1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 12
Текст из файла (страница 12)
О В силу того, что ЦЛо) = О, то Б(Ло) = Ло + атЛо +. + а» = Б(Ло) = О = О. Аналогично доказывается, что Ь'(Ло) = "= Ь('-'1(Ло) = О, б1г1(Ле) ф О. Лемма 5. Пусть все коэффициенты в (1) действительны. Тогда у(х) = и(х)+те(х) — комплексноэначное решение уравнения (1) только тогда, когда и(х) = Веу(х), е(х) = 1тпу(х) — решения (1), О Утверждение леммы следует из равенства Ь(11)у = Ь(Е>)(и+ те) = Ь(П)и + тыб(В)е, Э Теперь можно получить правило выделения общего действительного решения уравнения (1) с действительными коэффициентами.
Если Л = о+т(3 — комплексный корень кратности й уравнения г'(Л) = О, то в силу леммы 4 Л = ст — т13 тоже корень кратности й для ЦЛ) = О. Поэтому наряду с решениями уравнения (1) вида ут(х) = х~е~* в формуле (4) содержатся и решения ут(х) = хте"'г, 'т( = О,й — 1. По формуле Эйлера у (х) = хтеа* соэ3х + тхтее* сбпт3х = ит(х) + тет(х), 1 = О й — 1.
По лемме 4 функции ит(х), ет(х), И = О,й — 1, являются решениямн (1), причем и (х) = е (х) = 1 = 0 й — 1 Перейдем от базиса решений (7) уравнения (1) к новому базису, заменив каждуто комплексно сопряженную пару решений у~(х), ут(х) на действительную пару решений ит(х), ет(х), И = О,й — 1. Получим базис из действительных решений. Взяв в формуле (4) все постоянные 2 2. Лннейнме однородные уравнения с посгояиными козффипиентами 83 С2,...,С„действительными и заменив в ней комплекснозначный базис (7) иа базис из действительных решений, в результате из (4) получим общее действительное решение (1). Пример 2. Найти все действительные решения уравнения ул + ыву = О, ы > О.
с2 В примере 1 было найдено общее комплексное решение заданного уравнения у = С1 е ' ' + Сз е По формуле Эйлера ем* = совых+2в!пых. Следовательно, у = С1 омых+ Сзз(пых, где См С2 — произвольные действительные числа, является общим действительным решением уравнения. Формулу всех ненулевых решений можно записать и по-иному, если ввести параметры А > О и х по формулам / 2 2 . С2 С1 А= ~/С, +Сз, з(пн= — —, созр= —. А' А' Тогда формула решений примет вид у = Асов(ых + р). 3. Некоторые дифференциальные уравнении, приводимые заменой переменных к линейным однородным уравнениям с постоянными коэффициентами Ограничимся рассмотрением дифференциального уравнения второго порядка вкда у" + р(х)у' + у(х)у = О, (8) где р(х) и д(х) — заданные непрерывные функции на некотором проме.
жутке Х оси Л,',. Если возможно приведение уравнения (8) к линейному сднородному уравнению с постоянными коэффициентами с помощью замены аргумента 2 = р(х), то необходимо 2 = С ~ ~/д(х)Их, где С = сопвь и знак интеграла означает фиксированную первообразную. Действительно, считая 22(х) дважды непрерывно диффереицируемой и у/(х) 22 О на промежутке Х, находим, что у' = йж у'(х), Глава 2.
Линейные дифференциальные уравнения 64 у" = й~!Р(х) + л! р"(х). Подстановка у',у" в уравнение (8) дает уравнение агу <р"(х) + р(х)!с'(х) Иу д(х) щг + гуг(х) ац! ~ря(х) где а! и аг — заданные числа, называется уравнением Эйлера. Нетрудно проверить, что с помощью замены ! =!пх уравнение Эйлера приводится к уравнению аргу — + (а1 Йг Ну — 1) — + агу = О. й к уравнепию с постоянными коэффициЭйлера порядка и С помощью подстановки ! = !пх ентами приводится и уравнение х"у!"!+ а!х" ~у!" ~)(х) + + а„!ху~(х) + а у = О, х > О. Замечание. Другой способ решения ураввеиия Эйлера состоит в том, что его решение ищут в виде у = х~. После подстановки х" н уравнеиие Эйлера получается характеристическое уравнение степени и и-1 аьЛ(Л вЂ” Ц...
