1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Из (3) получаем, что Зь х(х) = е* <С + -е~') . 3 Задача сводится к решению уравнения у — 2у=е ~С+-е '~. 1 зе1 3 Решение находится из формулы (3), если в ней заменить х на у, Л1 на Лг и У(х) на е* (С+ згег~). Окончательно полУчаем тогда, что 1 а У(х) = Сг ее + Сгег ' + -еое, б где См Сг — произвольные постоянные. а г 2. линейные одиородяые уравнения с постояняыми коэффициентами $7 В 2. Линейные однородные уравнения порядка гг с постоянными коэффициентами Дифференциальное уравнение вида убб(х) + а1у1" О(х) + -. + ая 1у (т) + аву(х) = О, где х й В' и ам...,аа — заданные действительные или комплексные числа, называют линейным однородным дифференциальным уравнением порядка и с постоянными коэффициеитами. Числа ам,,а„иазывшот коэффициегпамя уравнения (1). С помощью диффереициальиого миогочлеиа Е(Р) = Р" +а1Р" ~ + + ив 1Р+а„ уравиеиие (1) коротко записывается в виде Е(Р)у(х) = О. (2) 1.
Общее решение Утверждеиие следующей леммы обычно называют принципом суперпози- ция для ураввеиия (1). Лемма 1. Если у~(х), уг(х) — какие-либо решения уравнения (1) и См Сг— проигввльнмс комплексные числа, то функция у = С1уг(х) + Сгуг(х) такнсс явллется решением уравнения (1). О Воспользуемся формой (2) записи уравнения (1). В силу линейности миогочлеиа ЦР) (см. лемму 1 3 1) имеем Б(Р) у = ЦР)(Сгуг + Сгуг) = СгЦР) у1 + СгХ(Р) уг = О, так как ЦР)уг = ЦР)уг = О по условию леммы. В дальнейшем яам понадобится один вспомогательный результат о функциях вида у(х) = Рг(х)е~'* + .
° + Р„,(х)е~ (3) где Лы..., Л,„— попарно различные комплексные числа, а Р1 (х),..., Р„,(х) — миогочлеиы с комплексными коэффициеитами. Лемма 2. Если в (3) р(х) = О для всех х Е Ег1, то есс ког4фициснтм во всех многочлвнах Рг(х),...,Р (х) суть нули. О Применим индукцию по т. При ги = 1 утверждение леммы 2 очевидно. Пусть утверждение леммы 2 справедливо, если в формуле (3) заменить т иа (т — 1). При га > 1 рассмотрим функцию 4(х) = е и*. ~р(х) = Р1(х)+ ) Рг(х)е~~" м)* =О. ь=г Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения Продифференцируем Ч)(х) (И+1) раз, где Ф вЂ” степень многочлена Р,(х) В силу того, что Р, (х) = О, получим ))г-~-)) Е~ ° 1 ()е+)) )Р (х)е)»ь-»1)е' )кь(х)е(»" "')* = О, »=2 где сгь(х) — многетлеиы той же степени, что и Рь(х), так как Ль-Л);~ О при всех и = 2,т. Из предположения индукция Я~(х) и О, Ч)е и 2,т. Следовательно, Р»(х) ги О, е)е = 2,т.
Тогда и Р1(х) гн О. Это значит, что все коэффициенты мпогочлеиов Р1(х),...,Р,„(х) в (3) нулевые. Э Рассмотрим характеристический многочлен Е(Л) = Л" +а)Л" '+" + а„. Уравнение Ь(л) = О называется характеристическим уравнением для (1). Напомним, что число Ле называется корнем кратности )е(/с е Ф, 1 < )е < л) уравнения ЦЛ) = О, если цл) = (л — л.)'. Ц(л), где Ц(Л) — многочлен степени (и — )с) и Ь)(лс) ф О. Из формулы Тейлора для Е(Л) при Л = Ле сразу следует, что Ле — корень кратности )е для ЦЛ) = О тогда и только тогда> когда ЦЛ,) = Е'(Л,) =... = Е"-)(Л,) =О, Е(')(Ле),ЬО.
Лемма 3. Если Ле — корень кратности й хараьтперистического уравнения Ь(Л) = О, то кахсдал иэ функции «» 1 Е» е е ! является решением уравненил (1). О а) Ле = О. Тогда ЦЛ) = Ле(Л" »+а1Л" " + . +а„),), где а„ь )е О, и, следовательно, Е(Р) Р + а Рч-1+ + аь Р Нетрудно проверить, что функции 1, х,..., х~ ' являются решениями ЦР)у = О. б) Ле уе О. Сделаем замену у = е"'». х.
По формуле сдвига (см. лемму 2, з1) ЦР)у = е»ееЦР Е Ле)х = О. Характеристический многочлеи Е(л+ Ле) имеет корень Л = О кратности к. В силу и. а) уравнение Е(Р+ Ле)х = О имеет решения 1,х,...,хь Из замены получаем утверждение леммы. Ф $2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Лемма 3 описывает те функции, которые могут быть решениями уравнения (1). Следующая теорема является центральной в зтом параграфе. Она дает формулу всех комплекснозначнык регпений ляиейного однородного уравнения (1). Теорема. Пусть характеристическое уравнение Ь(Л) = О имеет корни Лп...,Л,„(т Е Ж, 1 < т < и) соответственно кратности lсм...,й (йг +. + й = и). Тогда: а) любал функция вида у(х) = Рг(х)еыг + .
