнения (1), когда его можно разрешить относительно у илн относительно х. Если у = У(х,у') — решение уравнения (1) относительно у, то в каче. стае параметров и,и берем и = х, и = р и система (2) тогда примет вид у=У( р), (4) Ыу = рИх.
Уравнение (3) в этом случае имеет такой вид — — р) Ь+ — ар=а. ду' ~ ду дх ) др (5) Если р = ы(х, С), где С вЂ” произвольная постоянная, задает решения уравнения (5), то у = /[х,ш(х,С)] — решения уравнения у = 1(х,у'). Аналогично, если х = д(у,у') — решение уравнения (1) относительно х, то в качестве параметров и, о берем и = у, и = р.
В этом случае система (2) принимает вид < = д(у,р), с(у = рЖ~, а уравнение (3) выглядит так: ) р — — 1)' ду + р — Фр = б. дд 1 дд ду ) др (6) Если р = ш(у,С), где С вЂ” произвольная постоянная, решения уравнения (6), то формула х = д [у,ш(у, С)] задает решения уравнения х = д(у,у'). Переход от уравнения у = Дх, у') к уравнению (5) и переход от уравнения х = д(у,у') к уравнению (6) называется методом введения параметра. $3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 37 Замечание.
Тяпичной ошибкой при решении уравнения у = у(х, у') является переход от функции р = ьз(х,С) к уравнению у' = ы(х,С) и затем к его решению у = 3 ы(х,с)<(к+сн эта функция в общем случае не удовлетворяет первому уравнению системы (4). Аналогичная ошибка делается и при решении уравнения х = д(у, у'), если заменить р = ы(у, С) на у' = ы(у,С) и затем интегрировать зто уравнение. Метод введения параметра в общем случае приводит к уравнениям (3), не интегрируемым в квадратурах. Сейчас приведем пример уравнения (1), для которого метод введения параметра всегда приводит к уравнению (3), интегрируемому в квадратурах. Пример 2 (уравнение Лагранжа).
у = а(у')х+ 6(у'), где а(р) и 6(р)— заданные непрерывно дифференцируемые функции для всех р б Йр с декартовой координатой р. сз Положив у' = р, от уравнении Лагранжа перейдем к эквивалентной системе < у = а(р)х + 6(р), с~у = ус(х. Найдя Иу из первого уравнения системы и подставив его во второе уравнение, получаем уравнение х а(р)йр+а(р)Нх+ 6(р)ар = рах [а'(р)х + 6~(р)) Ир = (р — а(р)! ~(х. (7) Если ар ~ р для гр б зх~„то отсюда получаем линейное уравнение первого порядка относительно х ах а'(р) 6'(р) Йр р — а(р) р — а(р) ' которое всегда интегрируется в квадратурах, Если Вре б й,'„что ро = а(ре), то р= ро-решение уравнения (7) и, значит, у = а(ро)х+Ь(ро) — решение уравнения Лагранжа.
Если же а(р) ш р, то исходное уравнение принимает вид у = ху'+ Ь(у'). Оно называется уравнением Клеро. Уравнение (7) в зтом случае записывается так: [х + 6'(р)< 4т = О. Отсюда либо Ир = О, либо х = — 6'(р). Если Ыр = О, то р = С и решением уравнения Клеро будет у = Сх + Ь(С). При х = -6'(р) равенства х = -6'(р), у = — рЬ'(р) + Ь(р) определяют парамегричв. скос решение уравнения Клеро, если потребовать, чтобы функция 6(р) была дважды непрерывно дифференцируемой Чр б ф Это вщг но из подстановки параметрического решения в уравнение Клеро. В зв Глава 1.
Методы решения дифференциальных уравнений случае 6" св О имеем 6(р) = ар+ 13, где а и 13 — постоянные. Тогда уравнение Клеро принимает вяд у = (х+ а)р'+)3. Решениями этого уравнения служат невертиквльные лучи с яачвлом в особой точке ( — а,~3) уравнения, для которых у — ф3 = С(х+а), где С вЂ” произвольная постоянная. ,й Замечание. Прн решении уравнений (1), как уже указывалось, возможно появление составных решений.
При решении конкретных примеров они не всегда явно выписываются Пример 3. Решить уравнение р'(4х — д') = 4(2р — хз). Ь Разрешив уравнение относительно р, перейдем к эквивалентной системе, положив у' = р: 8у = 4хз + 4хр — рз, Ыд = рпх. Найдя нз первого уравнения Ыу и подставив его во второе уравнение системы, после упрощений получаем 2(2х — р) (2ох + пр) = О.
Если р = 2х, то из первого уравнения системы находим решение исходного уравнения р = х~. Если же 2г(я+ ар = О, то р = С вЂ” 2х н подстановка этого р в первое уравнение системы дает множество решений р = Сх — х — —, где С вЂ” произвольная постоянная. Кроме з указаяного множества решений, возможны и составные решения. А Пример 4. Решать уравнение хр' = 1+ еэ р'з. Ь Заметим, что у' Э1 О, т. к. й' = О не дает решений. Тогда уравнение можно разделить на р'. 1 „р х= —,+е" у. У Вводя параметр р = р', перейдем к системе т = -+е".р, < 1 Р Иу = рая, Найдем <Ь нз первого уравнения системы и подставим его во второе уравнение.
Получим уравнение 1 г)у = р à — — Ыр+ еЫр + ревой рз (рзев — 1) (рай+ )р) = О. 3 3. Уравнения первого порядка, ие разрешенные относительно провзводиоя 39 Если рзе" = 1, то р = хе «н из первого уравнения системы находим решение исходного уравнения х = х2еэ. Если же рИу+ Ыр = О, то р = Се " н подстановка в первое уравнение системы дает множество решений исходного уравнения х = г ег+ С, где С ф Π— произвольная постоянная. ж Пример 5. Решить уравнение р'з ь хз = ху' Ь Параметризуем цилиндрическую поверхность рз+ х = хр, положив р = хи. После подстановки в уравнение поверхности получаем « х = -;„— "„-г, р = -;и„-з. Таким образом, имеем следующую параметрн- «2 зацию цилиндрической поверхности: х = -«„т, р = в, р =; — "-„-г. Эта параметризация гладкая, например, при и < — 1.
Из й~ = оу = рс(х находим, что пз(1 — 2пз)Ди (! ~. „з)з Следовательно, отсюда 1 1 2 1 2(1+ из)з 3 1+ из' где С вЂ” произвольная постоянная. Значит, при и с — 1 функции х = —,„" — „з, У = С вЂ” ~„-тт + з 1з„! задают паРаметРические Решения исходного уравнения. А Как известно, для уравнения у' = у(х,у) начальное условие задается в виде у(хо) = уо. При определенных условиях на у(х,у), хо, уо, как указывалось в з 1, можно гарантировать, во всяком случае, локально, т.е. в некоторой окрестности точки (хо,уе), существование и единственность решения задачи Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