(Л вЂ” + !г + Ц + „= О, э=о Для каждого его корня Лс кратности г строим решения хгс, х"ь!пх,...,х"'(!пх)" ', а общее решение уравнения Эйлера получается в виде линейной комбинации всех таких решений с произвольнымн коэффициентами. Уравнение (1 — х )у" — ху'+и у = О, где !х) с 1, а и — действительный параметр, называется уравиекием Че- бышева. С помощью замены х = соэ! оио сводится к уравнению — +и у=О. ау г ,!сг Отсюда следует, что все решения уравнения Чебышева можно записать в форме у(х) = Асов(и агссоэх+ р), В силу того, что коэффициенты в этом уравнении долины быть постоянными, то необходимо Сгд(х) = уо(х). Отсюда ! = у(х) С) Я',х)<!х.
Можно получить и достаточные условия приведения уравиеиия (8) с помощью замены аргумепта к уравнению с постоянными коэффициентами. Мы этого делать не станем, а перейдем к примерам. Уравнение второго порядка вида х у~+ агху~+ агу = О, х > О, 13. Линейные неолнороаные уравяения с постоянными коэффициентами 65 где А и х — произвольные постоянные. При и — целом Т„(х) соэ(п агссое х) — многочлен степени и, называемый многочленом Чебышева Уравнение (8) мон»но иногда привести к уравнению с постоянными коэффициентами и с помо»цью замены неизвестной функции.
Так, например, уравнение Бесселя х у +ху +)х — — у=О, х>О, г !»г 4) с помощью замены пеРеменных Щ = е', -г~э = и, и = и(С). Последова- тельно находим, что а+ Ье' (а — Ь)и, пу у= 1-ье»' 1+с' ' й ' у= нэ — и' (1+ е»)(1+ е')г у о — Ь е» вЂ” =и — и(1+е ), с»х »1» После подстановки выражений лля х,у,уэ в уравнение с постоянными коэффициентами Аи и — и м (Ь вЂ” а)г' уравнение Стокса получаем 5 3. Линейные неоднородные уравнения порядка гэ с постоянными коэффициентами Эти уравнения имеют вид ( э ) ( х ) + о» у ( э» ) ( х ) ) + о у ( х )» ( х ) где а»,...,а„— заданные комплексные или действительные числа, а пра вая часть у(х) уравнения (1) — заданная непрерывная функция на неко. тором промежутке Х оси В'. при помощи замены у = „-* приводится к уравнению на+ х = О. Следо- вательно, все решения уравнения Бесселя записываются в виде А у = — э1п(х+»л), ~/х где А и е» вЂ” произвольные постоянные.
Уравнение (8) можно также пытаться привести к уравнению с посто- яяными коэффициентами с помощью одновременной замены и аргумента, и неизвестной фуккции. Преобразуем, например, уравнение Стокса Ау (х — о)г(х — Ь)г 66 Глава 2. Ликейиые ляффереицкэльиые уравнения Рассмотрим линейное однородное уравнение гт"1(х) + атет" т1(х) + + а„х(х) = О.
(2) Прежде всего покажем, что если известно какое-либо ретпение уэ(х) линейного неоднородного уравнения (1), то замена у(х) = г(х) + уе(х) приводит уравнение (1) к линейному однородному уравнению (2). Действительно, воспользовавшись представлением левой части (1) через дифференциальный многочлен цР) Рч + Рь-т + + (3) получаем, что т(Р)у = т (Р)(х+ уе) = Ь(Р)э + Б(Р)ус = Р(Р)е + 1(х) = 1(х). Отсюда следует Ь(Р)е = О, т.е. х(х) — решентте (2).