+ Р„,(х)е~ *, (4) где Рз(х) = Се + С(х + . + Сг»,х»г ' — многочлен степени (й — 1), козффициентами которого служат произвольные комплексные постояннъе Сш...,С»г „является решением уравнения (1); Ю б) если у(х) — какое-либо решение уравнения (1), то найдется единственный набор козффициентов многочленов Рг (х),..., Рт(х), при котором ото решение у(х) задается формулоп (4). О П. а) теоремы немедленно следует из леммы 3 и принципа суперпознции для уравнения (1) (см. лемму 1).
П. 6) докалсем методом математической индукции по и. Пусть у(х)— какое-либо решение (1). При п = 1 уравнение (1) имеет вид у'+а~у = О и по лемме 3 3 1 все его решения имеют вид у = Сс '*. Ясно, что при некотором единственном значении С зта формула содсржит и наше решение. Пусть теперь и ) 1 и пусть всякое решение у(х) линейного однородного уравнения порядка (и — 1) с постоянными коэффициентами гдянственным образом записывается в форме (4) с заменой п на (и — 1).
В силу условий теоремы цл) =(л — л,)" (л — л,)' ...(л — л„)'- Значит, Ь(Р) = (Р— Лг)М (Р— Лг)»'... (Р— Л„,)» Введем дифференциальный многочлен степени (и — 1) М(Р) = (Р— Лд)»' ~(Р— Лг)»г... (Р— Л„,)» где прн йг = 1 первый сомножитель отсутствует. Тогда Р(Р) = М(Р)(Р— Лг). Положим (Р— Лг)у = г.
В таком случае уравнение (2) зквивалентно системе Е (Р— Л )у= М(Р)г = О. Каждое решение второго уравнения системы (5) в силу предположения индукции имеет вид г(х) = ("„>г(х)е"'*+ Сг(х)е ' + +(ст(х)е *, 1 < т < и, э 2, линейяь|е однородные уравнения с посгояннымя коэффициентами 61 Теорема утверждает, что каждое решеняе у(х) уравнения (1) выражается единственным образом как некоторая линейная комбинация уч(х)" э ('): у(х) = С1р1(х) + + С„у„(х). Нетрудно теперь видеть, что множество всех решений линейною однородного уравнения (1) образует линейное комплексное и-мерное векторное пространство, а функции <р1(х),...,1э„(х) образуют базис этого пространства.
Исходя из всего сказанного, естественно дать следующее определение. Определение. функция вида (4) называется общим решением линейно- го однородного уравнения (1). Общее решение (1) обладает следующими свойствами: а) при каждом наборе постоянных функция (4) является решением уравнения (1), б) каждое решение уравнения (1) единственным образом представимо функцией вида (4).
Решить уравнение (1) означает найти его общее решение. На практике процесс нахождения общего решения сводится к нахождению корней характеристического уравнения ЦЛ) = О и использованию формулы (4). Пример 1. Решить уравнения а) у" — 4у'+ Зу = О, 6) у" + 2у' + у = О, в) у" + ы~у = О, ы > О. Ь В случае а) характеристическое уравнение Лэ — 4Л+ 3 = О имеет корни Л1 = 1, Лз = 3, Тогда по формуле (4) у(х) = Сгс*+ Сзе~*, где С1 и Сз — произвольные комплексные постоянные, является общим решением.
В случае 6) характеристическое уравнение Лэ+ 2Л+ 1 = О имеет двукратный корень Л = -1. Тогда по формуле (4) у(х) = (С1 + Сзх)е ~. является общим решением. Наконец, в случае в) характеристическое уравнение Лз+ ыэ = О имеет чисто ь~нимые корни Лг = кл, Лз = -Ы. Из (4) следует, что у(х) = С|е *+Сзе где С1 и Сз — произвольные комплексные посюянные, является общим решением. л Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения 2, Выделение действительных решений Если все коэффициенты уравнения (1) действительны, то решить уравне.
ние (1) означает найти все его действительные решения. В этом случае общее решение (4), как показывает п. в) примера 1, может давать комплексные решения, если даже ограничиться действительными значениями постоннных. Это происходит за счет комплексных корней уравнения Ь(Л) = О. Поэтому возникает вопрос о полученни нз формулы (4) общего действительного решения (1). Для выяскення этого вопроса понадобятся некоторые леммы. Лемма 4. Пусть все коэффициенты е (1) депстпеительны. Тогда если Лс = а+ тт3 — комплексный корень хратности й характеристического уравнения ЦЛ) = О, тпо и комплексно сопряженное число Ло = и — т;3 также корень |,(Л) = О одинаковой с Ло кратности й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