Это простое замечание позволяет написать формулу всех решений линейного неоднородного уравнения (1), если найти каким-то образом его решение уе(х), так как формула общего решения (2) была уже получена в г 2. Именно, если «т(х),...,х„(х) -базис решений (2), то формула у = Стет(х) + + С„г„(х) + ус(х) дает все решения (1).
Ее называют формулой общего решения (1). Следующее утверждение носит название принципа суперпозицни для линейного неоднородного уравнения (1). Лемма. Пусть 1(х) = гт(х) + уг(х) и пустль ут(х) — кокос-яибо решение уроенения (1) при 1'(х) гя 11(х) и уг(х) — какое-либо решение уравнения (1) при У(х) ж тг(х). Тогда у(х) = ут(х) + уг(х) яеяяетлся решением уравнения (1). О Имеем 1 (Р) у = ЦР) (ут + уг) = ЦР) ут + Ь(Р)уг = Л(х) + Уг(х) = т (х). ° Определение. Кваэимногочленом называется функция т'(х) = ет'* Р (х), где тт — заданное комплексное число, Р„,(х) — заданный многочлен стелени тп с комплекснымн коэффициентами. Из предыдущего параграфа следует, что всякое решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами представляет собой конечную сумму квазимногочленов.
Покажем, в каком виде нужно искать частное решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами (1) с квэзимн~ь гочленом в правой части. Найдя это частвое решение и базис пространства решений (2), немедленно получаем общее решение (1). Рассмотрим уравнение т.(Р)1т(х) = е" Р (х) (4) где д — заданное комплексное число, а Р (х)-заданный многочлен степени пт. Эз. Линейные неоднородные уравнения с постояннымн коэффициентами 67 Определение. Если число р является корнем характеристического уравнения ЦЛ) ы Л" + атЛ" ~ + + а„ = О, то говорят, что в уравнении (4) имеет место резонансный случай.
Если же р не являетсн корнем Б(Л) = О, то говорят, что в уравнении (4) имеет место нерезонансный случай. Теорема. Для уравнения (4) сртцестпвретп и единстпвенно ретиение вида р(х) = х Гдт»(х)епе, где фт»(х) — многочлен одинаковой с Р„,(х) стпепени тп, а число я равно крато»остии корня р харахтперистпического уравнения Ь(Л) = 0 в резонансном случае и Й = 0 в нерезонансном случае.
О Если и ~ О, то заменой р = епе ° х в уравнении (3) всегда можно забавиться от е»» в правой части. В самом деле, используя формулу сдвига, после замены имеем, что Б(Р)у = ЦР)(е' г) = е"*Б(Р+ и)х = е"» Р (х). Отсюда б(Р + р)е = Р,„(х). Таким образом, доказательство теоремы осталось провести для уравнения вида ЦР) у = Р (х) (б) а) Нерезонанснтяй случай: Б(О) ~ О. Пусть Р,„(х) = рох + ртх ' + -. + р , гвт»(х) = Чох + Чтх + " '+ Ч Подставляя Рм(х), СГт»(х) в (5) н приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем линейную алгебраическую систему уравнений дла опРеДеленин неизвестных коэффициентов ае,ом...,й»т: а»йо = ро, а»От+а» т тпйо = рм а»от»+ '' = рт» Матрица этой линейной системы треугольная с числами а„= ЦО) ~ 0 по диагонали, поэтому все коэффициенты тдт»(х) определяются однозначно.
б) Резонансный случай: 1(Л)=Ль(Л» ь+атЛ» ь ~+ ° +а» ь), 1<я<п, о» ьэоО, й~п. Следовательно, ЦР) )Р" +атР" + +а» ьРь, ь<п, ~ Р» тг = и. Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения В случае я < и замена Р"у = з в уравнении (4) приводит к уравнению Б (Р)х ш (Р™ + + а, «)» = Рю(х). Поскольку Ь|(О) = а„ь ф О, то для этого уравнения имеет место нерезонансный случай. Следовательно, существует единственное решение этого уравнения х = В,~(х), где В„,(х) — некоторый многочлен степени гп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
